第7節(jié)函數(shù)與方程

1、2021新亮劍高考總復(fù)習函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)（I）第二章第7節(jié)函數(shù)與方程1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄 4最新考綱考向分析1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系. 2.判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)1. 利用函數(shù)零點的存在性定理或函數(shù)的圖象, 對函數(shù)是否存在零點進行判斷或利用零點(方程實根)的存在情況求相關(guān)參數(shù)的取值范圍,這是高考的熱點.2. 重點考查學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)算的核心素養(yǎng)高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、函數(shù)的零點1. 函數(shù)零點的定義對于函數(shù) y=

2、f(x)(xD),把使函數(shù) y=f(x)的值為 0 的實數(shù) x 叫作函數(shù) y=f(x)(xD)的零點.2. 幾個等價關(guān)系方程 f(x)=0 有實數(shù)根函數(shù) y=f(x)的圖象與 x軸有交點函數(shù) y=f(x)有 零點.3.函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條不間斷的曲線,且 f(a)f(b)0,那么,函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (a,b)上有零點,即存在 c(a,b),使得就是方程 f(x)=0 的根.f(c)=0c,這個也5高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、二分法對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系 7判別式符號0=0

3、0)的圖象與 x 軸的交點(x1,0),( x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄1.關(guān)注兩個易錯點(1)函數(shù)的零點不是點,是方程 f(x)=0 的實根. (2)函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點,而不能判斷函數(shù)的不變號零點,而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.2.記牢三個結(jié)論(1) 若連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則 f(x)至多有一個零點.(2) 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象,其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號. (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時,函數(shù)值可能變號,也可能

4、不變號.8高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與 x 軸的交點.(2) 函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則 f(a)f(b)0.(3) 只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(4) 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a0)在 b2-4ac0 時沒有零點.()(5)若函數(shù) f(x)在(a,b)上單調(diào)且 f(a)f(b)0,則函數(shù) f(x)在a,b上有且只有一個零點.()答案9目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎(chǔ)自測】1.(2020 屆

5、湖南郴州一模)已知函數(shù) f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,命題 p:總存在 c(a,b),有 f(c)=0;命題 q:函數(shù) f(x)在區(qū)間(a,b)上有 f(a)f(b)0.則 p 是q 的(C).A.充要條件C.必要不充分條件B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件解析根據(jù)零點存在性定理,可得在區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷的曲線 y=f(x),存在c(a,b),使 f(c)=0 時,f(a)f(b)0 不一定成立;若 f(a)f(b)0,則函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點,即存在 c(a,b),使 f(c)=0.故 p 是 q 的必要不充分條件.答案解析10目 錄拓展知識

6、查缺補漏高考動態(tài)知識2.設(shè) f(x)=ln x+x-2,則函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間為(B).A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析f(1)=ln 1+1-2=-10,f(1)f(2)0.函數(shù) f(x)=ln x+x-2 的圖象是連續(xù)的且 f(x)是增函數(shù),函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).答案解析11目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識113.函數(shù) f(x)=2- 的零點個數(shù)為(B.1B).C.22A.0D.31111解析函數(shù) f(x)=2-的零點個數(shù)是方程2- =0 的解的個數(shù),也就是函2211數(shù) y=2 與 y= 的圖象的交點個數(shù),在同一坐標系中作出兩個

7、函數(shù)的圖象如圖2所示,可得交點個數(shù)為 1.答案解析12目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識-214.設(shè)函數(shù) y =x3 與 y =的圖象的交點為若 x 則(x ,y ),(n,n+1),nN, 21.20001n=-2,易知 f(x)為增函數(shù),且 f(1)0,1解析令 f(x)=x3- 2x0 所在的區(qū)間是(1,2),即 n=1.答案解析13目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【易錯檢測】5.若函數(shù) f(x)=ax+1-2a 在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點,則實數(shù) a 的取值范 3圍是.解析易知 a0,且函數(shù) f(x)的圖象為直線,由題意可得 f(-1)f(1)0,(-3a+1)(1-a)0,解

8、得1a 1,解析當 x1 時,由 f(x)=1+log2x綜上,函數(shù) f(x)只有 1 個零點.答案解析1516目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點1函數(shù)零點所在區(qū)間的判定考向 1:利用函數(shù)零點的存在性定理判定區(qū)間例 1(1)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分對應(yīng)值如下表:可以判斷方程 ax2+bx+c=0 的兩個根所在的區(qū)間是( A).A.(-3,-1)和(2,4)C.(-1,1)和(1,2)B.(-3,-1)和(-1,1)D.(-1,3)和(4,+)C(2)函數(shù) f(x)=1-xlog2x 的零點所在的區(qū)間是().A. 1 , 1 B

9、. 1 ,1 C.(1,2)D.(2,3)答案解析42217x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)由表格數(shù)據(jù)可得二次函數(shù) f(x)圖象的對稱軸為直線 x=1,a0.2由 f(-3)f(-1)0,f(2)f(4)0,(2)由題意知 f(x)在(0,+)上是連續(xù)函數(shù),f 4244221=1-1log 1=1+1=30,f(1)=1-0=10,f 222222f(2)=1-2log22=-10,由 f(1)f(2)0 知選 C.方法總結(jié)：利用函數(shù)零點的存在性定理,首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)0.若有

10、,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.18考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:解方程法判定區(qū)間例 2已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),當 x0 時,f(x)=x2-3x,則函數(shù) g(x)=f(x)-x+3 的零點的集合為(D).A.1,3B.-3,-1,1,3C.2- 7,1,3D.-2- 7,1,3解析當 x0 時,f(x)=x2-3x,令 g(x)=x2-3x-x+3=0,得 x1=3,x2=1.當 x0,f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,f(x)=-f(-x)=-x2-3x.令 g(x)=-x2-3x-x+3=0,得 x3=-2- 7,x4=-2+ 70

11、(舍去).函數(shù) g(x)=f(x)-x+3 的零點的集合是-2- 7,1,3.方法總結(jié)：解方程法:當對應(yīng)方程f(x)=0易解時,可先解方程,然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.答案解析19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:圖象法判定區(qū)間11例 3(1)若 x0 是方程 =3的解,則 x0 屬于區(qū)間().C2A. 2 ,1 B. 1 , 2 323C. 1 , 1 D. 0, 1 32(2)已知函數(shù)3 1 f(x)=2 +x,g(x)=log x+x,h(x)=x-的零點依次為xa,b,c,則a,b,c 的3 大小關(guān)系為 abc.答案解析20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1,f(x)=3,

12、11解析(1)令 g(x)= 213,g12f(0)=0,g3f= 32332222作出函數(shù) g(x)和 f(x)的圖象,如圖所示.所以由圖象關(guān)系可得1x 1.03221考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄 1 (2)在同一直角坐標系中分別畫出函數(shù) y=2 ,y=log x,y=-,y=-x 的圖象x,3 如圖所示.觀察它們與直線 y=-x 的交點的橫坐標可知 abc.方法總結(jié)：把方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標,看其所在區(qū)間.22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練1】1.若 abc,則函數(shù) f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)

13、間().AA.(a,b)和(b,c)內(nèi)C.(b,c)和(c,+)內(nèi)B.(-,a)和(a,b)內(nèi)D.(-,a)和(c,+)內(nèi)解析因為 ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0.由函數(shù)零點存在性定理可知,在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點,又函數(shù) f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點.因此函數(shù) f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi),故選 A.答案解析23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.函數(shù) f(x)=x2-3x-18 在區(qū)間1,8上 存在 (填“存在”或“不存在”)零點.解析(法一)f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)0.又 f(x)=x2-3x-18

14、的圖象在區(qū)間1,8上是連續(xù)的,f(x)=x2-3x-18 在區(qū)間1,8上存在零點.(法二)令 f(x)=0,即 x2-3x-18=0,解得 x=61,8或 x=-31,8.f(x)=x2-3x-18 在區(qū)間1,8上存在零點.答案解析24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.函數(shù) f(x)=ex+4x-3 的零點所在的區(qū)間為(C).A. - 1 ,0 B. 0, 1 44C. 1 , 1 D. 1 , 3 4224解析易知函數(shù) f(x)=ex+4x-3 在 R 上為增函數(shù),故 f(x)=ex+4x-3 至多有一個零點.111111f=e4+1-3=e4-20,42函數(shù) f(x)=ex+4x-3 的零

15、點所在的區(qū)間為 1 , 1 .42答案解析25考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄4.設(shè)函數(shù) f(x)=1x-ln x,則函數(shù) y=f(x)(D).3A.在區(qū)間 1 ,1 ,(1,e)上均有零點eB.在區(qū)間 1 ,1 ,(1,e)上均無零點eC.在區(qū)間 1 ,1 上有零點,在區(qū)間(1,e)上無零點eD.在區(qū)間 1 ,1 上無零點,在區(qū)間(1,e)上有零點e答案解析26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(法一)令 f(x)=0 得1x=ln x.作出函數(shù) y=1x 和 y=ln x 的圖象,如圖所示.33顯然 y=f(x)在 1 ,1 上無零點,在(1,e)上有零點.e(法二)當 x 1 ,e 時,函

16、數(shù)圖象是連續(xù)的,且 f(x)=1-1=-30,f(1)=10,f(e)=e -10,又 f e3e33所以函數(shù) y=f(x)有唯一的零點,且在區(qū)間(1,e)上.27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2例 4函數(shù)零點個數(shù)的判斷(1)(2020 屆滄州模擬)設(shè) f(x)是區(qū)間-1,1上的增函數(shù),且 f- 11 0,(2)(2020 屆四川遂寧三模)已知函數(shù) f(x)= 5 , = 0,則方程 f(x)=1x+5的根的7-, 0,77個數(shù)為 4.答案解析28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄- 110,所以 f(x)在區(qū)間 - 1 , 1 解析(1)因為 f(x)在區(qū)間-1,1上是增函數(shù),且 ff 22

17、22上有唯一的零點,所以方程 f(x)=0 在區(qū)間-1,1上有唯一的實數(shù)根.(2)方程的根即兩函數(shù) y=f(x)與 y=1x+5圖象交點的橫坐標,作出函數(shù)圖象,如圖,77結(jié)合圖象可得方程 f(x)=1x+5的根的個數(shù)為 4.77考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)： (1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解,通過解方程,則方程有幾個解就對應(yīng)有幾個零點.(2) 函數(shù)零點的存在性定理法:利用此定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b) 0,若 f(0)=-2,f(-1)=1,則函數(shù) g(x)=f(x)+x 的零-2 + + , 0,點個數(shù)為 3.依題意得, = -

18、2,解 得 = -4,解析-1- + = 1, = -2.由 g(x)=0 得 f(x)+x=0, 0, 0,-4-2 + = 0,該方程等價于或 2-2 + = 0解得 x=2 或 x=-1 或 x=-2.因此,函數(shù) g(x)=f(x)+x 的零點個數(shù)為 3.答案解析31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.若定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=f(x),且當 x0,1時,f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點的個數(shù)是(C ).A.0解析B.2C.4D.6畫出函數(shù) y=f(x)和 y=log3|x|的部分圖象如圖所示.由圖知,函數(shù) y=f(x)-log3|x|的零

19、點的個數(shù)為 4.答案解析32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3函數(shù)零點的應(yīng)用考向 1:根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)-2, 0,例 5(1)若函數(shù) f(x)= -1有且只有 2 個不同的零點,則實數(shù) k 的取ln, 0值范圍是(B).A.(-4,0)B.(-,0C.(-4,0D.(-,0)(2)(2020 屆黑龍江大慶三模)定義在(0,+)上的函數(shù) f(x)同時滿足:對任意的x(0,+)都有 f(2x)=1f(x);當 x(1,2時,f(x)=(x-2)2.若函數(shù) g(x)=f(x)-log x(a1)a2恰有 3 個零點,則實數(shù) a 的取值范圍是( A.(1,2C.(4,16D).B.(2,4D

20、.(4,256答案解析33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)當 x0 時,x=1 為 f(x)的零點,當 x0 時,x=0 為 f(x)的零點,=kx2(x0)無解,等價于 1 =kx(x0)無解,故當 x0 時不能再有其他零點,即-1-1畫出函數(shù) y= 1 (x0),y=kx(x1)恰有 3 個零點,即函數(shù) f(x)的圖象與函數(shù) y=logax(a1)的圖象有 3 個交點,畫出兩個函數(shù)的圖象,如圖所示.1 ,log2 4 由圖可知, 解得 4 1,時,實數(shù) a 的取值范圍是(A.(-,0)(1,+)C.-1,0)(1,2A).B.-1,2)D.0,1答案解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題

21、目 錄(1)由題意知方程 ax=x2+1 在 1 ,3 上有解,即 a=x+1在 1 ,3 上有解,解析22設(shè) t=x+1,x 1 ,3 ,則 t 的取值范圍是 2, 10 .23所以實數(shù) a 的取值范圍是 2, 10 .3(2)由 F(x)=0,得 f(x)=a2-a-1.函數(shù) f(x)的值域為(-1,+),a2-a-1-1,解得 a1.故選 A.方法總結(jié)：根據(jù)函數(shù)零點是否存在的情況求參數(shù)的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題.37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練3】- 1.已知函數(shù)

22、f(x)= 2+a 的零點為 1,則實數(shù) a 的值為.3 +1解析由已知得 f(1)=0,即 2+a=0,解得 a=-1.31+12答案解析38考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(2020 屆安徽蕪湖模擬)若函數(shù) f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點,則實數(shù) a 的取1值范圍是 - 4 ,2 . 解析函數(shù) f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點,方程 4x-2x-a=0 在-1,1上有解,即方程 a=4x-2x 在-1,1上有解.2令 y=4x-2x= 2 - 1-1.242x-1,1,2x 1 ,2 , 2 - 1-1 - 1 ,2 .2244實數(shù) a 的取值范圍是 - 1 ,2

23、.4答案解析39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄邏輯推理用函數(shù)與方程思想解決復(fù)合函數(shù)的零點問題解答此類問題,關(guān)鍵是把復(fù)合函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的零點問題,轉(zhuǎn)化為方程的根、不等式的求解問題,再利用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解題.3-1, 1,則滿足 f(f(a)=2f(a)的 a 的取值范圍是(例設(shè)函數(shù) f(x)=C). 2, 1,A. 2 ,1 B.0,1D.1,+)3C. 2 , + 3答案解析40考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析由 f(f(a)=2f(a)知需分 f(a)1 和 f(a)1 兩種情況討論.當 f(a)1 時,若 a1,則 3a-11,解得2a1;3若 a1,則 2a1,

24、解得 a0,故 a1.故 a2.3當 f(a)1 時,由 f(f(a)=2f(a)得 3f(a)-1=2f(a),解得 f(a)=1 或 f(a)=3,不符合題意.綜上,a2,故選 C.341考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓練】已知函數(shù) f(x)=ln(-1), t1),則 t1-1,t2-1,當 t1-1 時,t1=f(x)有一解;當 t2-1 時,t2=f(x)有兩解.當 a0),已知 f(x)在0,2上有且僅5有 5 個零點,下述四個結(jié)論:f(x)在(0,2)上有且僅有 3 個極大值點;f(x)在(0,2)上有且僅有 2 個極小值點;f(x)在 0,上單調(diào)遞增;10 的取值范圍是 12 , 29 .510其中所有正確結(jié)論的編號是(D).A.B.C.D.答案解析43考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析令 t=x+,則函數(shù) f(x)在0,2上有且僅有 5 個零點,可化為 g(t)=sin t5在 ,2 + 上有且僅有 5 個零點,所以 52+6,解得1229,正確;根555510據(jù)圖象,極大值點對應(yīng)最高點,正確;極小值點對應(yīng)最低點,所以極小值點可能有2 個,也可能有 3 個,