高中數(shù)學(xué) 第二章 講明不等式的基本方法 2.1 比較法教案 新人教A版選修

1、2.1 比較法課堂探究1作差比較法證明不等式的一般步驟剖析：(1)作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個(gè)整體進(jìn)行作差(2)變形：將差式進(jìn)行變形，變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等等(3)判斷符號(hào)：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷差的正負(fù)號(hào)(4)結(jié)論：根據(jù)差的正負(fù)號(hào)下結(jié)論知識(shí)拓展 若差式的符號(hào)不能確定，一般是與某些字母的取值有關(guān)時(shí)，則需對(duì)這些字母進(jìn)行討論2作商比較法中的符號(hào)問(wèn)題的確定剖析：在作商比較法中，1ba是不正確的，這與a，b的符號(hào)有關(guān)，比如若a，b0，由1，可得ba，但若a，b0，則由1得出的反而是ba，也就是說(shuō)，在作商比較法中，要對(duì)a，b的符號(hào)作出判斷否則

2、，結(jié)論可能是錯(cuò)誤的名師點(diǎn)拔 使用作商比較法時(shí)一定要注意不等式兩邊的式子均為正值，若均為負(fù)值時(shí)，可先同乘以1，轉(zhuǎn)化后再進(jìn)行證明 題型一 利用作差比較法證明不等式【例1】已知a1，求證：.分析：因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后，可判斷差的符號(hào)，故可用作差比較法進(jìn)行證明證明：()()0，.反思 根據(jù)左、右兩邊都含無(wú)理式的特點(diǎn)，也可以采取兩邊平方的方法來(lái)比較，但是應(yīng)先判斷兩邊的符號(hào)，都大于0時(shí)，兩邊平方是等價(jià)變形，都小于0時(shí)要改變不等號(hào).題型二 利用作商比較法證明不等式【例2】已知a0，b0，求證：.分析：因?yàn)閍，b均為正數(shù)，故而不等式左邊和右邊都是正數(shù)，所以可以用作商比較法進(jìn)行比較證明：，又a2b2

3、2ab，1，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)取等號(hào).反思 作商比較法的前提條件是兩個(gè)數(shù)a，b都大于0，對(duì)進(jìn)行整理，直到能清晰看出與1的大小關(guān)系為止在運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)用計(jì)算技巧.題型三 比較法在綜合題目中的應(yīng)用【例3】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a15，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12Snn5(nN)(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)f(1)，并比較2f(1)與23n213n的大小分析：在比較大小時(shí)，作差法的差式與“n”的取值有關(guān)，且大小關(guān)系隨“n”的變化而變化(1)證明：由已知Sn12Snn5，n2時(shí)，Sn2Sn1n4，兩式相減，得Sn1Sn2(SnSn1)

4、1，即an12an1，從而an112(an1)當(dāng)n1時(shí)，S22S115，a1a22a16.又a15，故a211，從而a212(a11)故總有an112(an1)，nN.又a15，a110，從而2，即an1是以a116為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn，f(x)a12a2xnanxn1.從而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(22n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.則2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1)(*)當(dāng)n1時(shí)，(*)式0，2f(1)23n213n；當(dāng)n2時(shí)，(*)式120，2f(1)23n213n；當(dāng)n3時(shí)，n10，又2n(11)nCCCC2n22n1，(n1)2n(2n1)0，即(*)式0，從而2f(1)23n213n.反思 此類(lèi)比較大小的題是典型的結(jié)論不唯一的題在數(shù)列中，大小問(wèn)題可能會(huì)隨“n”變化而變化往往n1,2，前幾個(gè)