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文檔簡介

1、1,第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析,建立起系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述之后,可以利用這些描述來分析系統(tǒng)的運(yùn)動行為,其分析方法主要包括定量分析和定性分析兩種。 在定量分析中,主要分析系統(tǒng)對給定輸入的精確響應(yīng)及其性質(zhì),其數(shù)學(xué)上的體現(xiàn)為狀態(tài)方程解析形式的解。 在定性分析中,則著重對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個關(guān)鍵性質(zhì),如可控性、可觀測性和穩(wěn)定性等,進(jìn)行定性研究。 本章以線性系統(tǒng)為對象,討論系統(tǒng)的定量分析問題,指出系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律,闡明系統(tǒng)的運(yùn)動性質(zhì),介紹系統(tǒng)的分析方法。,2,2.1 引言,2.2 線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動分析(),2.3 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(),2.4 線性時變系統(tǒng)的運(yùn)動分析(補(bǔ)充

2、),第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析,3,2.1 引 言,一運(yùn)動分析的數(shù)學(xué)實質(zhì),線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:,運(yùn)動分析的目的:從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型出發(fā),定量地和精確地定出系統(tǒng)運(yùn)動的變化規(guī)律,以便為系統(tǒng)的實際運(yùn)動過程做出估計。,或,數(shù)學(xué)實質(zhì):相對于給定的初始狀態(tài)x0和外輸入作用u,求解出狀態(tài)方程的解x(t),即由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的狀態(tài)響應(yīng)。,4,二零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),線性系統(tǒng)滿足疊加原理,利用該屬性可把系統(tǒng)在初始狀態(tài)和輸入向量作用下的運(yùn)動分解為兩個單獨的分運(yùn)動,即由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動和由輸入作用引起的強(qiáng)迫運(yùn)動。,1. 零輸入響應(yīng),零輸入響應(yīng):指系統(tǒng)輸入u為零時,由初始狀態(tài)x0單獨作用所引起的運(yùn)動

3、。即狀態(tài)方程 的解,用 表示。,5,零狀態(tài)響應(yīng):指系統(tǒng)初始狀態(tài)x0為零時,由系統(tǒng)輸入u單獨作用所引起的運(yùn)動。即狀態(tài)方程 的解,用 表示。,2. 零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)總的運(yùn)動響應(yīng) 是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加,即,6,2.2 線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動分析,一零輸入響應(yīng),輸入u = 0時,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程:,稱為齊次狀態(tài)方程。求線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),其實就是求該齊次狀態(tài)方程的解。,1. 矩陣指數(shù)函數(shù),定義nn的矩陣函數(shù) 為矩陣指數(shù)函數(shù) 。,7,2. 零輸入響應(yīng),由狀態(tài)方程 描述的線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的表達(dá)式為,當(dāng) 時(即 ),線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為:,8,證:設(shè)齊次狀態(tài)方程 的解為:,其

4、必滿足狀態(tài)方程,可得出,由比較上列等式 tk 兩邊的系數(shù)向量,可定出待定向量為:,解的表達(dá)式進(jìn)而表為:,令上式中t=0,則x(0)=b0,已知初始條件x(0)=x0,故b0 =x0,9,3 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì),(1),(2),(3) 令t和為兩個自變量,則必成立,(4),10,設(shè)有nn常陣A和F,如果A和F是可交換的, 則必成立,(6),(7) 對給定方陣A,必成立,11,方法一:冪級數(shù)求和法,直接利用矩陣指數(shù)函數(shù)的定義式計算,即,其中:N可根據(jù)實際系統(tǒng)精度要求確定。,4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法(),說明:該方法只能得到eAt的數(shù)值結(jié)果,一般不能寫成閉合形式。實際計算時,可取前有限項給出近似結(jié)果

5、。,12,(1)當(dāng)A為對角線矩陣,即 時,13,(2)當(dāng)A具有如下形式,則A是零冪矩陣,即自乘若干次后化成零矩陣。,應(yīng)用矩陣指數(shù)函數(shù)定義,可得,14,推廣可得,(3) 當(dāng)A具有如下形式,由矩陣指數(shù)函數(shù)定義,有,15,例2-1(例9-6): 求下列系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,解:,由于: , 所以:,得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:,狀態(tài)方程的解為:,16,方法二:特征值特征向量法,利用對角形變換求解 當(dāng)A的n個特征值 兩兩互異時, 確定矩陣P,化A為對角線標(biāo)準(zhǔn)形,則有:,17,方法三:拉氏反變換法(),對給定的nn常陣A,,(),證明:,狀態(tài)方程,取拉氏變換有:,(sI-A)是系統(tǒng)特征矩陣,它是非奇異的,故有,進(jìn)行拉氏

6、反變換有:,由系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(零輸入響應(yīng))可知:,18,例2-2()(例9-7):求下列狀態(tài)方程的解,解:系統(tǒng)的特征矩陣為:,19,因為:,故:,狀態(tài)方程的解為:,20,二零狀態(tài)響應(yīng),由狀態(tài)方程 所描述的線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式為,當(dāng) 時(即 ),線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為:,21,證:,對上式從0至t進(jìn)行積分,,上式兩邊左乘eAt,22,三線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動規(guī)律,初始狀態(tài)x0和外輸入作用u共同作用下的狀態(tài)方程,或,的解,可由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加而得出,即線性定常系統(tǒng)在初始狀態(tài)和外輸入同時作用下的狀態(tài)運(yùn)動的表達(dá)式為:,或,23,2.3 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,一線性定常

7、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,對于給定的線性定常系統(tǒng),其中x為n維狀態(tài)向量,稱滿足如下矩陣方程,的nn解陣 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,24,2. 基本解陣的定義,由方程 的任意n個線性無關(guān)解所構(gòu)成的nn矩陣函數(shù) ,稱為方程 的一個基本解陣。,基本解陣 具有如下性質(zhì):,其中:H為非奇異實常值矩陣。,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和系統(tǒng)的基本解陣間的一個基本關(guān)系式:,25,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt有如下性質(zhì): ,對任意t0,eAt為非奇異實值常陣,因此, eAt是 的基本解陣,即有:,將其代入 ,則有線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:,當(dāng)t0 = 0時,可將其表為,即對于線性定常系統(tǒng)來說,它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移

8、矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。,26,3用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示的系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律表達(dá)式,或,變量替換,該形式更便于計算,27,二線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(),1,證明:由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本關(guān)系式知:,28,2,證明:,由于,因此: ,,所以有:,29,3,證明:由于 分別表示由狀態(tài) 轉(zhuǎn)移至狀態(tài) 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。而,故:,30,4,證明: 據(jù)性質(zhì)3),(該性質(zhì)可推廣為 ),根據(jù) 的這一性質(zhì),對于線性定常系統(tǒng)有,根據(jù)移矩陣的定義可得:,這說明狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有可逆性,x(t)可由x0轉(zhuǎn)移而來,x(0)也可由x(t)轉(zhuǎn)移而來。,31,5,證明:,圖2-1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)5),6,證明:,32,7 由A唯一

9、地確定,當(dāng)利用 計算時, 與所選擇的 無關(guān)。,證明:設(shè) 和 是 的兩個不同的基本解陣,且兩者之間成立,其中:P為非奇異實值常陣,則,這表明 是滿足唯一性的。,33,例2-3()(例9-8):已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,試求:,解:1),2)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)有:,所以:,34,三線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解x(t)的計算() (即求線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)),已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:,求該狀態(tài)方程的解x(t),其實就是求系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。主要方法有如下兩種:,積分法,拉氏變換法,35,1積分法:,在求出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的基礎(chǔ)上,直接利用公式計算:,變量替換,該形式更便于計算,36,2拉氏變換法:,對系統(tǒng) 的兩邊進(jìn)行拉式變換,有,對上式進(jìn)行拉式反變換有:,37,四 系統(tǒng)的輸出響應(yīng),線性定常系統(tǒng)在初始狀態(tài)和外輸入同時作用下的狀態(tài)響應(yīng)為:,則此時,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為:,38,例2-4():已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和初始條件如下:,求系統(tǒng)在單位階躍輸入u(t) = 1(t)作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。,解:,39,1)積分法:,40,由于

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