第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法.ppt

1、1,多元函數(shù)的極值和最值,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法,2,一、多元函數(shù)的極值和最值,1.極大值和極小值的定義,一元函數(shù)的極值的定義:,是在一點(diǎn)附近,將函數(shù)值比大小.,定義,點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).,類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.,?,設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域,為極大值.,則稱,3,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的,函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的,多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.,有時(shí),極值.,極值點(diǎn).,內(nèi)的值比較.,是與P0的鄰域,極小值可能比極大值還大.,4,例,函數(shù) 存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極

2、小值.,?,橢圓拋物面,在簡(jiǎn)單的情形下是,容易判斷的.,函數(shù),(也是最小值).,5,例,例,在(0,0)點(diǎn)取極大值.,(也是最大值).,在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.,下半個(gè)圓錐面,馬鞍面,函數(shù),函數(shù),6,2.極值的必要條件,定理1,(必要條件),則它在該,點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:,7,證,有極大值,不妨設(shè),都有,說明一元函數(shù),有極大值,必有,類似地可證,8,推廣,如果三元函數(shù),具有偏導(dǎo)數(shù),則它在,有極值的必要條件,為,9,均稱為函數(shù)的,駐點(diǎn),極值點(diǎn)(偏導(dǎo)數(shù)存在),仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的,點(diǎn),駐點(diǎn).,如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).,?,10,3.極值的充分條件,定

3、理2,(充分條件),的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:,(1),有極值,有極大值,有極小值;,(2),沒有極值;,(3),可能有極值,也可能無(wú)極值.,11,求函數(shù) 極值的一般步驟:,第一步,解方程組,求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).,第二步,對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值,第三步,定出,的符號(hào),再判定是否是極值.,12,例,解,又,在點(diǎn)(0,0)處,在點(diǎn)(a,a)處,故,故,即,的極值.,在(0,0)無(wú)極值;,在(a,a)有極大值,13,解,練習(xí),求由方程,將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為,將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),法一,14

4、,故,函數(shù)在P有極值.,代入原方程,為極小值;,為極大值.,所以,所以,15,求由方程,解,練習(xí),法二,配方法,方程可變形為,于是,顯然,根號(hào)中的極大值為4,由可知,為極值.,即,為極大值,為極小值.,16,取得.,然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:,函數(shù),不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.,在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處,但也可能是極值點(diǎn).,在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù),17,2003年考研數(shù)學(xué)(一), 4分,選擇題,已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則,(A

5、) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).,(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).,(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).,(D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).,18,其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,4.多元函數(shù)的最值,求最值的一般方法,最小者即為最小值.,將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及,在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,19,解,(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn),由于,所以函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值.,(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值,(現(xiàn)最值只能在邊界上),圍成的三角形閉域D

6、上的,最大(小)值.,例,D,20,在邊界線,在邊界線,由于,最小,由于,又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.,有駐點(diǎn),函數(shù)值,有,單調(diào)上升.,21,在邊界線,所以, 最值在端點(diǎn)處.,由于,函數(shù)單調(diào)下降,(3),比較,22,解,練習(xí),此時(shí),的最大值與最小值.,駐點(diǎn),得,23,對(duì)自變量有附加條件的極值.,其他條件.,無(wú)條件極值,對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無(wú),條件極值,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,24,解,例,已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問長(zhǎng)、寬、高,各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,由題意,長(zhǎng)方體的體積為,且長(zhǎng)方體體積,一定有最大值,體體積最大.,故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高

7、都為6時(shí)長(zhǎng)方,由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),25,上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù),的極值,要受到條件,的限制,這便是一個(gè)條件極值,問題.,目標(biāo)函數(shù),約束條件,有時(shí)條件極值,目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值.,可通過將約束條件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介紹解決條件極值問題的一般,方法:,下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法,26,拉格朗日乘數(shù)法:,現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù),在約束條件,下取得,如函數(shù)(1)在,由條件,(1),(2),極值的必要條件.,取得所求的極值,那末首先有,(3),確定y是x的隱函數(shù),于是函數(shù)(1),即,取得所求的,在 取得極值.,極值.,27,其中,代入(4)得:,由一

8、元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:,(4),取得極值.,在,(3) ,(5)兩式,取得極值的必要條件.,就是函數(shù)(1)在條件(2)下的,28,設(shè),上述必要條件變?yōu)?,(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):,(6),的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在,的值.,函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).,29,拉格朗日乘數(shù)法:,極值的必要條件,在條件,要找函數(shù),下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù),為某一常數(shù),其中,可由,解出,其中,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).,30,如何確定所求得的點(diǎn),實(shí)際問題中,非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.,拉格朗日乘數(shù)法可推廣:,判定.,可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來,的情況.,自變量多于兩個(gè),

9、是否為極值點(diǎn),?,31,解,則,又是實(shí)際問題,解得唯一駐點(diǎn),一定存在最值.,令,32,解,為橢球面上的一點(diǎn),令,則,的切平面方程為,在第一卦限內(nèi)作橢球面,的,使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的,例,切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).,33,目標(biāo)函數(shù),該切平面在三個(gè)軸上的截距各為,化簡(jiǎn)為,所求四面體的體積,約束條件,在條件,下求V 的最小值,34,約束條件,令,由,目標(biāo)函數(shù),35,可得,即,當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為,四面體的體積最小,36,練習(xí),解,為簡(jiǎn)化計(jì)算,令,是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為,問題化為在,下求,的最小值.,目標(biāo)函數(shù),約束條件,37,設(shè),(1),(2),(3),(4),38,由于問題確實(shí)存在最小值，,故,得唯一駐點(diǎn),還有別的簡(jiǎn)單方法嗎,?,用幾何法!,39,練習(xí),解,為此作拉格朗日乘函數(shù):,上的最大值與最小值.,在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);,在圓上的最大、最小值.,40,最大值為,最小值為,41,多元函數(shù)極值的概念,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件,多元函數(shù)最值的概念,三、小結(jié),(上述問題均可與一元函數(shù)類比),42,思考題,答,不一定.,二元函數(shù),在點(diǎn),處有