《線性代數(shù)》教案

1、武昌理工學院理論課程教案2018 2019學年第一學期課 程 名 稱 線 性 代 數(shù) 學 院 信 息 工 程 學 院 系 （部） 數(shù) 學 課 部 授課專業(yè)班級 造價1701、1702 主 講 教 師 杜 洪 艷 職 稱 教 授 選 用 教 材 線 性 代 數(shù) 教務處制表第十次課 線性方程組的解一、教學目標1讓學生理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件；2使學生掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法；3培養(yǎng)學生的抽象思維能力及分析問題解決問題的能力。二、教學重點、難點教學重點為行初等變換求線性方程組通解的方法；教學難點為齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方

2、程組有解的充要條件。三、教學形式探究式。四、教學內容及方法上課前藍墨云班課點名3.3.1 解線性方程組1.概念導入由實際問題導入線性方程組的概念，讓學生意識到線性方程組求解的問題與我們的實際生活及工作息息相關。引例：某商場襯衫專柜銷售S、M、L、XL四種型號的某品牌襯衫。四種型號襯衫的售價分別為260元、270元、280元、300元。已知當天共售出襯衫26件，營業(yè)額為4100元。并已知L好襯衫的銷售量為S號與XL號襯衫銷售量的總和，L號襯衫的銷售量收入也為S號與XL號襯衫銷售量收入的總和。試問當天每種型號的襯衫分別售出幾件？解：設S、M、L、XL號襯衫銷售量分別為x1、 x2、 x3、 x4，

3、根據(jù)題意得 x1+x2+ x3+ x4=26260x1+270x2+280x3+300x4=4100x1-x3+ x4=0260x1-280x3+300x4=0谷歌搜索最早期的搜索原理也就是解龐大的線性方程組，這樣的搜索速度非常慢?，F(xiàn)在很多智能算法使得運算速度明顯加快，搜索一個詞匯幾秒鐘就會出現(xiàn)很多ip地址，但是搜索出來的地址也往往與我們希望的并不相符。人工智能、機器學習發(fā)展的瓶頸是什么，為什么目前的人工智能看起來更像人工智障？現(xiàn)在的機器學習，往往試圖通過樣本學習得出問題的最優(yōu)解，往往這需要龐大的算力支撐，當算力不夠，它在短時間得出的解決方法經(jīng)常不是最優(yōu)的。隨著科技的進步，谷歌已經(jīng)擁有了由72

4、 量子比特處理器構成的芯片，若用該芯片支撐量子計算機，如今所有的密碼都可以被瞬間暴力破解，傳統(tǒng)加密方式在量子計算機面前根本沒有意義，解一個龐大的線性方程組更是方便。知識的學習往往帶來社會的進步（知識前沿介紹，課程思政）。2.利用矩陣的行初等變換解線性方程組例：矩陣的行對換方程的對換 r2-3r1 r2-3r1r3+3r1 r3+3r1 利用藍墨云班課互動提問，講臺上計算并點評1.矩陣的初等變換有幾種？（復習提問）2. 求解本題需要用到哪幾種初等變換？（復習提問）3.利用矩陣的初等變化求解該線性方程組。（自主學習）r3-r2 r3-r2x1+2x2+4x3=1x2-187x3=17-37x3=6

5、7.唯一解 -3767得 得 由上式可知方程組有唯一解。3.3.2 齊次線性方程組對應矩陣方程為。1、齊次線性方程組有非零解的條件利用藍墨云班課互動提問1. 齊次線性方程組的解有幾種情況？（復習提問）2. 齊次線性方程組滿足什么條件有非零解？為什么（預習提問）齊次線性方程組必有零解定理 n 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解的充要條件是 R(A) n .特別地，當A 為方陣時1. 當A為方陣時，齊次線性方程組僅有零解的條件是什么？（復習提問）2.當A為方陣時，齊次線性方程組僅有零解的條件是什么？（復習提問），Ax = 0 僅有零解的充要條件：有非零解的充要條件：推論1讓學生說明理由，用定

6、理說明理由（引導學生的邏輯思維能力） 若齊次線性方程組中方程的個數(shù)m少于未知數(shù)的個數(shù)n，則方程必存在非零解推論2 設齊次線性方程組中方程的個數(shù)m與未知數(shù)的個數(shù)n一樣多，若其系數(shù)行列式不等于零，則方程必存在非零解3.3.3非齊次線性方程組的解，與增廣矩陣（A,b）一一對應當常數(shù)項bi不全為0時, 稱為非齊次線性方程組;當常數(shù)項bi全為0時, 為與之對應的齊次線性方程組, 也稱作非齊次線性方程組的導出組. 任一線性方程組必滿足以下三項之一：1. 任一非齊次線性方程組的解有哪幾種情形？（思考題）2.（1） 無解；（2）有惟一解；（3）有無窮組解.“解線性方程組”常用消元法.消元過程中需反復用線性方程

7、組的初等變換. 而線性方程組的初等變換與其增廣矩陣的初等變換一一對應階梯形線性方程組的三種基本類型： x1-x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 leading variables 2x1+3x2 -x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 自由變量 例:階梯陣的形狀與線性方程組的解r2 = r1 = n x1-x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0無解 有唯一解 有無數(shù)解 解的數(shù)目 Ax = bAx = bA, b

8、A, b2x1+3x2 -x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 r2 r1r2 = r1 n 3.3.4 利用矩陣的秩討論線性方程組解的存在性 定理 任一線性方程組Ax=b有解的充要條件是系數(shù)矩陣與其增廣矩陣的秩相等，即R(A)= R(A | b利用藍墨云班課互動提問并展開討論根據(jù)觀察得出猜想，然后設法論證。（預習題提問，分析問題，解決問題的一般方法） ). 證 （反證法）若R(A)R(A|b) ，則方程組的增廣陣化簡的行階梯形含形如( 0,0,L,0, b), b0的行向量，顯然方程組無解，與已知矛盾. 線性方程組Ax=b 解的存在性判別法： 若R(A)R(AMb) ，則方程組無解

9、；若R(A)=R(AMb) = r=n時，則方程組有唯一解.若R(A)=R(AMb) = rn時，則方程組有無窮多解. 例1 判斷下列線性方程組是否有解,若有解,求出全部解.解 對增廣陣作初等行變換，得同解方程組，再判斷和求解利用藍墨云班課互動提問如何判斷系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩？（預習題，引導學生思考解決問題的方式） 練習題：1. 若線性方程組無解，則數(shù)=_2. 求下列齊次線性方程組的通解3. 求線性方程組的，小結：指導學生對本節(jié)知識進行小結練習題：1. 求下列齊次線性方程組的通解2. 求線性方程組的通解復習題：12. 高斯消元法解線性方程組的特點是什么？用矩陣的初等變換來表示消元法必須注意什么？13. 如果方程組有無窮多組解，那么自由未知量應如何選?。?4. 若線性方程組的方程個數(shù)小于未知量個數(shù)，即，且都小于矩陣的秩，問方程組是否一定有無窮多解？為什么？15. 設有個方程個未知量的線性方程組若系數(shù)行列式為，