2019年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，那么等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)交集運算直接寫出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，難度較易.2已知向量 ， ，那么 等于（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運算直接寫出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：D.【點睛】本題考查向量加法的坐標(biāo)表示，難度較易.32019年中國北京世界園藝博覽會于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦如果小明從中國館、國際館、植物館、生活體驗館四個展館中隨機選擇一個進(jìn)行參觀，那么他選擇的展館恰為中國館的概率為（ ）A.

2、B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)隨機事件的概率計算完成求解.【詳解】可能出現(xiàn)的選擇有種，滿足條件要求的種數(shù)為種，則，故選：B.【點睛】本題考查利用古典概型完成隨機事件的概率的求解，難度較易.古典概型的概率計算公式：（目標(biāo)事件的數(shù)量）（基本事件的總數(shù)）.4圓心為，半徑等于5的圓的方程是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】對比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為圓心即為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度較易.5已知向量，且，那么m等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根據(jù)向量垂直對應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系計算出的值.【詳解】因為

3、，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查向量垂直對應(yīng)的坐標(biāo)表示，難度較易.已知，若，則有：.6直線與直線的交點坐標(biāo)是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】聯(lián)立二元一次方程組求解交點坐標(biāo).【詳解】據(jù)題意有：，解得：，所以交點坐標(biāo)為，故選：D.【點睛】本題考查利用直線方程求解直線交點坐標(biāo)，難度較易.直線的方程可認(rèn)為是二元一次方程，兩直線的交點坐標(biāo)即為二元一次方程組的解對應(yīng)的坐標(biāo)形式.7已知平面向量滿足 ，且與夾角為60，那么等于( )A.B.C.D.1【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)量積公式完成計算.【詳解】因為，故選：C.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的計算，難度較易.8函數(shù)的定義域為( )A.B.C.D

4、.【答案】B【解析】根據(jù)真數(shù)大于零計算出的范圍即為定義域.【詳解】因為，所以，即定義域為，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域，難度較易.對數(shù)型函數(shù)計算定義域，注意對應(yīng)的真數(shù)大于零.9已知點，那么直線AB的斜率為( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根據(jù)斜率的計算公式直接計算出斜率.【詳解】因為，所以，故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)兩點坐標(biāo)計算出兩點構(gòu)成的直線的斜率，難度較易.已知，則.10為慶祝中華人民共和國成立70周年，某學(xué)院欲從A，B兩個專業(yè)共600名學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取120人組成國慶宣傳團(tuán)隊，已知A專業(yè)有200名學(xué)生，那么在該專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為( )A.

5、20B.30C.40D.50【答案】C【解析】先計算出抽樣比，然后根據(jù)（A專業(yè)人數(shù)）乘以（抽樣比）即可得到應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】據(jù)題意可知：抽樣比為，則A專業(yè)抽取人數(shù)為人，故選：C.【點睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，難度較易.若要計算分層抽樣的每一層應(yīng)抽取數(shù)量，先要計算抽樣比，利用每一層數(shù)量乘以抽樣比得到該層應(yīng)抽取的數(shù)量.11等于( )A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)兩角差的余弦公式直接得到結(jié)果.【詳解】因為，故選：A.【點睛】本題考查兩角差的余弦公式的記憶，難度較易.12已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，那么的值為( )A.0B.C.1D.2【答案】D【解析】根據(jù)奇函數(shù)找到與的關(guān)系即可計算

6、出的值.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)的特性求值，難度較易.若是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，則有：.13如圖，在直三棱柱中，如果，那么直三棱柱的體積為( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根據(jù)棱柱的體積公式求解直三棱柱的體積.【詳解】因為，所以；所以，故選：B.【點睛】本題考查棱柱的體積計算公式，難度較易.棱柱體積計算公式：，其中是棱柱的底面積，是棱柱的高.14的值為( )A.B.C.D.【答案】A【解析】先將變形為，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式一計算結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：A.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的運用，難度較易.注意誘導(dǎo)公式一：， .15函

7、數(shù)的零點的個數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】將因式分解后即可判斷零點的個數(shù).【詳解】因為，所以令則有：或或，即零點有個，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，難度較易.對于可直接進(jìn)行因式分解的函數(shù)，可通過因式分解判斷每個因式為零的情況，然后確定零點個數(shù).16要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（ ）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換中的相位變換確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)相位變換的左加右減有：向左移動個單位得到，故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換中的相位變換，難度較易.相位變換時注意一個原則：

8、左加右減.17直線經(jīng)過點，且與直線平行，則的方程為（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線的一般式方程，代入坐標(biāo)求解出一般式方程并轉(zhuǎn)化為斜截式方程.【詳解】設(shè)方程為：，代入有：，所以，所以方程為：，即，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)直線間的平行關(guān)系求解直線的方程，難度較易.已知直線方程為：，與其平行的直線方程可設(shè)為：.18如果函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，那么的值為（ ）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】將點代入函數(shù)解析式中計算出的值即可.【詳解】因為圖象經(jīng)過點，所以，所以且且，解得：，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象所過點求解函數(shù)解析式，難度較易.通過函數(shù)圖象所過

9、點求解函數(shù)解析式的問題，可考慮直接將點代入函數(shù)解析式中求解參數(shù)值.19已知，那么a，b，c的大小關(guān)系為（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】因為在上是增函數(shù)，又，所以，所以，故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小，難度較易.對于指數(shù)函數(shù)（且）：若，則是上增函數(shù)；若，則是上減函數(shù).20函數(shù)的最小正周期是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】利用二倍角公式先化簡，然后根據(jù)周期計算公式計算最小正周期.【詳解】因為，所以，故選：C.【點睛】本題考查二倍角公式、周期公式的應(yīng)用，難度較易.常見的二倍角公式有：.21在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分

10、別為a，b，c，如果，那么a等于（ ）A.B.C.D.3【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理得到邊角對應(yīng)關(guān)系，然后計算的值.【詳解】由正弦定理可知：，所以，解得：，故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，難度較易.正弦定理對應(yīng)的等式：（是三角形外接圓的半徑）.22已知，那么等于（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將待求式子化簡，然后根據(jù)平方和為去計算相應(yīng)結(jié)果.【詳解】因為；又因為且，所以，所以，故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)誘導(dǎo)公式求解給值求值問題，難度較易.利用平方和為去計算相應(yīng)三角函數(shù)值時，注意根據(jù)角度的范圍去判斷相應(yīng)的三角形函數(shù)值的正負(fù)號.23已知圓C：與直線l：，那

11、么圓心C到直線l的距離為（ ）A.B.C.D.1【答案】B【解析】先確定圓心，根據(jù)點到直線的距離公式求解圓心到直線的距離.【詳解】圓的方程可變形為：，所以圓心為，所以圓心到的距離為：，故選：B.【點睛】本題考查圓心的確定以及點到直線的距離公式，難度較易.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中圓心為，半徑為.24已知冪函數(shù)，它的圖象過點，那么的值為（ ）A.B.C.D.1【答案】A【解析】先通過函數(shù)圖象過點，計算出的值，然后再計算的值.【詳解】因為過點，所以，所以，所以，則，故選：A.【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式求解以及根據(jù)冪函數(shù)解析式求值，難度較易.25生態(tài)環(huán)境部環(huán)境規(guī)劃院研究表明，京津冀區(qū)域PM2.5主要

12、來自工業(yè)和民用污染，其中冬季民用污染占比超過50%，最主要的源頭是散煤燃燒因此，推進(jìn)煤改清潔能源成為三地協(xié)同治理大氣污染的重要舉措2018年是北京市壓減燃煤收官年，450個平原村完成了煤改清潔能源，全市集中供熱清潔化比例達(dá)到99%以上，平原地區(qū)基本實現(xiàn)“無煤化”，為了解“煤改氣”后居民在采暖季里每月用氣量的情況，現(xiàn)從某村隨機抽取100戶居民進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每戶的用氣量都在150立方米到450立方米之間，得到如圖所示的頻率分布直方圖在這些用戶中，用氣量在區(qū)間的戶數(shù)為（ ） A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】計算出的頻率，用抽取的總數(shù)量乘以對應(yīng)的頻率即可得到對應(yīng)段的戶數(shù).【詳解】根據(jù)頻

13、率分布直方圖可知：的頻率為，所以用氣量在的戶數(shù)為：戶，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖完成相應(yīng)計算，難度較易,觀察頻率分布直方圖時，注意縱軸并不表示頻率，而是頻率除以組距，因此每一段區(qū)間對應(yīng)的小長方形的面積即為該段的頻率.26在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，如果，的面積，那么a等于（ ）A.B.7C.D.17【答案】A【解析】先根據(jù)面積公式計算出的值，然后利用以及余弦定理求解的值.【詳解】因為，所以；又因為，所以，所以，故選：A.【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用以及利用余弦定理解三角形，難度較易.解三角形時常用的面積公式有三個，解答問題時要根據(jù)題意進(jìn)行選擇.27設(shè)

14、m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么其中正確的命題是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】通過判定定理、性質(zhì)定理、定義、舉例的方式逐項分析.【詳解】如圖所示長方體，平面，平面，但是不平行，故錯誤；根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線互相平行，可知正確；根據(jù)兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任意直線平行于另一個平面，可知正確；如圖所示長方體，平面平面且平面，但此時顯然不垂直于平面，故錯誤；綜上：正確.故選：B.【點睛】本題考查符號語言下的空間中的點、線、面的位置關(guān)系的命題的真假判斷，難度一般.處理符號語言表示的命題真假的問題，常用的方

15、法有：根據(jù)判定、性質(zhì)定理直接判斷；根據(jù)定義判斷；根據(jù)示意圖、舉例判斷.二、解答題28某同學(xué)解答一道三角函數(shù)題：“已知函數(shù)，且（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)x的值”該同學(xué)解答過程如下：解答：（）因為，所以因為，所以（）因為，所以令，則畫出函數(shù)在上的圖象，由圖象可知，當(dāng)，即時，函數(shù)的最大值為下表列出了某些數(shù)學(xué)知識：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定義弧度制的概念，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式弧度與角度的互化函數(shù)，的圖象三角函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)兩角差的余弦公式函數(shù)的實際意義兩角差的正弦、正切公式參數(shù)A，對函數(shù)圖

16、象變化的影響兩角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式請寫出該同學(xué)在解答過程中用到了此表中的哪些數(shù)學(xué)知識【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定義，函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，參數(shù)A，對函數(shù)圖象變化的影響【解析】根據(jù)解答過程逐步推導(dǎo)所用的數(shù)學(xué)知識.【詳解】首先，這里出現(xiàn)了負(fù)角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由和的范圍解出，這里涉及的是任意角的正弦的定義；解題時所畫的圖象涉及的是函數(shù)的圖象；作出圖象后可根據(jù)周期性以及單調(diào)性計算出最大值，這里涉及的是三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)；用換元法構(gòu)造正弦函數(shù)的圖象其實利用的是

17、平移的思想，這里涉及的是參數(shù)A，對函數(shù)圖象變化的影響.【點睛】本題考查三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容的綜合應(yīng)用，難度一般.由解答的過程分析其中涉及的知識點，這種題型比較靈活，需要注意到每一步是根據(jù)什么得到的，這就要保證對每一塊的知識點都很熟悉.29如圖，在三棱錐中，平面ABC，點D，E，F(xiàn)分別為PC，AB，AC的中點（）求證：平面DEF；（）求證：閱讀下面給出的解答過程及思路分析解答：（）證明：在中，因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以因為平面DEF，平面DEF，所以平面DEF（）證明：因為平面ABC，平面ABC，所以因為D，F(xiàn)分別為PC，AC的中點，所以所以思路分析：第（）問是先證，再證“線面平行”；第

18、（）問是先證，再證，最后證“線線垂直”以上證明過程及思路分析中，設(shè)置了五個空格，如下的表格中為每個空格給出了三個選項，其中只有一個正確，請選出你認(rèn)為正確的選項，并填寫在答題卡的指定位置空格選項ABCABCA線線垂直B線面垂直C線線平行A線線垂直B線面垂直C線線平行A線面平行B線線平行C線面垂直【答案】A；B；C；A；B【解析】：由中位線分析；線面垂直的性質(zhì)分析；由線線推導(dǎo)線面；由線面垂直推導(dǎo)線線垂直；由線線平行推導(dǎo)線線垂直.【詳解】因為是中位線，所以，故選A；平面，平面，可通過線面垂直得到線線垂直，故選B；通過中位線，先證線線平行，再證線面平行，故選C；根據(jù)可知：先證明線線垂直，故選A；由可知：再證線線平行，故選B.【點睛】本題考查線線、線面平行以及線線、線面垂直的證明和理解，難度較易.證明線線平行多數(shù)情況可根據(jù)中位線或者證明平行四邊形來解決問題，有時候也可以根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理去證明線線平行.30某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經(jīng)過點A（）求r的值；（）若點B為圓O上一點，且直線AB垂直于直線l，求”該同學(xué)解答過程如下：解答：（）令，即，解得，所以點A的坐標(biāo)為因為圓O：經(jīng)過點A，所以（）因為所以直線AB的斜率為所以直線AB的方程為，即代入消去y整理得，解得，當(dāng)時，所以點B的坐標(biāo)為所以指出上述解答過程中的錯誤之處，并寫出正確