概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：補(bǔ)充案例 Monty Hall problem

1、問題1、一個家庭有兩個孩子，問都是女孩的 概率是多少？ 答：1/4 問題2、一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個 是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？ 答：？ 問題3、一個家庭有兩個孩子，已知大的孩子 是女孩，問小的孩子也是女孩的概率是多少？ 答：1/2,問題2的答案是1/3,測測你的概率感覺,關(guān)于15年前的一場棋賽,1996年，東洋證券杯 世界圍棋冠軍爭霸賽 五番棋決賽,中國 馬曉春 九段 VS 韓國 李昌鎬 九段,一局圍棋的棋譜,堯造圍棋以教子丹朱 。 晉朝張華 博物志,五番棋決賽前，記者問他的信心,馬曉春說了這么一句話: 如果前面兩盤棋能夠下成平手，那么他奪冠的概率就有51%,接下來，前

2、兩盤棋真的兩人下成平手,結(jié)果。,于是，媒體根據(jù)此前馬曉春的那一句話， 開始了樂觀的預(yù)測。,概率論給我們帶來了很多匪夷所思的反常結(jié)果，條件概率尤其如此。網(wǎng)絡(luò)上每一次有人發(fā)帖提出與條件概率有關(guān)的悖論時，總會引來無數(shù)人的圍觀和爭論，哪怕這些問題的實質(zhì)都是相同的。,人類的大腦似乎并不適合解決概率問題。,普西 戴爾哥尼斯,Monty Hall Problem,在一著名的電視游戲節(jié)目里, 臺上有三扇門, 記為A,B,C, 其中二扇門后面沒有獎品, 而第三 扇門后有大獎. 如果你能準(zhǔn)確的猜到那扇門后有 大獎, 則你就贏得此大獎. 節(jié)目開始后, 你選擇了某扇門, 比如A, 在門A 被打開之前, 節(jié)目主持人打開

3、了另外兩扇門中的 一扇, 比如B, 發(fā)現(xiàn)門后什么也沒有. 此時主持人問你要不要改變自己最初的選擇？ 問題：要不要換門？ 即：此時改變原來的決定而選C門, 會不會增加獲獎的概率?,/crypto/Monty/monty.html,初步分析,認(rèn)為換不換都一樣的理由：既然已知B門后已經(jīng)沒有大獎，那么大獎就只有可能在A門和C門后，而我們看不出這兩個門有什么區(qū)別，因此它們后面有大獎的概率應(yīng)該是一樣的，即1/2。 認(rèn)為應(yīng)該換的理由：A門后有大獎的概率是1/3，B門和C門后至少有一個門后有大獎的概率應(yīng)該是2/3，并且這兩個門總有一個是空的。為什么主持人不開C門而

4、開B門呢？說明C門后很可能有大獎。,應(yīng)該改變選擇，放棄A而選C,此時中獎概率會增加一倍,你猜對了嗎？,正確答案,相關(guān)歷史,又譯為-蒙提霍爾問題，瑪麗蓮問題(Marylin) 中文通俗譯為-羊與車問題,問題源于美國NBC電視臺的 TV Show-Lets Make a Deal 從1963年12月開播到現(xiàn)在， 是一個相當(dāng)長壽的電視節(jié)目 主持人的名字- Monty Hall,瑪麗蓮 (Marylin)在雜志Parade主持一個 “有問必答”的專欄“Ask Marylin”.,1990年，有讀者寫信詢問她要不要換選擇,先考慮一個容易判斷的： 如果在游戲開始前主持人打開了B門，那么A門和C門后有大獎的

5、概率相同，即都為1/2。 但現(xiàn)在主持人是在觀眾選擇A門之后，才打開B門的。 有區(qū)別嗎？ 當(dāng)然有區(qū)別。既然條件不一樣，條件概率就不會一樣！ 事實上，在本游戲中，A門和C門是有區(qū)別的：A門是觀眾隨機(jī)選的，而C門是主持人有意留下的。 有感覺了嗎？,將問題等價的轉(zhuǎn)換一下：甲選擇了A門，而乙選擇了剩下的兩個門，即B門和C門。 顯然乙認(rèn)為自己獲獎的概率大。 但是此時，主持人告訴乙一個信息，說，其實你選兩個門與選一個門是一樣的。乙會相信主持人嗎？,反方觀點(diǎn)換不換都一樣,理由：已知B門后無大獎的條件下， A門和C門后有大獎的條件概率都是1/2,但是，我們這里的條件概率是,選擇A門后，在剩下的兩個門中已知一個

6、是空的情況下，有大獎的概率,此時的概率就不在是1/2了！,剩下兩個門中，只有三種可能：,(有無)(無有)(無無),已知一個是無的，另一個是有的概率為,2/3,換一種思維想問題,放大問題放大差別,臺上有100扇門，只有一個有獎， 甲選擇了1個門，而乙選擇了其余99個門， 依據(jù)反方的邏輯，即使這樣， 甲乙獲獎的概率也是相同的， 因為乙的選擇中至少有98個門是空的， 于是最后只剩下第99個門是不是有獎的問題了， 這不是與選一個門是一樣的嗎？,將事件C劃分為互斥事件,于是由全概率公式,因此,條件概率解法-全概率和貝葉斯公式,游戲開始， 記A、B、C三道門后面有車的事件，則概率 P(A)=P(B)=P(

7、C)=1/3 記O為主持人打開B門的事件，那么Monty Hall問題實際上是在問: P(A|O)= P(C|O)?,由貝葉斯公式,下面來計算,如果車在A,主持人可選B或C,如果車在B,主持人不能打開B,如果車在C,主持人只能打開B,劃分為完備事件組,由全概率公式,用全概率和貝葉斯公式完全破解 -消滅語言帶來的歧義 消滅一切爭議,計劃生育問題,計劃生育政策09年1月1日新條例: 如果雙方是農(nóng)村戶口并第一胎是女孩的 又或者你們夫妻雙方是獨(dú)生子女的話 那才可以生育第二胎。,請問:雙方是農(nóng)村戶口并第一胎是女孩的 可以生育第二胎 這條政策會不會影響 農(nóng)村下一代人口中男女的性別比例?,用概率判生死,法庭

8、上的數(shù)學(xué)證據(jù),洛杉磯搶劫案(1964),黃色的汽車： 1/10 嘴上面有短胡子的男性： 1/4 絡(luò)腮胡子的黑人： 1/10 馬尾辮女孩： 1/10 金發(fā)女孩： 1/3 汽車中有膚色不同的夫妻倆： 1/1000,目擊證人說出的幾條主要特征，根據(jù)洛杉磯地區(qū)的數(shù)據(jù)估算它們出現(xiàn)的概率 :,6個概率值乘到一起，結(jié)果就是 1/1200萬,警方根據(jù)犯罪者特征在附近逮捕了一對夫妻。,如此小的概率很難發(fā)生，附近地區(qū)很難再找到 另外一對 6 項特征全部符合的夫婦。,陪審團(tuán)采納檢方意見。,加州高院駁回。,使用概率的方式不對！,搶劫罪成立！,（1）首先，概率乘法公式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 一定要在

9、A,B,C 都是獨(dú)立事件的時候才成立。,（2）退一步說，假定概率真的是 1/1200萬，以案發(fā) 附近地區(qū)有 400 萬對夫婦算，至少有2位夫婦符合 目擊者全部特征的概率是,母親殺子案（1999英）,Sally Clark的兩個孩子都在出生后幾周離奇死亡,醫(yī)生查不出其他病因，兩次都診斷為一種叫SIDS （嬰兒猝死綜合癥）的罕見疾病,警方的懷疑，警方認(rèn)為 2 個孩子有可能是 “被猝死”的，將 Clark 逮捕。,檢方引用醫(yī)生的證明，聲稱 SIDS 這種病 發(fā)病率很低，而且不是遺傳病，所以可以把兩 個孩子的 SIDS 死亡看作獨(dú)立事件，相乘之后 的概率只有 1/7300萬。,檢方以此說服了陪審團(tuán)， Clark被送進(jìn)監(jiān)獄,和上一個故事的結(jié)局一樣，這個判決后來也被 推翻了， Clark被無罪釋放。,檢方的觀點(diǎn): 他們認(rèn)為 P(兩個孩子都死于SIDS) = 1/73000000， 那么 P(Clark殺了兩個孩子) = 1 - 1/73000000 = 72999999/73000000，