1996年考研數(shù)學(xué)二試題及答案

1、.1996 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題 ( 本題共 5小題 , 每小題 3 分 , 滿分 15 分 . 把答案填在題中橫線上 .)x2(1)設(shè) y( xe 2 )3, 則 yx 0 .11x2 )2 dx(2)( x .1(3) 微分方程 y 2 y 5y 0 的通解為 .(4)lim x sin ln(13)sin ln(11) .xxx(5)由曲線 yx1 , x2及 y2 所圍圖形的面積s .x二、選擇題 ( 本題共5 小題 , 每小題3 分 , 滿分 15 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)當(dāng) x

2、0時(shí) ,ex(ax2bx1) 是比 x2 高階的無(wú)窮小 , 則( )(a)a1 ,b1(b)a1,b12(c)a11(d)a1,b1, b2(2)設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (,) 內(nèi)有定義 , 若當(dāng) x(, ) 時(shí) , 恒有 | f ( x) |x2 , 則 x 0必是 f ( x) 的()(a)間斷點(diǎn)(b)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(c) 可導(dǎo)的點(diǎn) , 且 f(0)0(d)可導(dǎo)的點(diǎn) , 且 f (0)0(3)設(shè) f (x) 處處可導(dǎo) , 則()(a)當(dāng) limf ( x), 必有 limf ( x)xx(b)當(dāng) limf (x), 必有 limf ( x)xx(c)當(dāng) limf ( x), 必有

3、limf ( x)xx(d)當(dāng) limf (x), 必有l(wèi)imf ( x)xx11(4)在區(qū)間 (,) 內(nèi) , 方程 | x |4| x |2cos x0()(a)無(wú)實(shí)根(b)有且僅有一個(gè)實(shí)根;.(c)有且僅有兩個(gè)實(shí)根(d)有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根(5)設(shè) f( x), g(x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù) , 且 g( x)f (x)m ( m 為常數(shù) ), 由曲線 yg( x),yf (x), xa 及 xb 所圍平面圖形繞直線y m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為( )bf ( x)g( x)f (x)g ( x)dx(a)2ma(b)bf ( x)g( x)f (x)g ( x)dx2mabf (x)g(

4、x)f ( x)g( x)dx(c)ma(d)bf (x)g( x)f (x)g( x)dxma三、 ( 本題共 6 小題 , 每小題 5 分 , 滿分 30 分.)ln2e 2x dx .(1)計(jì)算10(2)求dx.1sin xxtd 2 y(3)設(shè)f (u2 ) du,022其中 f (u) 具有二階導(dǎo)數(shù), 且 f (u)0 , 求 dx2 .y f (t),(4)求函數(shù) f ( x)1x 在 x 0 點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n 階泰勒展開(kāi)式 .1x(5)求微分方程 yyx2 的通解 .(6) 設(shè)有一正橢圓柱體 , 其底面的長(zhǎng)、短軸分別為2a、2b , 用過(guò)此柱體底面的短軸與底面成角 ( 0

5、) 的平面截此柱體, 得一鍥形體 ( 如圖 ), 求此鍥形體的體積v .2四、 ( 本題滿分8 分 )arctan x計(jì)算不定積分x2 (1x2 ) dx .;.五、 ( 本題滿分 8分 )12x2 ,x1,設(shè)函數(shù) f ( x)x3 ,1 x2,12x16,x2.(1) 寫出 f ( x) 的反函數(shù) g( x) 的表達(dá)式；(2) g(x) 是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) , 若有 , 指出這些點(diǎn) .六、 ( 本題滿分8分 )設(shè)函數(shù) yy( x) 由方程 2y32y22xyx21所確定 , 試求 yy( x) 的駐點(diǎn) , 并判別它是否為極值點(diǎn) .七、 ( 本題滿分8分 )設(shè) f (x) 在區(qū)間 a, b

6、 上具有二階導(dǎo)數(shù) , 且 f (a)f (b)0 ,f (a) f (b) 0 , 試證明：存在(a,b) 和( a, b) , 使 f ()0 及 f( )0 .八、 ( 本題滿分8分 )設(shè) f (x) 為連續(xù)函數(shù) ,(1)y ayf ( x),求初值問(wèn)題的解 y( x) , 其中 a 為正的常數(shù)；y x 00(2)若 | f ( x) |k ( k 為常數(shù) ), 證明：當(dāng) x 0 時(shí) , 有 | y( x) |k (1e ax ) .a;.1996 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分 , 滿分 15 分 .)(1) 【答案 】 1

7、31【解析】(2) 【答案】2x31 eyx e 21322x2, y x 02111 .323【解析】注意到對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì), 有12 x 1 x21 x2dx11 dx 0 2 2 .原式x22x 1 x211【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：a若 f (x) 在 a, a 上連續(xù)且為奇函數(shù), 則af ( x)dx0 ；若 f (x) 在 a, a 上連續(xù)且為偶函數(shù)aa, 則f ( x)dx 2 f ( x)dx .a0(3) 【答案】 yexc cos2xc sin 2x12【解析】因?yàn)?y2 y5 y0 是常系數(shù)的線性齊次方程, 其特征方程 r 22r50 有一對(duì)

8、共軛復(fù)根 r1 ,r212i. 故通解為 ye xc1 cos2 xc2 sin2x .(4) 【答案】 2【解析】因?yàn)?x時(shí) ,sin ln 1k: ln1k :k ( k 為常數(shù) ), 所以 ,xxx原式lim xsin ln13lim x sin ln11limx3limx 1312 .xxxxxxxx(5) 【答案】 ln 212【解析】曲線 yx1 , y2 的交點(diǎn)是 1, 2, yx1x221, 當(dāng) x1 時(shí)xxx1( 單調(diào)上升 ) 在 y2 上方 , 于是yyx1y xxx2s2x12 dx1x121x2ln x2xln 2.212o12x二、選擇題 ( 本題共 5 小題 , 每

9、小題 3 分 , 滿分 15 分 .);.(1) 【答案】 (a)【解析】 方法 1：用帶皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式 . 由exax2bx11xx2x2ax2bx12!1 b x1a x2x2令x2 ,21b0,1 ,b可得1a0,a1.應(yīng)選 (a).22方法 2：用洛必達(dá)法則 . 由limex(ax 22bx1)洛 lim ex2axb0,x0xx02x有l(wèi)imex2axb1b0b1.x0又由lim ex2axblim ex2a12a0a1.x02xx 0222應(yīng)選 (a).(2) 【答案】 (c)【解析】 方法一： 首先 , 當(dāng) x0時(shí),| f (0) |0f (0)0 .而按照可導(dǎo)定義我們考察0

10、f (x)f (0)f (x)x2x0( x0) ,xxx由夾逼準(zhǔn)則 ,f(0)limf (x)xf (0)0 , 故應(yīng)選 (c).x0方法二： 顯然 ,f (0)0 , 由 | f ( x) |x2, x(,) , 得 f ( x)1, x( ,0) u (0, ) , 即x2f (x) 有界 , 且x2f(0)limf (x)f (0)limf (x)x0 .xx2x0x 0故應(yīng)選 (c).方法三： 排除法 .令 f ( x)x3 , f (0)0, 故 (a) 、 (b) 、 (d) 均不對(duì) , 應(yīng)選 (c).;.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】定理：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.(3) 【答案】 (d

11、)【解析】 方法一： 排除法 . 例如 f ( x)x , 則 (a),(c) 不對(duì)；又令 f (x)ex , 則 (b) 不對(duì) .故應(yīng)選擇 (d).方法二： 由 lim f ( x), 對(duì)于 m0 , 存在 x 0 , 使得當(dāng) x x0 時(shí) , f( x)m .x由此 , 當(dāng) xx0 時(shí) , 由拉格朗日中值定理 ,f ( x)f ( x0 ) f ( )( x x0 )f ( x0 ) m ( x x0 )( x) ,從而有 limf( ), 故應(yīng)選擇 (d).xx【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f ( x) 滿足(1) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)

12、 ,那么在 (a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ( ab ), 使等式f (b) f ( a)f ( )(b a)成立 .(4) 【答案】 (c)11【解析】令 f (x)| x |4| x |2cos x ,則 f ( x)f ( x) , 故 f ( x) 是偶函數(shù) , 考察 f (x)在 (0,) 內(nèi)的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)：11f ( x)x 4x2cos x ( x0 ).首先注意到 f (0)1 0 , f ( )1(11 0, 當(dāng) 0 x( ) 4) 22222理, 函數(shù) f ( x) 必有零點(diǎn) , 且由時(shí) , 由零值定31f ( x)1 x 41 x 2sin x0 ,42f ( x) 在 (0,)

13、 單調(diào)遞增 , 故 f ( x) 有唯一零點(diǎn) .21111當(dāng) xf ( x)x 4x 2cos x1 0, 沒(méi)有零點(diǎn)；時(shí) ,( )4( ) 2222因此 , f ( x) 在 (0,) 有一個(gè)零點(diǎn). 又由于 f ( x) 是偶函數(shù) , f ( x) 在 ( ,) 有兩個(gè)零點(diǎn) .;.故應(yīng)選 (c).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) , 且 f (a) 與 f (b) 異號(hào) ( 即f (a)f (b)0 ), 那么在開(kāi)區(qū)間(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn), 使 f ( )0 .(5) 【答案】 (b)y【解析】myf ( x)yg ( x)oaxxdxbx見(jiàn)上圖 , 作

14、垂直分割 , 相應(yīng)于x, xdx 的小豎條的體積微元dv(mg (x)2 dx(mf ( x) 2 dx(mg( x)(mf (x)(mg (x)(mf ( x) dx2mg( x)f (x)f (x)g (x) dx ,b于是故選擇 (b).v2mg (x)f ( x)f ( x)g(x) dx ,a三、 ( 本題共 6 小題 , 每小題 5 分 , 滿分 30 分.)(1) 【解析】 方法一： 換元法 .令 1 e 2 xu , 則 x1 ln(1 u 2 ), dxudu ,21 u2ln22x dx所以1 e0方法二： 換元法 .令 e xsin t , 則 x3u23113112du

15、2 (1)du2 (2)du0 1 u201 u22 01 u 1 u311u 23ln(23)3.lnu 02122ln sin t, dxcostdt , x : 0 ln 2t :,sin t261 e 2x dx6 costcost dt2ln202sin t61sin t dtsin t;.ln(csctcot t) 2cost 2ln(2 3)3.662方法三： 分部積分法和換元法結(jié)合 .ln21dxln2e2x1d ( e x )原式e x e2x00ln2ln 22 xe xe2xedx1e x002 x1e令 ext , 則 x :0ln 2t :12 ,原式【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1

16、.32dt3ln(tt 2 1)23ln(23) .21t21212cscxdx1dxln cscxcot xc ,sin x2. a 0 時(shí) ,dxa2ln xx2a2c .x2(2) 【解析】 方法一：1dx(1(1sin x)dx1 sin xdxsin xsin x)(1 sin x)cos2 x方法二：方法三： 換元法 .1dxsin xdx2d cos x22sec xdx2cos x1cos xcos xtan xc .cos xdxdx1 sin x(cosxx2sin)22d (1x2tan )2sec xdx22c .(1tan x)2(1 tan x )21tan x22

17、2令 tan xt ,則x 2arctan t, dx2t2 ,sin x2 tant2t,211tan2 t1 t2原式12dt2dt2c2c .2t1 t2t) 21 tx(1112tan1 t2(3) 【解析】這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù), 其導(dǎo)數(shù)為dydy2 f (t2 ) f (t 2 ) 2tdt(t2) ,dxdx4tff (t 2 )dt;.所以d 2 yd ( dy ) dtd (4tf (t 2 )dt4 f (t 2 ) 4tf (t 2 ) 2t1dx2dt dxdxdtdxf (t 2 )4f (t2 )2t2 f (t 2 ) .f (t 2 )(4) 【解析】函數(shù)f

18、 ( x) 在 x0 處帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式為f ( x) f (0) f (0) x lf ( n) (0) xnf ( n1) ( x) xn 1,(01) .n!(n1)!對(duì)于函數(shù) f ( x)1x , 有1xf ( x)212(1x) 11,1xf( x)2(1)(1x) 2 ,f( x)2(1) (2)(1x) 3,l,f ( n ) ( x)2(1)nn!(1x)( n1)所以f ( n ) (0)2(1)nn!,(n1,2,3l ),故f ( x)1 x1 2x 2x2l( 1)n 2xn( 1)n 12xn 1n 1 (01) .1 x(1x)(5) 【解析】 方法一：

19、微分方程 yyx2 對(duì)應(yīng)的齊次方程yy0的特征方程為r 2r0 , 兩個(gè)根為 r10, r21 , 故齊次方程的通解為yc1c2e x.設(shè)非齊次方程的特解yx (ax2bxc)因此方程通解為 y c1c2 e x1 x3x22 x3, 代入方程可以得到 a1, b 1,c 2 ,3.方法二： 方程可以寫成 ( yy )x2 , 積分得 y yx3c0 , 這是一階線性非齊次微分方3程, 可直接利用通解公式求解. 通解為dx3dxy e ( ( xc0 )e dx c )3;.ex( (x3xx13dexx3c0 ) e dx c ) e(xc0 e c )3e x3xx2dx ) c0 cex

20、3( x e 3 exx3e xexx2dxc0 ce xx3e x (ex x22ex xdx )c0 ce x33x3x22exxxcex3(e xe ) c0x3x22xc1cex3.方法三：作為可降階的二階方程, 令 yp , 則 yp ,方程化為 pp x2 ,這是一階線性非齊次微分方程 , 可直接利用通解公式求解. 通解為pe x (c0x2 exdx)e x (c0x2ex2xex2ex )c0 e xx22x2.再積分得yc1c2 e xx3x22x .3【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1. 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)y* ( x) 是二階線性非齊次方程yp(x) yq( x) yf ( x

21、) 的一個(gè)特解 . y( x) 是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程yp(x) yq (x) y0 的通解 , 則 yy( x) y* ( x) 是非齊次方程的通解 .2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解y( x) , 可用特征方程法求解：即yp( x) yq ( x) y0 中的 p( x) 、 q( x) 均是常數(shù) , 方程變?yōu)?ypyqy0 . 其特征方程寫為r 2prq0 , 在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根r1, r2 ；分三種情況：(1) 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 r1 , r2 , 則通解為 y c1erx1 c 2er2 x ;(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 r1r2 ,

22、 則通解為 yccx erx1;12(3)一對(duì)共軛復(fù)根 r1,2i, 則通解為 ye xc1 cosx c2 sinx . 其中 c1 , c2為常數(shù) .3. 對(duì)于求解二階線性非齊次方程yp( x) y q (x) yf ( x) 的一個(gè)特解y* (x) , 可用待定;.系數(shù)法 , 有結(jié)論如下：如果f(x)( )x,則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如*(x)kqm (x)expm x eyx的特解 , 其中 qm( x) 是與 pm ( x) 相同次數(shù)的多項(xiàng)式, 而 k 按 不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1 或 2.如果 f ( x)e x pl (x) cos

23、 x pn ( x)sinx , 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yp(x) yq( x) yf (x) 的特解可設(shè)為y*xk e x rm(1) ( x) cosxrm(2) ( x)sinx ,其中 rm(1) ( x) 與 rm(2) (x) 是 m 次多項(xiàng)式 , m maxl , n , 而 k 按i ( 或i) 不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0 或 1.4.一階線性非齊次方程yp(x) yq( x) 的通解為p ( x) dxp( x)dxy eq ( x)edx c , 其中 c 為任意常數(shù) .(6) 【解析】建立坐標(biāo)系, 底面橢圓方程為x2y21.a2b2方法一： 以

24、垂直于 y 軸的平面截此楔形體所得的截面為直角三角形,其中一條直角邊長(zhǎng)為xab2y2 ,b另一條直角邊長(zhǎng)為故截面面積為ab2y2 tan ,bs( y)1 a2(b22) tan .2 b2y楔形體的體積為ba2b2 a2 b tanv 2s( y)dy2tan(b2y2 )dy.0b03方法二： 以垂直于 x 軸的平面截此楔形體所得的截面為矩形,其中一條邊長(zhǎng)為2y2ba2x2 ,xtana另一條邊長(zhǎng)為,故截面面積為s(x)2 b xa2x2tan,a楔形體的體積為;.v 2 s(x)dx2b tanxa2x2 dx2a2 b tan .aa0a03四、 ( 本題滿分8 分 )【解析】 方法一

25、： 分部積分法 .arctan xarctan xarctan xx2 (1 x2 )dxx2dx1 x2dxarctanxd(1)arctan xd(arctanx)x分部1 arctan xdx1 arctan2 xxx(1x2 )211x12xarctanx(x1x2 )dx2arctan x1arctanxln x1ln(1x2 )1arctan2 x c .x22方法二： 換元法與分部積分法結(jié)合 .令 arctanxt , 則 x tan t, dxsec2 tdt ,arctan xdxt sec2 tdttdtt cot2 tdtx2 (1x2 )tan2 t (1tan2 t

26、)tan2 tt(csc2 t1)dttd (cot t)tdt分部t cot tcot dt1t 22t cot tcosx dt1t 2sin x2t cot t1d sin t1 t 2sint1 t22t cot tln sin tc .2五、 ( 本題滿分8 分 )【分析】 為了正確寫出函數(shù) f (x) 的反函數(shù) g( x) , 并快捷地判斷出函數(shù)g( x) 的連續(xù)性、 可導(dǎo)性, 須知道如下關(guān)于反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 反函數(shù)的性質(zhì)： 若函數(shù) f ( x) 是單調(diào)且連續(xù)的, 則反函數(shù) g ( x) 有相同的單調(diào)性且也是連續(xù)的；函數(shù) f (x)的值域即為反函數(shù) g ( x) 的定義域； g ( x)1,f ( x)故函數(shù) f (x) 的不可導(dǎo)點(diǎn)和使 f ( x)0 的點(diǎn) x 對(duì)應(yīng)的值 f (x) 均為 g ( x) 的不可導(dǎo)點(diǎn) .;