專題――常用求軌跡方程的技法(高三)

1、專題常用求軌跡方程的技法 一、直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。（一）代入題設(shè)中的已知等式若動點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等式明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡.1.動點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程？（二）列出符合題設(shè)條件的等式有時(shí)題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程.2.動點(diǎn)P到一高為h的等邊ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離的平方和等于它到頂點(diǎn)C的距離平方，求點(diǎn)P的軌跡？（三）運(yùn)用有關(guān)公式有

2、時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程.3.ABC的兩頂點(diǎn)是B（3，0），（3，0），兩底角B、C之和恒為135，求第三頂點(diǎn)A的軌跡方程.（四）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)有時(shí)動點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點(diǎn)軌跡的重要方法.4.一條線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0）與到定直線L：x=3的距離之和等于4，求動點(diǎn)M的軌跡方程.6.在直角ABC

3、中，斜邊是定長，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。二、定義法 圓錐曲線是解析幾何中研究曲線和方程的典型問題，當(dāng)動點(diǎn)符合圓錐曲線定義時(shí)，可直接寫出其軌跡方程。7已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足則P點(diǎn)軌跡為（ ）A. 拋物線 B. 直線 C. 雙曲線 D. 橢圓 8.已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個(gè)圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。9.已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng)，求橢圓的方程。10.已知中，三邊長、的長成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)的軌跡方程。11.已知圓A:(x+3)+y=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程。12.ABC的三條邊a,b,c成等差數(shù)列且滿足ab

4、c,A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0).求頂點(diǎn)B的軌跡。13.已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC6，且的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程14. 已知定圓，動圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程 15已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點(diǎn)A是動點(diǎn)，使，求點(diǎn)A的軌跡16求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程17.已知A(-7,0),B（7,0）C(2,-12)三點(diǎn)，（1）若一個(gè)橢圓以C為一個(gè)焦點(diǎn)并且過A,B兩點(diǎn)，求這橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡。（2）若一雙曲線以C為一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的兩支分別過A,B兩點(diǎn)，求另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡。四、點(diǎn)差法 圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題可用點(diǎn)差法

5、，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P（x, y）的坐標(biāo)滿足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程。 18.已知以P（2，2）為圓心的圓與橢圓x2+2y2=m交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。五、幾何法 運(yùn)用平面幾何的知識如平幾中的5個(gè)基本軌跡、角平分線性質(zhì)、圓中垂徑定理等分析軌跡形成的條件，求得軌跡方程。19.如圖，給出定點(diǎn)A（a,0）(a0)和直線L：x=1, B是直線L上

6、的動點(diǎn)，BOA的平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。LCAOB20.如圖，已知兩定點(diǎn)A（），B（），O為原點(diǎn)，動點(diǎn)P與線段AO、BO所張的角相等，求動點(diǎn)P的軌跡方程。六、交軌法 若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的方程，也可以解方程組先求出交點(diǎn)的參數(shù)方程，再化為普通方程。ONMBA21.已知MN是橢圓中垂直于長軸的動弦，A、B是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線 MA和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程。 七、參數(shù)法根據(jù)給定的軌跡條件,恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù),建立曲線的參數(shù)方程,然后消去參數(shù),得到軌跡的普通方程.常用的參數(shù)有點(diǎn)參數(shù)，角()參數(shù),斜率(k)參數(shù),

7、定比()參數(shù),用此法要注意參數(shù)的實(shí)際意義.22.如圖,設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2= 4px (p0)上原點(diǎn)O以外的兩個(gè)動點(diǎn),MOAB且OAOB,過O作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程. 23.過原點(diǎn)作直線l和拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。八、代入法（或利用相關(guān)點(diǎn)法）：即利用動點(diǎn)是定曲線上的動點(diǎn)，另一動點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解，就得到原動點(diǎn)的軌跡。24.已知一條長為6的線段兩端點(diǎn)A、B分別在、軸上滑動，點(diǎn)M在線段AB上，且，求動點(diǎn)M的軌跡方程。26.如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段PP，求線段PP的中點(diǎn)M的軌跡27. 已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓上的動點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程九、待定系數(shù)法由題意可知曲線類型，將方程設(shè)成該曲線方程的一般形式，利用題設(shè)所給條件求得所需的待定系數(shù)，進(jìn)而求得軌跡方程，這種方法叫做待定系數(shù)法。28.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線方程。十、韋達(dá)定理法有些軌跡問題,其變量或不確定的因素較多,直接