數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程(黨林立)lf0912第1章.ppt

1、,第一章 數(shù)學(xué)模型概論,1.1 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,我們生活在豐富多彩、千變?nèi)f化的現(xiàn)實(shí)世界里，而世界上一切事物都是按照一定的客觀規(guī)律運(yùn)動(dòng)、變化著.事物之間彼此相互聯(lián)系和制約，其間必然蘊(yùn)涵著一定的數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).隨著科技的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)應(yīng)用已從傳統(tǒng)的物理、力學(xué)、電磁學(xué)等工程技術(shù)領(lǐng)域，深入到科技、經(jīng)濟(jì)、金融、信息、材料、環(huán)境等社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，,1.1 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)模型,特別是并行計(jì)算、網(wǎng)絡(luò)等計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，使數(shù)學(xué)如虎添翼，由一門理論學(xué)科發(fā)展成為一種數(shù)學(xué)技術(shù)，成為高新技術(shù)的基礎(chǔ)，在

2、各領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，我們做過(guò)的很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題，已讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用，但實(shí)際問(wèn)題遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)應(yīng)用題復(fù)雜，如氣象工作者要根據(jù)氣象資料準(zhǔn)確預(yù)報(bào)天氣；生理醫(yī)學(xué)家要確定藥物在體內(nèi)的濃度分布，進(jìn)而評(píng)價(jià)藥物的療效；公司經(jīng)理要根據(jù)產(chǎn)品需求、生產(chǎn)條件、生產(chǎn)成本等信息，決策生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)計(jì)劃，以獲取較高經(jīng)濟(jì)效益；甚至我們?nèi)粘３鲂新肪€的優(yōu)化等都涉及數(shù)學(xué)問(wèn)題.,要用數(shù)學(xué)方法解決這些實(shí)際問(wèn)題，就必須架設(shè)實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間的橋梁，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析和計(jì)算，最后用所得的結(jié)果來(lái)解答實(shí)際問(wèn)題.日常生活中，我們參觀展覽會(huì)、博覽會(huì)，看到精美的汽車模型、建筑模型

3、、火箭模型、飛機(jī)模型、人造衛(wèi)星模型等，這些是反映實(shí)物形態(tài)的直觀模型.在我們每個(gè)人的頭腦中也存儲(chǔ)著不少模型，如認(rèn)識(shí)的人的形象、社會(huì)活動(dòng)規(guī)范、某項(xiàng)技術(shù)方法等，這些是供人們思維決策的抽象模型.數(shù)學(xué)模型這個(gè)概念并不是新名詞，,公元前三世紀(jì)，歐幾里德建立的歐氏幾何學(xué)，就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式提出的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，該模型十分有效，一直沿用至今.近代力學(xué)、物理學(xué)的重要微分方程，也是抓住這些學(xué)科的本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，成為相關(guān)學(xué)科的核心內(nèi)容和基礎(chǔ).什么是數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)?數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、圖表等刻畫現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖形或算法，是一種理想化、抽象化的方法，是用數(shù)學(xué)解

4、決實(shí)際問(wèn)題的典型方法.一般地，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，,運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制. 在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，由于特定對(duì)象系統(tǒng)形形色色、千差萬(wàn)別，描述它們的模型也就種類繁多.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型分類有：(1)按照模型所使用的數(shù)學(xué)方法可分為確定性模型、隨機(jī)性模型和模糊性模型.,確定性模型：模型相應(yīng)的實(shí)際對(duì)象具有確定性和固定性，對(duì)象間又具有必然的關(guān)系，這類模型的表示形式可以是各種各樣的方程式、關(guān)系式、邏輯關(guān)系式、網(wǎng)絡(luò)圖等，所使用的方法是經(jīng)典的數(shù)學(xué)

5、方法.隨機(jī)性模型：這類模型的實(shí)際對(duì)象具有隨機(jī)性，數(shù)學(xué)模型的表示工具是概率論、過(guò)程論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等.模糊性模型：這類模型相應(yīng)的實(shí)際對(duì)象及其關(guān)系具有模糊性，數(shù)學(xué)模型的基本表示工具是Fuzzy集合理論及Fuzzy邏輯等.,(2)按照對(duì)研究對(duì)象的了解程度，可分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型.白箱是指可以用像力學(xué)、電路理論等一些機(jī)理(指數(shù)量關(guān)系方面)清楚的學(xué)科來(lái)描述的現(xiàn)象，其中需要研究的主要內(nèi)容是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制方面的問(wèn)題.灰箱主要是指應(yīng)用領(lǐng)域中機(jī)理尚不清楚的現(xiàn)象，對(duì)于這類問(wèn)題，在建立和改善模型方面還有許多工作要做.至于黑箱，主要包括的是在應(yīng)用領(lǐng)域中一些機(jī)理完全不清楚的現(xiàn)象.,(3)按照數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)可分為

6、分析的模型、非分析的模型和圖論的模型.分析的模型是以無(wú)窮小量概念為基礎(chǔ)，研究函數(shù)中變量之間的依賴關(guān)系，如常微分方程、偏微分方程、積分變換、無(wú)窮級(jí)數(shù)和積分方程等.非分析的模型是用符號(hào)系統(tǒng)來(lái)表示方程或表達(dá)式中變量和常數(shù)的運(yùn)算關(guān)系(如代數(shù))，或者研究它們的坐標(biāo)關(guān)系(如幾何)，集合論、群論、抽象幾何均屬此類型.圖論的模型是以點(diǎn)和點(diǎn)的連線(有向的或無(wú)向的)來(lái)表示各種關(guān)系的圖形，這類圖形既能表達(dá)分析的問(wèn)題，又能表達(dá)非分析的問(wèn)題，具有獨(dú)特的運(yùn)算形式，如結(jié)構(gòu)樹(shù)圖、決策樹(shù)圖、狀態(tài)圖等.,(4)按照模型研究變量特性，可分為離散模型和連續(xù)模型，或者線性模型和非線性模型，或者參數(shù)定常模型和參數(shù)時(shí)變模型，或者單變量模型

7、和多變量模型，或者靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型，或者集中參數(shù)模型和分布參數(shù)模型等.(5)按照模型應(yīng)用領(lǐng)域可分為工程模型、人工模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等.,在了解了數(shù)學(xué)模型的概念之后，如何建立數(shù)學(xué)模型，是本教程的核心，本節(jié)我們給出建立數(shù)學(xué)模型的一般方法和步驟.,1.2 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟,1.明確問(wèn)題要建立現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，第一步是對(duì)要解決的問(wèn)題有一個(gè)明確清晰的提法，通常我們碰到的某個(gè)實(shí)際問(wèn)題，在開(kāi)始階段是比較含糊不清的，又帶有實(shí)際背景，因此在建模前必須對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面、深入、細(xì)致的了解和調(diào)查，查閱有關(guān)文獻(xiàn)，同時(shí)要著手收集有關(guān)數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)事先考慮好數(shù)據(jù)的整理形式，例如

8、利用表格或框圖形式等.在這期間還應(yīng)仔細(xì)分析已有的數(shù)據(jù)和條件，使問(wèn)題進(jìn)一步明確化，即從數(shù)據(jù)中可得到什么信息，數(shù)據(jù)來(lái)源是否可靠，所給條件有什么意義，哪些條件是本質(zhì)的，,哪些條件是可以變動(dòng)的等.對(duì)數(shù)據(jù)和條件的分析會(huì)進(jìn)一步增強(qiáng)我們對(duì)問(wèn)題的了解，使我們更好地抓住問(wèn)題的本質(zhì)及特征，為建立數(shù)學(xué)模型打下良好的基礎(chǔ).,2.合理假設(shè)建立數(shù)學(xué)模型的主要目的在于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.然而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題不經(jīng)過(guò)理想化、簡(jiǎn)單化處理就很難轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使建立了模型，也會(huì)因過(guò)于復(fù)雜而很難求解.因此，做出合理的假設(shè)在數(shù)學(xué)建模中起著至關(guān)重要的作用.所謂合理的假設(shè)，是指這些假設(shè)既能抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，又能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，便于進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，我們

9、稱這樣的假設(shè)為簡(jiǎn)化問(wèn)題的假設(shè).這里要提醒注意的是：對(duì)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問(wèn)題的方便.,如何對(duì)問(wèn)題提出合理的假設(shè)是一個(gè)比較困難的問(wèn)題，這是因?yàn)榧僭O(shè)做得過(guò)于簡(jiǎn)單，則使模型遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)，無(wú)法用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；假設(shè)做得過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的各方面因素都考慮進(jìn)去，模型就會(huì)十分復(fù)雜甚至難以建立.通常做出合理假設(shè)的依據(jù)一是出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是兩者的綜合.做假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問(wèn)題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量使問(wèn)題簡(jiǎn)化(比如線性化、均勻

10、化等)，經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用.最后要指出，有些假設(shè)在建模過(guò)程中才能確定，因此在建模中要注意調(diào)整假設(shè)，使模型盡可能地接近實(shí)際.,3.建立模型在已有假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用合適的數(shù)學(xué)工具，描述問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，確定其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就得到了實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.這里有兩點(diǎn)要注意：一是構(gòu)造一個(gè)具體問(wèn)題的模型時(shí)，首先應(yīng)構(gòu)成盡可能簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，然后把構(gòu)造的簡(jiǎn)單模型與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較，再考慮將次要因素歸納進(jìn)去，逐漸逼近現(xiàn)實(shí)來(lái)修改模型，使之趨于完善.也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)不斷精確化的過(guò)程，切忌建模之初就把問(wèn)題復(fù)雜化.二是要善于借鑒已有問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，,許多實(shí)際問(wèn)題，盡管現(xiàn)象和背景不同，但卻具有相同的模型，例如

11、力學(xué)中描述力、質(zhì)量和加速度之間關(guān)系的牛頓第二定律Fma，經(jīng)濟(jì)學(xué)中描述單價(jià)、銷售金額和銷售量之間關(guān)系的公式Cpq等，數(shù)學(xué)模型都是ykx.一個(gè)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于多個(gè)實(shí)際問(wèn)題是屢見(jiàn)不鮮的.要學(xué)會(huì)觀察和分析，透過(guò)現(xiàn)象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，利用已有模型或在已有模型上進(jìn)行修正，以此提高我們的建模水平.,4.模型求解不同的模型要用到不同的數(shù)學(xué)工具來(lái)求解.可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，但多數(shù)場(chǎng)合模型必須依靠計(jì)算機(jī)的數(shù)值求解、模擬.熟練利用數(shù)學(xué)軟件包將會(huì)為我們求解模型帶來(lái)方便.,5.模型的檢驗(yàn)與修正建立數(shù)學(xué)模型的目的在于解決實(shí)際問(wèn)題，因此必須把模型所得的結(jié)果返回到

12、實(shí)際問(wèn)題，如果模型結(jié)果與實(shí)際狀況相符合，表明模型經(jīng)檢驗(yàn)是符合實(shí)際問(wèn)題的.如果模型結(jié)果很難與實(shí)際相符合，表明這個(gè)模型與所研究的實(shí)際問(wèn)題不符合，不能直接將它應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題.這時(shí)數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程如果沒(méi)有問(wèn)題，就需要考察建模時(shí)關(guān)于問(wèn)題所做的假設(shè)是否合理，檢查是否忽略了某些重要因素.再對(duì)假設(shè)給出修正，重復(fù)前面的建模過(guò)程，直到使模型能反映所給的實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)建模就是這樣一個(gè)不斷循環(huán)上升，不斷優(yōu)化模型的過(guò)程.建立數(shù)學(xué)模型的步驟可以用下面的框圖(圖1-1)表示.,圖 1-1,本節(jié)我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用上面所給出的過(guò)程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)是如何做出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言確切地表述實(shí)際問(wèn)題，

13、以及如何用模型的結(jié)果解釋實(shí)際現(xiàn)象.,1.3 數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1 椅子的放穩(wěn)問(wèn)題在日常生活中我們知道：椅子在一塊不平的地上放不穩(wěn)，但只需挪動(dòng)幾次，就可使四條腿同時(shí)著地，放穩(wěn)了.試用數(shù)學(xué)方法證明能否找到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢枚鴮⒁话岩巫拥乃臈l腿同時(shí)著地.對(duì)于這個(gè)與數(shù)學(xué)似乎毫不相干的問(wèn)題，我們將建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型給予解答.,假設(shè):(1)椅子的四條腿著地點(diǎn)構(gòu)成平面上的嚴(yán)格正方形；(2)地面高度是連續(xù)變化的，不會(huì)出現(xiàn)間斷，亦即不會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階式地面或裂縫；(3)椅子在任何位置至少有三條腿著地.該問(wèn)題的核心是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將椅子四條腿同時(shí)著地的條件和結(jié)論表示出來(lái).如圖1-2所示，設(shè)正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，每條腿

14、的著地點(diǎn)分別為A、B、C、D.,圖 1-2,AC和BD的連線為坐標(biāo)系中的x軸與y軸.對(duì)角線AC轉(zhuǎn)動(dòng)后與x軸夾角為.A、C兩腿與地面距離之和為g()，B、D兩腿與地面距離之和為f().由假設(shè)條件(2)知，g()、f()是的連續(xù)函數(shù).顯然椅子的三條腿總能同時(shí)著地，即對(duì)任何，g()與f()中至少有一點(diǎn)為零，因而有g(shù)()f()0.現(xiàn)不妨設(shè)初始位置0.于是，此問(wèn)題就歸結(jié)為下面的數(shù)學(xué)問(wèn)題：設(shè)連續(xù)函數(shù)g()、f()，滿足g(0)0，f(0)0，且對(duì)任意，有g(shù)()f()0，證明存在0，使g(0)f(0)0.,問(wèn)題的證明如下：(1)若f(0)0，則取0即可證明結(jié)論.(2)若f(0)0，則將椅子轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)椅子的對(duì)

15、角線AC與BD的位置互換，故有構(gòu)造函數(shù)h()f()g()，顯然有,由于h()是連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，使得h(0)0.又由于f()g()0，所以有f(0)g(0)0.就是說(shuō)，存在0方向，使得四條腿能同時(shí)著地.因此問(wèn)題的答案是:如果地面是光滑的曲面，則四條腿一定可以同時(shí)著地.,這個(gè)模型巧妙之處在于用一元變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四條腿與地面的距離，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 如果將椅子換成長(zhǎng)方形桌子，是否還有相同的結(jié)論?,思考題,1.3.2 夫妻過(guò)河問(wèn)題這是一道智力游戲問(wèn)題，問(wèn)題是：有三對(duì)夫妻要過(guò)河，只有一只船，船最多能載兩個(gè)人，由于封建思想，要

16、求任一女子不能在丈夫不在場(chǎng)的情況下同另外的男子在一起，試給出三對(duì)夫妻的過(guò)河方案.該問(wèn)題有多種解法，下面介紹兩種.,1)應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移法求解夫妻過(guò)河問(wèn)題是帶有約束條件的過(guò)河問(wèn)題，可視為一個(gè)多步?jīng)Q策過(guò)程，每一步，即船由南岸到北岸或由北岸到南岸，都要對(duì)船上人員(男子、女子各幾人)作出決策，在允許的前提下，在有限次內(nèi)使三對(duì)夫妻全部過(guò)河.記第k次過(guò)河前南岸的男子數(shù)為xk，女子數(shù)為yk，其中，k1，2，；xk、yk0，1，2，3，則狀態(tài)向量可表為(xk，yk)，所有可能狀態(tài)共16個(gè)，其可取狀態(tài)或允許狀態(tài)有10個(gè)：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，

17、(1，1)，(2，2), 記第k次過(guò)河時(shí)船上有男子數(shù)為u，女子數(shù)為v，則決策向量表示為(1)ku，(1)kv)，其中，u、v0，1，2；uv1，2；k1，2，(k為奇數(shù)時(shí)表示由南岸至北岸，k為偶數(shù)時(shí)表示由北岸回南岸).這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為由狀態(tài)(3，3)經(jīng)奇數(shù)次允許決策到達(dá)狀態(tài)(0，0)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程.,第1次過(guò)河為：注意，這里只取了允許狀態(tài).,第2次過(guò)河是將(3，2)、(3，1)、(2，2)分別與決策向量進(jìn)行運(yùn)算，只需k2.如此下去不難驗(yàn)證，經(jīng)11次可取運(yùn)算三對(duì)夫妻就可全部過(guò)河.為便于計(jì)算機(jī)求解，記允許狀態(tài)集合和決策向量集合分別為：S(x，y)|x0，y0，1，2，3；x3，y0，1，2，3；

18、xy1，2D(u，v)|uv1，2；u，v0，1，2并以Sk(xk，yk)(k1，2，)表示狀態(tài)變化過(guò)程，dk表示過(guò)河決策，dkD，k取奇偶數(shù)的意義與前面的表示意義相同，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足下列關(guān)系：,Sk1Sk(1)kdk(1.3.1) 這樣，我們的問(wèn)題就成為：求決策dkD(k1，2，)使?fàn)顟B(tài)SkS按式(1.3.1)由初始狀態(tài)S1(3，3)經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到Sn(0，0)的最小的n值.利用上面的模型編制程序，容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解.,2)圖解法求解在xoy平面坐標(biāo)系中，畫出圖1-3那樣的方格，方格點(diǎn)表示狀態(tài)S(x，y)，允許狀態(tài)用圓點(diǎn)標(biāo)出.允許決策dk是沿方格線移動(dòng)1或2格，規(guī)定：k為奇數(shù)時(shí)，向左或下方

19、移動(dòng)；k為偶數(shù)時(shí)，向右或上方移動(dòng)；每次移動(dòng)必須落在允許狀態(tài)即點(diǎn)“”上.,圖 1-3,圖1-3給出了一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程，經(jīng)過(guò)決策d1，d2，d3，d11實(shí)現(xiàn)了S12(0，0).這個(gè)結(jié)果容易制定出過(guò)河方案，細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，應(yīng)有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程.這是一種規(guī)格化的方法，具有推廣意義. 將夫妻數(shù)增加或船的容量增大時(shí)，如何建模求解？,思考題,1.3.3 人口預(yù)測(cè)問(wèn)題人口問(wèn)題是當(dāng)今世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一.作為世界上人口最多的國(guó)家，我國(guó)的人口問(wèn)題更是十分突出.由于人口基數(shù)很大，盡管我國(guó)已實(shí)行了30多年的計(jì)劃生育政策，人口的增長(zhǎng)依然很快.巨大的人口壓力給我國(guó)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療、就業(yè)等帶來(lái)了一系列的問(wèn)題.因此，

20、如何科學(xué)合理地預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)，研究和解決人口問(wèn)題在我國(guó)顯得尤為重要.關(guān)于人口問(wèn)題模型的研究，并不是現(xiàn)在才開(kāi)始的，早在18世紀(jì)末，英國(guó)人馬爾薩斯(Malthus)在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后建立了第一個(gè)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型即Malthus模型.,其后經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)，現(xiàn)在已有了一些更為精細(xì)的數(shù)學(xué)模型，尤其是人口的預(yù)測(cè)模型和控制模型為人口政策的制定提供了重要的科學(xué)依據(jù).我們這里介紹兩種微分方程模型，即Malthus模型和Logistic模型.,1)Malthus模型設(shè)時(shí)刻t的人口總數(shù)為N(t)，人口的凈增長(zhǎng)率(即出生率減去死亡率)為r，根據(jù)Malthus的理論，在人口的自然增長(zhǎng)過(guò)程中，r為常數(shù)，即單位時(shí)間

21、內(nèi)人口的增加量與人口的總數(shù)成正比.由于人口基數(shù)很大，故可將N(t)近似看做連續(xù)可微函數(shù)，于是得Malthus人口模型為:,此方程的解為：(1.3.2) 如果r0，則式(1.3.2)表明人口總數(shù)將以指數(shù)形式增長(zhǎng)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般以年為間隔來(lái)考察人口的變化情況，即取(tt0)1，2，n，這樣我們就可得到以后各年的人口總數(shù)為N0，N0er，N0e2r，N0e3r，N0enr，.,事實(shí)證明，用Malthus模型進(jìn)行短期人口預(yù)測(cè)還是比較準(zhǔn)確的.在資源豐富、人口比較稀少時(shí)結(jié)果和實(shí)際的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也比較吻合.但該模型用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)是不合適的，因?yàn)閞0，當(dāng)t時(shí)N(t)，這一結(jié)論不符合人口實(shí)際情況.例如1961

22、年世界人口總數(shù)為3.06109，人口出生率為2，用Malthus模型預(yù)測(cè)以后，得到人口的數(shù)據(jù)為到2670年，世界人口總數(shù)達(dá)3.6萬(wàn)億人，屆時(shí)地球上平均每人只有1平方米的陸地.顯然這個(gè)結(jié)論是十分荒謬的.,以上錯(cuò)誤結(jié)論的根源是Malthus假設(shè)的局限性.Malthus的關(guān)鍵假設(shè)人口自然增長(zhǎng)率r是一常數(shù)這一條并不總是成立.事實(shí)上，在人口比較稀少，資源比較豐富的條件下才存在這一規(guī)律，但當(dāng)人口數(shù)量達(dá)到一定程度時(shí)，由于土地、資源的限制，會(huì)出現(xiàn)食物短缺、資源緊張、環(huán)境惡化并伴隨戰(zhàn)爭(zhēng)與傳染病的威脅.這些因素對(duì)人口增長(zhǎng)產(chǎn)生了阻滯作用，此時(shí)人口增長(zhǎng)率隨人口增加而減小，因此Malthus模型中人口凈增長(zhǎng)率為常數(shù)的假

23、設(shè)必須進(jìn)行修改.,2)Logistic模型為了克服Malthus模型假設(shè)的缺陷，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)Nm表示自然資源和環(huán)境所能承受的最大人口數(shù)，并假定凈相對(duì)增長(zhǎng)率為，即凈相對(duì)增長(zhǎng)率隨N增加而減小，此時(shí)，r稱為內(nèi)在增長(zhǎng)率，即不受資源和環(huán)境限制時(shí)的人口增長(zhǎng)率.當(dāng)N(t)Nm時(shí)，凈相對(duì)增長(zhǎng)率趨于0，于是得到了人口的阻滯增長(zhǎng)模型Logistic模型:,其解為：, 從以上結(jié)果可以看出： ()當(dāng)t時(shí)，NNm，即無(wú)論人口初值如何，人口總數(shù)趨向于極限值Nm.,由此可知，在人口達(dá)時(shí)，人口增長(zhǎng)最快.據(jù)估計(jì)，地球上所能承受人口的最大數(shù)量約為100億人，因此在50億左右時(shí)，人口增長(zhǎng)最快.Logist

24、ic模型不僅適用于人口問(wèn)題，在動(dòng)物單種群的數(shù)量增長(zhǎng)中也是適用的，有關(guān)的生物學(xué)實(shí)驗(yàn)已證明了此模型的有效性.,全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(China Undergraduate Mathematical Contestin Modeling)是全國(guó)高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)之一.本競(jìng)賽每年9月中旬舉行，競(jìng)賽面向全國(guó)大專院校的學(xué)生，不分專業(yè).競(jìng)賽分甲、乙兩組，甲組競(jìng)賽對(duì)象為所有本科大學(xué)生，乙組競(jìng)賽對(duì)象為大專學(xué)生(包括高職、高專學(xué)生).,1.4 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的創(chuàng)始與發(fā)展20世紀(jì)80年代初，數(shù)學(xué)建模教學(xué)開(kāi)始進(jìn)入我國(guó)大學(xué)課堂，經(jīng)過(guò)20多年的發(fā)展，現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W(xué)校都開(kāi)設(shè)了各種形

25、式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力開(kāi)辟了一條有效的途徑.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽最早是1985年在美國(guó)出現(xiàn)的，1989年我國(guó)大學(xué)生開(kāi)始參加美國(guó)的競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)兩三年的參與，大家認(rèn)為競(jìng)賽是推動(dòng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)在高校迅速發(fā)展的一種非常好的形式.,于是在1992年，由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型專業(yè)委員會(huì)組織舉辦了我國(guó)10城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽.教育部領(lǐng)導(dǎo)及時(shí)發(fā)現(xiàn)，并扶植、培育了這一新生事物，決定1994年起由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，每年一次.十幾年來(lái)，這項(xiàng)競(jìng)賽得到了迅猛發(fā)展.,2.通過(guò)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽提高學(xué)生綜合素質(zhì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題

26、目由工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神.從下面一些題目的標(biāo)題可以看出其實(shí)用性和挑戰(zhàn)性：“DNA序列分類”、“血管的三維重建”、“公交車調(diào)度”、“SARS的傳播”、“奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)”、“長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)”.競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時(shí)間內(nèi)可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)、軟件和互聯(lián)網(wǎng)，但不得與隊(duì)外任何人包括指導(dǎo)教師討論.,要求每個(gè)隊(duì)完成一篇論文，內(nèi)容包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等.競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn).,可以看出，這項(xiàng)競(jìng)賽從內(nèi)容到形式與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽不同，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件.競(jìng)賽讓學(xué)生面對(duì)一個(gè)從未接觸過(guò)的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)加以分析、解決，他們必須開(kāi)動(dòng)腦筋、拓寬思路，充分發(fā)揮創(chuàng)造力和想象力.通過(guò)競(jìng)賽培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及主動(dòng)學(xué)習(xí)、獨(dú)立研究的能力.競(jìng)賽緊密結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，富有挑戰(zhàn)性，吸引著學(xué)生關(guān)心、投身國(guó)家的各項(xiàng)建設(shè)事業(yè)，同時(shí)也培養(yǎng)了他們理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng).,競(jìng)賽需要學(xué)