波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋

1、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,1,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 2.2 態(tài)疊加原理 2.3 薛定諤方程 2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 2.5 定態(tài)薛定諤方程 2.6 一維無限深勢阱 2.7 線性諧振子,第二章 波函數(shù)和薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,2,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,（1）平面波可以用來描述自由粒子。,（2） 如果粒子受隨時間或位置變化的力場的作用，可以用一個函數(shù)來描寫粒子的波，稱為波函數(shù)。,1、如何解釋一個波所描述的一個粒子的行為？,（3）人們曾經(jīng)錯誤地認為波是由它所描寫的粒子組成的。,若粒子流的衍射現(xiàn)象是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的，衍射圖樣應該與粒子流強度有關，但實驗證明它們兩者

2、卻無關。,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,3,2、波函數(shù)統(tǒng)計詮釋,1(x)和2(x)分別為單獨開縫1或2時，靶上子彈的密度分布， 雙縫齊開時，靶上子彈的密度分布1(x) 2(x),（1）機槍子彈的“雙縫衍射”,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,4,雙縫齊開時，聲波的強度分布不等于I1(x) I2(x)，還包括兩者的干涉項。,（2）聲波的雙縫衍射,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,5,（3）電子的雙縫衍射,設入射電子流很微弱，幾乎是一個一個地通過雙縫。圖中的照片是在不同時間下拍的。,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,6,（4）就強度分布來說，電子的雙縫衍射與經(jīng)典波(如聲波)的雙縫衍射是相似的，而與機槍子彈的分布完全不同這種現(xiàn)象應怎樣理解呢?,在底板上點r附

3、近衍射花樣的強度 在點r附近感光電子的數(shù)目 在點r附近出現(xiàn)的電子的數(shù)目 電子出現(xiàn)在點r附近的幾率,（5）波恩提出的波函數(shù)統(tǒng)計詮釋：波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成比例。 描寫粒子的波稱為幾率波,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,7,波函數(shù)可以用來描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱態(tài)或狀態(tài)）。,在經(jīng)典力學中，一旦用來描寫質點狀態(tài)的坐標和動量確定后，其他力學量也確定了。,在量子力學中，用來描寫體系某一量子態(tài)的波函數(shù)確定后，體系的力學量一般有許多可能取值，這些可能取值各自以一定的幾率出現(xiàn)。,在經(jīng)典物理學中，波函數(shù) 和 A 代表了能量或強度不同的兩種波動狀態(tài)； 而在量子力學中，這兩個波函數(shù)卻描

4、述了同一個量子態(tài)。因為它們所表示的概率分布的相對大小是相同的。,（6）波函數(shù)的特性,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,8,在時刻t，點(x, y, z)附近的體積元dV內(nèi)找到粒子的幾率dW可以表述為：,幾率密度為：,歸一化條件可表示為：,那么，稱為歸一化波函數(shù),歸一化波函數(shù)還可以含有一個相因子,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,9,量子力學中并不排斥使用一些不能歸一的理想波函數(shù)，如描述自由粒子的平面波函數(shù)。,例題： 求下面氫原子的1s電子的波函數(shù)的歸一化系數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,10,解 根據(jù)歸一化的定義，我們有,歸一化的波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,11,2.2 態(tài)疊加原理,經(jīng)典物理中，聲波和光波都遵從疊加原理。 量子力學中的

5、態(tài)疊加原理，是量子力學原理的一個基本假設。,c1，c2是復數(shù),一、態(tài)疊加原理,含義：當粒子處于態(tài) 和態(tài) 的線性疊加態(tài)時，粒子既處在態(tài) ，又處在態(tài) 。,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,12,如果波函數(shù)1(r, t)，2(r,t), 都是描述系統(tǒng)的可能的量子態(tài)，那么它的線性疊加,也是這個體系的一個可能的量子態(tài)， c1，c2, 一般也是復數(shù)。,二、平面波的疊加,一個以確定動量p運動的狀態(tài)可以用下列波函數(shù)表示,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,13,粒子的狀態(tài)(r,t)可以表示為p取各種可能值的平面波的線性疊加,由于p可以連續(xù)變化,式中,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,14,(r, t)和c(p, t)是同一種狀態(tài)的兩種不同的描述方式， (r,

6、 t)是以坐標為自變量的波函數(shù)， c(p, t)是以動量為自變量的波函數(shù)。,2.3 薛定諤方程,經(jīng)典力學中，決定任一時刻質點的運動方程牛頓運動方程， 量子力學中，決定微觀粒子任一時刻的狀態(tài)方程薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,15,決定微觀粒子任一時刻的狀態(tài)方程必須滿足兩個條件： （1）方程是線性的 （2）方程的系數(shù)不應包括狀態(tài)參量。,一、描述自由粒子的狀態(tài)方程,自由粒子的波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,16,利用自由粒子,二、能量和動量算符,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,17,三、薛定諤方程,一般情況下,根據(jù)能量和動量算符,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,18,幾率密度,幾率密度隨時間的變化

7、率,利用薛定諤方程,令,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,19,粒子數(shù)守恒定律,2.5 定態(tài)薛定諤方程,我們討論力場中的勢能U(r)與時間無關的情況,統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求： 波函數(shù)必須是有限的、連續(xù)的和單值的,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,20,考慮一種特解,E是體系處在這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時的能量。,定態(tài)與定態(tài)波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,21,定態(tài)薛定諤方程,哈密頓算符,本征方程,當體系處于能量本征態(tài)時，粒子的能量有確定值E,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,22,以En表示體系能量算符的第n個本征值， n是與En相應的波函數(shù)，則體系的第n個定態(tài)波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,23,2.6 一維無限深勢阱,在一維空間運動的粒子，其勢

8、場滿足,（1）阱外（xa, x -a）,因為勢壁無限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，在阱壁和阱外粒子的波函數(shù)為零。,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,24,（2）阱內(nèi)（a x -a）,利用波函數(shù)在邊界處連續(xù)，,體系的能量,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,25,相應的歸一化的波函數(shù)為,定態(tài)波函數(shù)為,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,26,束縛態(tài)：本征能量小于勢能，即 EU0,本征函數(shù)的奇偶性取決于勢能函數(shù),基態(tài)：體系能量最低的態(tài),波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,27,2.7 線性諧振子,在自然界中一維諧振子廣泛存在，任何體系在平衡位置附近的小振動，如分子的振動、晶格的振動、原子和表面振動以及輻射場的振動等都可以分解成若干彼此獨立的簡諧振動。,質量為m、頻率為的振子的哈密頓量可表示為,定態(tài)薛定諤方程,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,28,令,首先考慮方程的漸近解,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,29,因為波函數(shù)在無窮遠處為有限，,代入薛定諤方程，得,用級數(shù)解法，H只能為一個中斷多項式，得到,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,30,簡諧振子的能譜是等間隔的, 間距為, 基態(tài)能量不為零, 即零點能量為/2。 這是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)，因為“靜止的”波沒有意義。,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,31,厄密多項式,遞推關系,最簡單的幾個厄密多項式為,波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,32,一維諧振子的能量及相應的波函數(shù),波函數(shù)的統(tǒng)