第三章――傅里葉變換

1、第三章 傅里葉變換3.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析（一） 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)可由三角函數(shù)的線性組合來表示，若的周期為，角頻率，頻率，傅里葉級(jí)數(shù)展開表達(dá)式為各諧波成分的幅度值按下式計(jì)算 其中狄利赫里條件：（1） 在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；（2） 在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；（3） 在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即等于有限值。（二） 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開也可以表示為指數(shù)形式，即其中其中為從到的整數(shù)。（三） 函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（1） 偶函數(shù)由于為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則所以，在偶函數(shù)

2、的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)含有正弦項(xiàng)，只可能含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。（2） 奇函數(shù)由于為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則 所以，在奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只可能包含正弦項(xiàng)（3） 奇諧函數(shù)（） 半波對(duì)稱周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中，只會(huì)含有基波和奇次諧波的正、余弦項(xiàng)，而不會(huì)含有偶次諧波項(xiàng)，這也是奇諧函數(shù)名稱的由來。（四） 傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差吉布斯現(xiàn)象：在用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)合成原周期函數(shù)時(shí)，當(dāng)選取傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)愈多時(shí)，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起愈靠近的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)所選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，這種現(xiàn)象通常稱為

3、吉布斯現(xiàn)象。3.2傅里葉變換（一）定義傅里葉正變換：傅里葉逆變換：式中是的頻譜函數(shù)，它一般是復(fù)函數(shù)，可以寫作習(xí)慣上把和曲線分別稱為幅度頻譜和相位頻譜。（二）典型非周期信號(hào)的傅里葉變換1 單邊指數(shù)信號(hào)其 ， ， 2 雙邊指數(shù)信號(hào)其 ， ， 3 符號(hào)函數(shù)其 ， ， 3.3周期信號(hào)的傅里葉變換(一) 正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換 由歐拉公式：和可知(二) 一般周期信號(hào)的傅里葉變換已知周期信號(hào)的周期為，角頻率為，可以將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)其中傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為則該周期信號(hào)的傅里葉變換為 式表明：周期信號(hào)的傅里葉變換是由一些沖激函數(shù)組成的，這些周期信號(hào)位于信號(hào)的諧頻處，每個(gè)沖擊的強(qiáng)度等于的傅里葉級(jí)數(shù)相應(yīng)系數(shù)

4、的倍。例 若單位沖激函數(shù)的間隔為，用符號(hào)表示周期單位沖激序列，即求單位周期沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。解 因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，所以可以把它展開成傅里葉級(jí)數(shù)其中于是由上式知所以（三）周期性脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)與單脈沖的傅里葉變換的關(guān)系 已知周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是其中，傅里葉系數(shù)從周期性脈沖序列中截取一個(gè)周期，得到所謂的單脈沖信號(hào)，該單脈沖信號(hào)的傅里葉變換等于比較周期性脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)和單脈沖的傅里葉變換可以得到 式表明：周期性脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)等于單脈沖的傅里葉變換在頻率點(diǎn)的值乘以。例 已知周期矩形脈沖信號(hào)的幅度為，脈寬為，周期為，角頻率為，求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)與傅

5、里葉變換。解 已知矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換等于由上式可以求出周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉系數(shù)這樣，的傅里葉級(jí)數(shù)為再由上式便可以得到的傅里葉變換，它是3.4抽樣定理（一） 時(shí)域抽樣信號(hào)的傅里葉變換假設(shè)連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換為 ；抽樣脈沖序列的傅里葉變換為 ；抽樣后信號(hào)的傅里葉變換為 ?，F(xiàn)經(jīng)分析計(jì)算得該式表明：信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的形狀以抽樣頻率為間隔周期地重復(fù)而得到，在重復(fù)的過程中幅度被的傅里葉系數(shù)所加權(quán)。（二） 頻域抽樣信號(hào)的傅里葉變換 已知連續(xù)頻譜函數(shù)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為。若在頻域中被間隔為的沖激序列抽樣，那么抽樣后的頻譜函數(shù)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)與的關(guān)系如下：該是表明：若的頻譜被間隔為的沖激序列在頻域中抽樣，則在時(shí)域中等效于以為周期而重復(fù)。（三） 時(shí)域抽樣定理一個(gè)頻譜受限的信號(hào)，如果頻譜只占據(jù)的范圍，則信號(hào)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示，而抽樣間隔必須不大于奈奎斯特間隔（其中），或者說，最低抽