第七章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué).ppt

1、第七章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué),機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)主要是把機(jī)器人相對(duì)于固定參考系的運(yùn)動(dòng)作為時(shí)間的函數(shù)進(jìn)行分析研究，而不考慮引起這些運(yùn)動(dòng)的力和力矩 將機(jī)器人的空間位移解析地表示為時(shí)間的函數(shù)，特別是研究機(jī)器人關(guān)節(jié)變量空間和機(jī)器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)之間的關(guān)系 本章將討論機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)幾個(gè)具有實(shí)際意義的基本問(wèn)題。,機(jī)器人技術(shù)及空間應(yīng)用,7.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)所討論的問(wèn)題,7.1.1 研究的對(duì)象 機(jī)器人從機(jī)構(gòu)形式上分為兩種，一種是關(guān)節(jié)式串聯(lián)機(jī)器人，另外一種是并聯(lián)機(jī)器人。,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,這兩種機(jī)器人有所不同： 串聯(lián)機(jī)器人：工作空間大，靈活，剛度差，負(fù)載小，誤差累積并放大

2、。 并聯(lián)機(jī)器人：剛性好，負(fù)載大，誤差不積累，工作空間小，姿態(tài)范圍不大。 本章講解以串聯(lián)機(jī)器人為主。,7.1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問(wèn)題,Where is my hand?,Direct Kinematics HERE!,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics: Choose these angles!,運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題,研究的兩類(lèi)問(wèn)題: 運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題-已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量，求操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于固定參考作標(biāo)的位置和姿態(tài)（齊次變換問(wèn)題）。 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題-已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)

3、（位置），操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位姿？如能達(dá)到，那么操作機(jī)有幾種不同形態(tài)可以滿(mǎn)足同樣的條件？,7.2 機(jī)器人桿件，關(guān)節(jié)和它們的參數(shù),7.2.1 桿件與關(guān)節(jié) 操作機(jī)由一串用轉(zhuǎn)動(dòng)或平移（棱柱形）關(guān)節(jié)連接的剛體（桿件）組成 每一對(duì)關(guān)節(jié)桿件構(gòu)成一個(gè)自由度，因此N個(gè)自由度的操作機(jī)就有N對(duì)關(guān)節(jié)桿件。 0號(hào)桿件（一般不把它當(dāng)作機(jī)器人的一部分）固聯(lián)在機(jī)座上，通常在這里建立一個(gè)固定參考坐標(biāo)系，最后一個(gè)桿件與工具相連 關(guān)節(jié)和桿件均由底座向外順序排列，每個(gè)桿件最多和另外兩個(gè)桿件相聯(lián)，不構(gòu)成閉環(huán)。,關(guān)節(jié),桿件,末端操作手,機(jī)座,兩自由度關(guān)節(jié),關(guān)節(jié)： 一般說(shuō)來(lái)，兩個(gè)桿件間是用低副相聯(lián)的 只可能有6種低副

4、關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動(dòng)）、棱柱（移動(dòng)）、圓柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋轉(zhuǎn)和棱柱形關(guān)節(jié)是串聯(lián)機(jī)器人操作機(jī)常見(jiàn)的，各種低副形狀如下圖所示：,旋轉(zhuǎn),棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,7.2.2 桿件參數(shù)的設(shè)定,條件 關(guān)節(jié)串聯(lián) 每個(gè)桿件最多與2個(gè)桿件相連，如Ai與Ai-1和 Ai+1相連。第 i 關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)軸 Ai 位于2個(gè)桿件相連接處，如圖所示， i -1關(guān)節(jié)和 i +1關(guān)節(jié)也各有一個(gè)關(guān)節(jié)軸 Ai-1 和 Ai+1。,桿件參數(shù)的定義 、 、 和, li 和 li-1 在 Ai 軸 線(xiàn)上的交點(diǎn)之間 的距離。, li 和 li-1 之間的夾 角，按右手定則 由li-1 轉(zhuǎn)向 li。,由運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，

5、桿件保持其兩端關(guān)節(jié)間的形態(tài)不變，這種形態(tài)由兩個(gè)參數(shù)決定：桿件長(zhǎng)度 li 和桿件扭轉(zhuǎn)角 。桿件的相對(duì)位置關(guān)系，由另外兩個(gè)參數(shù)決定：桿件的距離 di 和桿件的回轉(zhuǎn)角 。,li 關(guān)節(jié) Ai 軸和 Ai+1 軸線(xiàn)公法線(xiàn)的長(zhǎng)度。,關(guān)節(jié)i 軸線(xiàn)與i+1軸線(xiàn)在垂直于li 平面內(nèi)的夾角。,上述4個(gè)參數(shù)，就確定了桿件的結(jié)構(gòu)形態(tài)和相鄰桿件相對(duì)位置關(guān)系。在轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中，li, i, di是固定值，i是變量。在移動(dòng)關(guān)節(jié)中，li, i , i是固定值， d i 是變量。,7.3 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立,對(duì)于每個(gè)桿件都可以在關(guān)節(jié)軸處建立一個(gè)正規(guī)的笛卡兒坐標(biāo)系（xi, yi, zi），（i=1, 2, , n），n是自由度數(shù)

6、，再加上基座坐標(biāo)系，一共有（n+1）個(gè)坐標(biāo)系。 基座坐標(biāo)系 O0定義為0號(hào)坐標(biāo)系（x0, y0, z0）,它也是機(jī)器人的慣性坐標(biāo)系，0號(hào)坐標(biāo)系在基座上的位置和方向可任選，但z0軸線(xiàn)必須與關(guān)節(jié)1的軸線(xiàn)重合，位置和方向可任選； 最后一個(gè)坐標(biāo)系（n關(guān)節(jié)），可以設(shè)在手的任意部位，但必須保證 zn與zn-1 垂直。,7.3.1 D-H關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立原則,機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立主要是為了描述機(jī)器人各桿件和終端之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)建立運(yùn)動(dòng)方程和動(dòng)力學(xué)研究是基礎(chǔ)性的工作。 為了描述機(jī)器人各桿件和終端之間轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一種為運(yùn)動(dòng)鏈中每個(gè)桿件建立附體坐標(biāo)系的矩

7、陣方法（D-H方法） ，建立原則如下：,右手坐標(biāo)系 原點(diǎn)Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線(xiàn)的交點(diǎn)上 Zi軸： 與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： 與公法線(xiàn)Li重合，指向沿Li由Ai軸線(xiàn)指向Ai+1軸線(xiàn) Yi軸： 按右手定則,7.3.2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立方法,原點(diǎn)Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線(xiàn)的交點(diǎn)上 zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 xi軸：與公法線(xiàn)li重合，指向沿li由Ai軸線(xiàn)指向Ai+1軸線(xiàn) yi軸：按右手定則,Ai,Ai+1,Ai-1,桿件長(zhǎng)度li 沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到 0i 的距離 桿件扭轉(zhuǎn)角i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)向zi 桿件偏移量 di 沿

8、zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點(diǎn)至0i 1 坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離 桿件回轉(zhuǎn)角i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi,兩種特殊情況,兩軸相交，怎么建立坐標(biāo)系？ Oi Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線(xiàn)的 交點(diǎn)； zi Ai+1軸線(xiàn)； xi zi和zi-1構(gòu)成的平面的 法線(xiàn) ； yi 右手定則；,Ai,Ai+1,zi-1,zi,xi,yi,Oi,兩軸平行，怎么建立坐標(biāo)系(Ai與Ai+1平行)？ 先建立 Oi-1 然后建立Oi+1 最后建立 Oi,注意： 由于Ai和Ai+1平行，所以公法線(xiàn) 任意點(diǎn)在A點(diǎn)位置； 按照先前的定義，di為Oi-1點(diǎn)和A點(diǎn)之間的距離，di+1為B點(diǎn)和C點(diǎn)間的距離，這樣設(shè)定可以

9、的，但我們可以變更一下，將0i點(diǎn)放在C點(diǎn)，定義Oi在li+1和Ai+1軸的交點(diǎn)上，這樣使di+1=0使計(jì)算簡(jiǎn)便，此時(shí)di=,7.4 相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系間的齊次變換過(guò)程 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,將xi-1軸繞 zi-1 軸轉(zhuǎn) i 角度，將其與xi軸平行； 沿 zi-1軸平移距離 di ，使 xi-1 軸與 xi 軸重合； 沿 xi 軸平移距離 li，使兩坐標(biāo)系原點(diǎn)及x軸重合； 繞 xi 軸轉(zhuǎn) i 角度，兩坐標(biāo)系完全重合,機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程,D-H變換矩陣,=,=,例題,試求立方體中心在機(jī)座坐標(biāo)系0中的位置 該手爪從上方把物體抓起，同時(shí)手爪的開(kāi)合方向與物體的Y軸同向，那么，求手爪相對(duì)于0的姿態(tài)是什么？,

10、在機(jī)器人工作臺(tái)上加裝一電視攝像機(jī)，攝像機(jī)可見(jiàn)到固聯(lián)著6DOF關(guān)節(jié)機(jī)器人的機(jī)座坐標(biāo)系原點(diǎn)，它也可以見(jiàn)到被操作物體（立方體）的中心，如果在物體中心建一局部坐標(biāo)系，則攝像機(jī)所見(jiàn)到的這個(gè)物體可由齊次變換矩陣T1來(lái)表示，如果攝像機(jī)所見(jiàn)到的機(jī)座坐標(biāo)系為矩陣T2表示。,解1：,因此物體位于機(jī)座坐標(biāo)系的（11，10，1）T處，它的X，Y，Z軸分別與機(jī)座坐標(biāo)系的 -Y，X，Z軸平行。,解2：,X機(jī),例：Stanford機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,A1,A2,A3,A4,A5,A6,z1,x1,y1,O1,z2,x2,y2,O2,z3,y3,x3,O3,y4,z4,x4,O4,z5,y5,x5,O5,z6,x6,y6,O6

11、,z0,y0,x0,O0,為右手坐標(biāo)系 原點(diǎn)Oi： Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線(xiàn)的交點(diǎn) zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 xi軸： Zi和Zi-1構(gòu)成的面的法線(xiàn) yi軸：按右手定則,li 沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到Oi 的距離 i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)向zi di 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點(diǎn)至Oi 1 坐標(biāo) 系原點(diǎn)的距離 i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi,解：,7.5 工作空間,工作空間: 末端操作手可以到達(dá)的空間位置集合。 如何獲得工作空間: 利用正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,改變關(guān)節(jié)變量值。 靈活空間: 末端操作手可以以任何姿態(tài)到達(dá)的空間位置集合

12、。 可達(dá)空間: 末端操作手可以至少以一個(gè)姿態(tài)到達(dá)的空間位置 集合。,空洞：在 zi軸周?chē)?，參考點(diǎn)Pn沿z的全長(zhǎng)均不能達(dá)到的空間。 空腔：參考點(diǎn)不能達(dá)到的被完全封閉在工作空間之內(nèi)的空間。,空洞,空腔,如何確定可達(dá)空間?首先，令 3變化,示例: 平面 3連桿機(jī)器人,l2,l3,l1,然后 2變化,7.6 機(jī)器人末端操作器位姿的其它描述方法,用矩陣表示剛性體的轉(zhuǎn)動(dòng)簡(jiǎn)化了許多運(yùn)算，但它需要9個(gè)元素來(lái)完全描述旋轉(zhuǎn)剛體的姿態(tài)，因此矩陣并不直接得出一組完備的廣義坐標(biāo)。 一組廣義坐標(biāo)應(yīng)能描述轉(zhuǎn)動(dòng)剛體相對(duì)于參考坐標(biāo)的方向，被稱(chēng)為歐拉角的三個(gè)角度，、就是這種廣義坐標(biāo)。 有幾種不同的歐拉角表示方法，它們均可描述剛體

13、相對(duì)于固定參考系的姿態(tài)。三種最常見(jiàn)的歐拉角類(lèi)型列在表中,3種最常見(jiàn)的歐拉角類(lèi)型,類(lèi)型1：表示法通常用于陀螺運(yùn)動(dòng),類(lèi)型2：所得的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為右乘,類(lèi)型3：一般稱(chēng)此轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角為橫滾、俯仰和偏航角，這種形 式主要用于航空工程中分析飛行器的運(yùn)動(dòng)，其旋轉(zhuǎn)矩陣為（這種方法也叫做橫滾、俯仰和偏航角表示方法）,7.7 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題,正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題: 已知關(guān)節(jié)角度或位移，計(jì)算末端操作手的對(duì)應(yīng)位姿. 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題: 已知末端操作手的位姿，求解對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)變量. 為什么逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題更困難? 可能存在多解或無(wú)解 通常需多次求解非線(xiàn)性超越方程,解的存在性,目標(biāo)點(diǎn)應(yīng)位于工作空間內(nèi) 工作空間的計(jì)算通常較困難，通過(guò)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

14、時(shí)的考慮可以簡(jiǎn)化 可能存在多解，如何選擇最合適的解？,存在雙解!,求解方法,如果各關(guān)節(jié)可用某算法獲得，一個(gè)機(jī)械手是有解的. 算法應(yīng)包含所有可能解.,封閉形式解 數(shù)值解,方法,我們對(duì)封閉形式的解法更感興趣 代數(shù)方法 幾何方法,可解性的重要結(jié)論是： 所有具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的系統(tǒng)，在一個(gè)單一串聯(lián)中總共有6個(gè)（或小于6個(gè)）自由度時(shí)，是可解的，其通解一般是數(shù)值解，它不是解析表達(dá)式，而是利用數(shù)值迭代原理求解，它的計(jì)算量要比解析解大。 但在某些特殊情況下，如若干個(gè)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)相交和或多個(gè)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)等于 0 或 90的情況下，具有6個(gè)自由度的機(jī)器人可得到解析解。 為使機(jī)器人有解析解，一般設(shè)計(jì)時(shí)，使工業(yè)機(jī)器人足夠簡(jiǎn)單

15、，盡量滿(mǎn)足這些特殊條件。,對(duì)于給定的機(jī)器人，能否求得它的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的解析式（也叫封閉解）。,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題的可解性,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題的多解性,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)問(wèn)題為解三角方程，解反三角函數(shù)方程時(shí)會(huì)產(chǎn)生多解.顯然對(duì)于真實(shí)的機(jī)器人，只有一組解與實(shí)際情況相對(duì)應(yīng)，因此必須作出判斷，以選擇合適的解。,通常采用如下方法剔除多余解：,若該關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間為 ，則應(yīng)選 。,1根據(jù)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間合適的解。例如求得機(jī)器人某關(guān)節(jié)角的兩個(gè)解為,2選擇一個(gè)與前一采樣時(shí)間最接近的解，例如：,若該關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間為 ，且 ，則應(yīng)選,3根據(jù)避障要求得選擇合適的解,4逐級(jí)剔除多余解,對(duì)于具有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其全部解將構(gòu)成樹(shù)形結(jié)構(gòu)。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，應(yīng)逐

16、級(jí)剔除多余解。這樣可以避免在樹(shù)形解中選擇合適的解。,逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的定義 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的存在性 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的可解性 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的多解性（剔除辦法） 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解法（數(shù)值解、解析解）,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics: Choose these angles!,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題解法,用未知的逆變換逐次左乘，由乘得的矩陣方程的元素決定未知數(shù)，即用逆變換把一個(gè)未知數(shù)由矩陣方程的右邊移到左邊 考察方程式左、右端兩端對(duì)應(yīng)元素相等，以產(chǎn)生一個(gè)有效方程式。 然后求這個(gè)三角函數(shù)方程式，以求解未知數(shù) 把下一個(gè)未知數(shù)移到左邊 重復(fù)上述過(guò)程，直到解出

17、所有解 無(wú)法有數(shù)種可能解中直接得出合適的解，需要通過(guò)人為的選擇,Paul 等人提出的方法(1981年，解析解):,Paul 等人提出的方法,因此，通常用反正切函數(shù) 來(lái)確定 值，它可把 校正到適當(dāng)?shù)南笙?，其定義為：,不能用反余弦 來(lái)求解關(guān)節(jié)角，因?yàn)檫@樣求解不僅關(guān)節(jié)角的符號(hào)不確定（ ），而且角的精度也難以保證（ ）。,例：歐拉角第一種類(lèi)型，求逆,類(lèi)型1：表示法通常用于陀螺運(yùn)動(dòng),解：,由式中矩陣（1，3）元素相等，有,斯坦福機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題解,式中：,由兩端矩陣對(duì)應(yīng)元素相等可得：,作三角變換：,式中：,得到：,即有：,（ ）,由1, 4和2, 4元素對(duì)應(yīng)相等，得：,式中第四列：,式中第三列：,高腕,低腕,7.8 雅克比矩陣,雅可比矩陣定義,上式,雅可比矩陣性質(zhì),1、建立起機(jī)器人末端笛卡爾速度與關(guān)節(jié)速度的映射關(guān)系； 2、雅可比矩陣是時(shí)變的線(xiàn)性變換； 3、矩陣的行數(shù)對(duì)應(yīng)機(jī)器人在笛卡爾空間的操作自由度數(shù)， 列數(shù)對(duì)應(yīng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)； 4、當(dāng)雅可比矩陣的行列式值 時(shí)，機(jī)器人 處于奇異狀態(tài)，此時(shí)機(jī)器人將失去一個(gè)或幾個(gè)自由度。,雅可比矩陣構(gòu)造方法,zi-1軸上的單位矢量。,操作器