高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.2 用二分法求方程的近似解學(xué)案（含解析）新人教A版必修

1、31.2用二分法求方程的近似解提出問題在一檔娛樂節(jié)目中，主持人讓選手在規(guī)定時(shí)間內(nèi)猜某物品的價(jià)格，若猜中了，就把物品獎(jiǎng)給選手某次競(jìng)猜的物品為價(jià)格在1 000元之內(nèi)的一款手機(jī)，選手開始報(bào)價(jià)，選手說“800”，主持人說“高了”；選手說“400”，主持人說“低了”問題1：如果是你，你知道接下來該如何競(jìng)猜嗎？提示：應(yīng)猜400與800的中間值600.問題2：通過這種方法能猜到具體價(jià)格嗎？提示：能導(dǎo)入新知1二分法的概念對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisect

2、ion)2用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：第一步，確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度.第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.第三步，計(jì)算f(c)：(1)若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)f(c)0，則令bc此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，則令ac此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)第四步，判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)，否則重復(fù)第二至四步化解疑難利用二分法求方程近似解的過程圖示二分法的概念例1(1)下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點(diǎn)的是()Ayx7By5x1Cylog3x Dyx

3、x(2)以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()解析(1)A解方程x70，得x7B解方程5x10，得x0C解方程log3x1，得x1D無法通過方程xx0得到零點(diǎn)(2)根據(jù)二分法的思想，函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間a，b一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值，對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A，B，D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，圖象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值不變號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)答案(1)D(2)C類題通法二分法的適用條件判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)因此，用

4、二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用活學(xué)活用用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí)，驗(yàn)證f(2)f(4)0，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是()A(2,4) B(2,3)C(3,4) D無法確定解析：選Bf(2)f(4)0，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，x0(2,3).用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)例2求函數(shù)f(x)x25的負(fù)零點(diǎn)(精確度0.1)解由于f(2)10，故取區(qū)間(3，2)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(3，2)2.51.2

5、5(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可取2.25.類題通法利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含函數(shù)的零點(diǎn)，又要使其長(zhǎng)度盡量小(2)用列表法往往能比較清晰地表達(dá)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間(3)根據(jù)給定的精確度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間長(zhǎng)度是否達(dá)到要求，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算活學(xué)活用證明函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一零點(diǎn)，并求出這

6、個(gè)零點(diǎn)(精確度0.1)解：由于f(1)10，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在1,2內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一零點(diǎn)不妨設(shè)為x0，則x01,2下面用二分法求解.(a，b)(a，b) 的中點(diǎn)f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0f(1.187 5)0因?yàn)閨1.187 51.25|0.062 50.1，所以函數(shù)f(x)2x3x6的精確度為0.1的近似零點(diǎn)可取為1.25.用二分法求方程的近似解例3用二分法求方程2x33x30的

7、一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度0.1)解令f(x)2x33x3，經(jīng)計(jì)算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x33x3在(0,1)內(nèi)有解取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點(diǎn)cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5

8、,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解類題通法用二分法求方程的近似解應(yīng)明確兩點(diǎn)(1)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解(2)對(duì)于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解活學(xué)活用為了求函數(shù)f(x)2x3x7的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量x和函數(shù)f(x)的部分對(duì)應(yīng)值，如下表

9、所示：x1.251.312 51.3751.437 51.5f(x)0.673 40.287 40.123 10.559 91.024 6則方程2x3x7的近似解(精確度0.1)可取為()A1.32 B1.39C1.4 D1.3解析：選C由題表知f(1.312 5)f(1.375)0，且1.3751.312 50.062 50.1，所以方程的一個(gè)近似解可取1.32.典例用二分法求方程f(x)0在0,1內(nèi)的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一個(gè)近似解為_(精確度0.1)解析因?yàn)閨0.750.687 5|0.062 50.1，所以區(qū)間0.687 5,0.7

10、5內(nèi)的任何一個(gè)值都可作為方程的近似解答案0.75(答案不唯一)易錯(cuò)防范1由于f(0.625)0，故在區(qū)間(0.625,0.75)內(nèi)也存在零點(diǎn)，但|0.750.625|0.1，所以不符合精確度0.1的要求，解決本題時(shí)極易忽視此條件而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤2利用二分法求方程的根，在計(jì)算到第幾步時(shí)，區(qū)間(an，bn)的長(zhǎng)度應(yīng)小于精確度活學(xué)活用用二分法求函數(shù)f(x)3xx4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060根據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3xx40的一

11、個(gè)近似解(精確度0.1)為_解析：由表中數(shù)據(jù)可知：f(1.562 5)f(1.556 2)0.而|1.562 51.556 2|0.006 30.1.零點(diǎn)x0(1.556 2,1.562 5)可取零點(diǎn)為1.556 2(或1.562 5)答案：1.556 2或(1.562 5)隨堂即時(shí)演練1用二分法求函數(shù)f(x)x35的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是()A2,1B1,0C0,1 D1,2解析：選Af(2)30，f(2)f(1)0，可以取區(qū)間2,1作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算2在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，則函數(shù)的一個(gè)精確

12、到0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為()A0.68 B0.72C0.7 D0.6解析：選C已知f(0.64)0，f(0.72)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.64,0.72)，又因?yàn)?.68(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)上，且該區(qū)間的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值3已知二次函數(shù)f(x)x2x6在區(qū)間1,4上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(1)60，由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在1,4內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法求解時(shí)，取(1,4)的中點(diǎn)a，則f(a)_.解析：顯然(1,4)的中點(diǎn)為2.5，則f(a

13、)f(2.5)2.522.562.25.答案：2.254用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內(nèi)的實(shí)數(shù)根時(shí)，取區(qū)間中點(diǎn)x02.5，那么下一個(gè)有根區(qū)間是_解析：f(2)0，下一個(gè)有根區(qū)間是(2,2.5)答案：(2,2.5)5求方程x22x1的一個(gè)近似解(精確度0.1)解：設(shè)f(x)x22x1.f(2)10，在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x22x10有一解，記為x0.取2與3的平均數(shù)2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2與2.5的平均數(shù)2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此繼續(xù)下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.37

14、5，2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一個(gè)精確度為0.1的近似解可取為2.437 5.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1下列關(guān)于函數(shù)f(x)，xa，b的命題中，正確的是()A若x0a，b且滿足f(x0)0，則x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)B若x0是f(x)在a，b上的零點(diǎn)，則可以用二分法求x0的近似值C函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)0的根，但f(x)0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)D用二分法求方程的根時(shí)，得到的都是近似解解析：選A使用“二分法”必須滿足“二分法”的使用條件，B不正確；f(x)0的根也一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，C不正確；用二分法求方程的根時(shí)，得到

15、的也可能是精確解，D不正確，只有A正確2設(shè)f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2,3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，則方程的根落在區(qū)間()A(2,2.25)B(2.25,2.5)C(2.5,2.75) D(2.75,3)解析：選C因?yàn)閒(2.25)0，f(2.75)0，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間(2.25,2.75)內(nèi)必有根，利用二分法得f(2.5)0，由零點(diǎn)存在性定理知，方程的根在區(qū)間(2.5,2.75)，選C.3已知函數(shù)f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,3)內(nèi)近似解的過程中，取區(qū)間中點(diǎn)x02，那么下

16、一個(gè)有根區(qū)間為()A(1,2) B(2,3)C(1,2)或(2,3) D不能確定解析：選Af(1)20，f(2)70，f(3)280，f(x)在(1,2)內(nèi)有解，故選A.4若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)零點(diǎn)(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一個(gè)近似解(精確度0.04)為()A1.5 B1.25C1.375 D1.437 5解析：選D由參考數(shù)據(jù)知，f(1.406 25)0.054，f(1.437 5)0.

17、162，即f(1.406 25)f(1.437 5)0，且1.437 51.406 250.031 250，f0，f(1)10，f(2)220，顯然有f(0)f0.二、填空題6某方程有一無理根在區(qū)間D(1,3)內(nèi)，若用二分法求此根的近似值，將D等分_次后，所得近似值可精確到0.1.解析：由10，n14，即n5.答案：57在26枚嶄新的金幣中，有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn))，現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱_次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣解析：將26枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那13枚金幣里面；從這13枚金幣中拿出1枚，然后將剩下的12枚金幣平均分

18、成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則假幣一定是拿出的那一枚，若不平衡，則假幣一定在質(zhì)量小的那6枚金幣里面；將這6枚金幣平均分成兩份，分別放在天平兩端，則假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面；從這3枚金幣中任拿出2枚，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一枚即是假幣，若不平衡，則質(zhì)量小的那一枚即是假幣綜上可知，最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣答案：48某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lg x2x的近似解(精確到0.1)”時(shí)，設(shè)f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下過程中，他用“二分法”又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4個(gè)值依次是_解析：

19、第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2)，第二次得區(qū)間(1.75,2)，第三次得區(qū)間(1.75,1.875)，第四次得區(qū)間(1.75,1.812 5)答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答題9從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點(diǎn)，一般最多需要檢查多少個(gè)接點(diǎn)？解：先檢查中間的1個(gè)接點(diǎn)，若正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的7個(gè)接點(diǎn)中；然后檢查這一段中間的1個(gè)接點(diǎn)，若仍正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的3個(gè)接點(diǎn)中；最后只需檢查這3個(gè)接點(diǎn)中間的1個(gè)，即可找出故障所在故一般最多只需檢查3個(gè)接點(diǎn)10證明方程63x2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有

20、唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解(精確度為0.1)解：設(shè)函數(shù)f(x)2x3x6.f(1)10，又f(x)是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則方程63x2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解設(shè)該解為x0，則x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x01,1.25取x31.125，f(1.125)0.440.f(1.125)f(1.25)0.x01.125,1.25取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x01.187 5,1.251.251.187 50.062 50.1，可取x01.2，滿足要求的方程的實(shí)數(shù)解為1.2.11判斷函數(shù)f(x)2x31的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并用二分法求零點(diǎn)的近似值(精確度0.1)解：f(0)10，即f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0(0,1)取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)x10.5