排列組合基礎知識

1、排列組合基礎知識1、 兩大原理1. 加法原理（1） 定義：做一件事，完成它有類方法，在第一類方法中有中不同的方法，第二類方法中有種不同的方法.第類方法中種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。（2） 本質：每一類方法均能獨立完成該任務。（3） 特點：分成幾類，就有幾項相加。例1. 從甲地到乙地，可以乘動車，也可以乘汽車；一天中動車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？ 如上圖，從甲地到乙地共有3+2種方法。2. 乘法原理（1） 定義做一件事，完成它需要個步驟，做第一個步驟有中不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法.做第個步驟有種不同的方法，那么完成這

2、件事共有種不同的方法。（2） 本質：缺少任何一步均無法完成任務，每一步是不可缺少的環(huán)節(jié)。（3） 特點：分成幾步，就有幾項相乘。例2. 從甲地到乙地，要先從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中火車2班，汽車3班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的方法？ 解：由上圖可知共有的可能路線為：火車1汽車1，火車2汽車1 火車1汽車2，火車2汽車2 火車1汽車3，火車2汽車3 所以共有種方式。2、 排列組合1. 排列（1） 排列的定義：從個不同的元素中，任取個（）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個排列。（2） 使用排列的三條件 個不同元素； 任取個；

3、 講究順序。2. 組合（1） 組合的定義：從個不同的元素中，任取個（）元素并為一組，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個組合。（2） 使用三條件 個不同元素； 任取個； 并為一組，不講順序。排列與組合的共同點：都是“從個不同元素中任取個元素”；排列與組合的不同點：排列與元素的順序有關系，而組合與元素的順序無關。也就是說：組合是選擇的結果，而排列是選擇后再排列的結果。3排列數(shù)的定義：從個不同的元素中，任取個（）元素所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素中取出個元素的排列數(shù)，記為。例1. 從甲、乙、丙三個中任取2個人分別參加明天上午和下午的比賽。問共有多少種方式？解：由上圖可知，共有6種方式。需要注意

4、：此題相當于從3個不同的元素中任取2個元素，并按一定的順序排列，所有共有的排列數(shù)為，即，其中上標2是相乘的項數(shù)，下標是相乘中的最大那一項3，而且之后的每項總是比前一項少1。例2. 從a, b, c, d四個元素中任取2個排成一列共有多少種可能？解 所以的可能排列為：ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有12種，即，其中上標2是相乘的項數(shù)，下標是相乘中的最大那一項4，而且之后的每項總是比前一項少1。 例3. 從a, b, c, d四個元素中任取3個排成一列共有多少種可能？解 所以的可能排列為：abc, acb,bac,bca,cab, c

5、ba, abd, adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24種，即，其中上標3是相乘的項數(shù)，下標是相乘中的最大那一項4，而且之后的每項總是比前一項少1由上面的規(guī)律可以得出下面排列數(shù)的計算公式，其中上標表示相乘的項數(shù)，其中。尤其：。5組合數(shù)的定義：從個不同的元素中，任取個（）元素所有組合的個數(shù)，叫做從個不同的元素中取出個元素的組合數(shù)，記為。例4. 從甲、乙、丙三個中任取2個人參加某項比賽。問共有多少種方式？解：可能的組合為：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3種需要注意：此題相當于從3個

6、不同的元素中任取2個元素并成一組，所有共有的組合數(shù)為，即。這個結果與例1比較發(fā)現(xiàn)。例2. 從a, b, c, d四個元素中任取2個并成一組，共有多少種可能？解 所以的可能排列為：ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有6種，即。這個結果與例2比較發(fā)現(xiàn)。 例6. 從a, b, c, d四個元素中任取3個并成一組，共有多少種可能？解 所以的可能排列為：abc, abd, acd, bcd。共有4種，即。這個結果與例3比較發(fā)現(xiàn)。由上面的規(guī)律可以得出下面組合數(shù)的計算公式尤其：我們這本書用表示。下面3題要求學解題過程1.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽， (1) 列出所有各場比賽的上方； （2）列出所有冠軍的可能情況。2.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字