二次函數(shù)與相似三角形問題(含答案-完美打印版)

1、 綜合題講解 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當給出四邊形的兩個頂點時應以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況 2

2、. 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。 或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設(shè)所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 例題2：如圖，已知拋物線y=ax2+4ax+t（a0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（-1，0）（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；（2

3、）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，當APD=ACP時，求拋物線的解析式 練習1、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習2、如圖，四邊形OABC是一

4、張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習2圖CBED練習3、在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合

5、），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；CBA練習4圖PyyCxBA練習3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍O練習4 、如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由練習5、已知：如圖，

6、在平面直角坐標系中，是直角三角形，點的坐標分別為，（1）求過點的直線的函數(shù)表達式；點，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由ACOBxy練習6、如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點，與軸交于點B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設(shè)拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。練習7、如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標軸交于A、B、C三點， A點的坐

7、標為（1，0），過點C的直線yx3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PHOB于點H若PB5t，且0t1（1）填空：點C的坐標是_ _，b_ _，c_ _；（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由練習8、如圖，拋物線經(jīng)過三點（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求

8、出點D的坐標練習9、已知，如圖1，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接（1）求點的坐標；（2）求證：；（3）點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由練習10、當x2時，拋物線yax2bxc取得最小值1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B （1）求該拋物線的關(guān)系式；（2）若點M（x，y1），N（x1，y2）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大?。籄BCDOxyEF3（第26題圖）（3）D是線段AC的中點，E為

9、線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F問：是否存在DEF與AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由練習11、如圖，一次函數(shù)y=2x的圖象與二次函數(shù)y=x2+3x圖象的對稱軸交于點B.（1）寫出點B的坐標 ；（2）已知點P是二次函數(shù)y=x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y=2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點. 若以CD為直角邊的PCD與OCD相似，則點P的坐標為 . OBCD練習12、如圖，拋物線與軸交于兩點A（1，0），B（1，0），與軸交于點C(1)求拋物線的解析式；(2)過點B作BDCA與拋物線交于點D，求

10、四邊形ACBD的面積； (3)在軸下方的拋物線上是否存在一點M，過M作MN軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由 練習13、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點（1）求這個函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；AxyOB（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由練習14、如圖,設(shè)拋

11、物線C1:, C2:,C1與C2的交點為A, B,點A的坐標是,點B的橫坐標是2.（1） 求的值及點B的坐標； （2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG. 記過C2頂點的直線為,且與x軸交于點N. 若過DHG的頂點G,點D的坐標為(1, 2)，求點N的橫坐標； 若與DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.練習15、如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設(shè)AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原。 （1）當時，折痕EF的長為 ；當點E與點A重合時，折痕EF的長為 ；

12、（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當時菱形的邊長；（3）令，當點E在AD、點F在BC上時，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當取最大值時，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。練習16、如圖，已知 ，現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應點為C(1) 求C點坐標及直線BC的解析式;(2) 一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;(3) 現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點，.圖1拋物線的解析式為

13、,即 如圖1,當OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(2,3), 當OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A點,顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.

14、PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 練習1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點的坐標為，則，要使，則有，即解之得，當時，即為點，所以得要使，則有，即解之得，當時，即為點，當時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標為（3）在中，因為所以當點的坐標為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，又因為，所以練習2解：（1）與相似。Oxy圖1CBED312A理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。圖2OxyCBE

15、DPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），點E的坐標為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準確畫出兩條直線。練習3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似在中，令，則由，解得yxBEAOCD令，得設(shè)過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而

16、在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或（3）設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設(shè)點的坐標為，并代入，得解得（不合題意，舍去）xBEAOCP點的坐標為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標為當時，銳角；當時，銳角；當時，銳角練習四圖1CPByA解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點的橫坐標為，則M 點M在軸左側(cè)時，則GM圖2CByPA() 當AMG PCA時，有=A