“類比推理”課堂實錄與評析.doc

“類比推理”課堂實錄與評析“類比推理”是高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書的新增內(nèi)容（見人民教育出版社選修數(shù)學(xué)2-2（a版）第二章），筆者在執(zhí)教這部分內(nèi)容時，收獲良多，曾獲北京市青年教師優(yōu)質(zhì)課評比一等獎，第五屆“卡西歐”杯全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課觀摩與評比一等獎鑒于此，筆者特將本節(jié)課的教學(xué)實錄與評析整理如下，供各位同仁參考1.教學(xué)過程簡錄1.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：請同學(xué)們看一組圖片!(展示正在熱映的2009年美國科幻巨作阿凡達(dá)海報圖片)生：阿凡達(dá)！師：阿凡達(dá)是以外星生命為題材的科幻電影，目前為止全球票房收入超過26億美元以外星生命為題材的科幻片還有很多，比如長江七號、火星寶貝等這些影片的票房收入都很高，它們都是以外星生命為題材的科幻電影，由此得出結(jié)論：以外星生命為題材的科幻電影票房收入都很高這是怎樣的推理方法？說明它的的含義.生1：歸納推理它是由一類對象的部分具有的特征推測這類對象的全體所具備的特征師：為什么以外星生命為題材的科幻電影票房收入都很高？為什么人們愛看呢？生（笑）：好奇！沒見過師：究竟存在外星人嗎？外星生命是藝術(shù)家的憑空幻想還是有依據(jù)的推理呢？學(xué)生議論紛紛生2：我認(rèn)為有，宇宙那么大，地球上有生命存在，別的星球上興許也會有！師（追問）：為什么地球上有生命存在，別的星球就興許也會有？生2:（稍作思考）因為宇宙那么大，完全可能存在一些跟地球類似的星球地球上有生命存在，那么這些星球上也可能有生命存在！1.2探索新知，形成概念師：想法很好！我想也是基于這樣的思考，藝術(shù)家們才展開了這么多關(guān)于外星生命的猜想！請同學(xué)們思考，這種推理方法是歸納推理嗎？為了研究清楚這個問題，我們舉例說明：宇宙那么大，可能存在一些星球跟地球類似，你愿意用哪個星球？生：火星！師：平時咱們看到某個同學(xué)很怪異，會說“你是從火星來的吧！”不僅如此，我們還能發(fā)現(xiàn)，在眾多的以外星生命為題材的電影中，關(guān)于火星的電影最多你知道這是為什么嗎？生（三言兩語）：因為人們比較了解火星；因為火星和地球有很多相似的地方師：有哪些相似的地方？生（三言兩語）：有水！有大氣層、有季節(jié)變化、有類似的地貌，比如有山、有合適的氣溫師：通過人們的研究，發(fā)現(xiàn)火星和地球有許多類似特征根據(jù)地球上有生命存在，有理由推測：火星上也有生命存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也經(jīng)常用到這樣的推理方法，比如對不等式的性質(zhì)的研究常常依賴于對等式的性質(zhì)的了解：若若 這樣的推理方法生活中也很多，比如：奧地利醫(yī)生奧恩布魯格觀察到父親經(jīng)常用手指敲擊盛酒的木桶，根據(jù)聲音推測桶內(nèi)的酒還剩多少，聯(lián)想到胸腔和酒桶有類似之處，從而發(fā)明了叩診法通過叩擊人體胸腔的方法判斷其中有無積水或積水的多少. 請同學(xué)們想一想，這樣的推理方法是一種什么樣的模式？是在怎樣進(jìn)行推理？生3：兩個事物先找共同點，已知一個事物的特征，可以推測另一類也有這種特征.師：這樣的推理方式就是今天咱們要學(xué)習(xí)的類比推理.（板書課題及定義）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理成為類比推理簡言之，類比推理是由特殊到一般的推理師：你能舉出日常學(xué)習(xí)和生活中類比推理的例子嗎？學(xué)生討論.生4：比如研究歐拉公式的過程中，發(fā)現(xiàn)三角形符合歐拉公式，推測四邊形也符合歐拉公式.生5：比如化學(xué)中同一種族的元素具備類似的特征鈉遇到水有強烈的反應(yīng)，可推測鉀遇到水也會有強烈的反應(yīng)1.3初步應(yīng)用，完善認(rèn)識師：老師這里也有一些例子，請大家一起看看：練習(xí)1：類比，可得到 生6：.練習(xí)2：（1）類比以點（a,b）為圓心，r為半徑的圓的方程：，可得到以點（a,b,c）為球心，r為半徑的球的方程應(yīng)為 （2）類比“與圓心距離相等的弦長度相等”可得到球的什么性質(zhì)？師：回答問題之前，我想先請同學(xué)思考：為什么圓和球可以進(jìn)行類比？生7：因為它們有類似的概念！都是到定點距離等于定長的點的集合師：很好！它提供了這兩類對象可以進(jìn)行類比的前提！請你說說相關(guān)的結(jié)論！生8：（1）類比以點（a,b）為圓心，r為半徑的圓的方程：，可得到以點（a,b,c）為球心，r為半徑的球的方程應(yīng)為（2）類比“與圓心距離相等的弦長度相等”可得到“與球心距離相等的截面圓的面積相等”練習(xí)3：2004年北京高考題中出現(xiàn)了一個新的名詞等和數(shù)列，你會怎樣給“等和數(shù)列”下定義？生9：從第二項起，每一項與前一項的和是同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列叫等和數(shù)列師：你是怎樣想到這樣定義的？生9：因為等差數(shù)列和等比數(shù)列有類似的定義師：從這個過程咱們不難發(fā)現(xiàn)，在實際生活和發(fā)明創(chuàng)造中，往往需要咱們從已有的知識入手，通過聯(lián)想尋找到合適的類比對象在此基礎(chǔ)上進(jìn)行類比，探尋你所要研究對象的性質(zhì)（板書）類比推理的步驟：（1）尋找合適的類比對象；（2）由一類對象的已知特征推測另一類對象也具備這些特征，得出一個猜想師：接下來，請大家尋找一個合適的類比對象，告訴我：類比“平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線互相平行”，你能得到什么結(jié)論？（ppt展示練習(xí)4）生10：空間內(nèi)，平行于同一平面的兩個平面相互平行生11：空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線相互平行生12：空間內(nèi)，平行于同一平面的兩條直線相互平行生13：平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行生14：這個不對！還有上面那個也不對！師：你指的什么不對？不是類比推理嗎？生14：是類比推理，不過結(jié)論不對！師：哦，我們發(fā)現(xiàn)其中有兩個由類比推理獲得的結(jié)論是錯誤的，這說明什么問題呢？生：類比推理和歸納推理一樣，結(jié)論有可能是錯誤的1.4應(yīng)用知識,鞏固提高師：通過練習(xí)4，我們發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)的直線可以類比為空間中的直線和平面，而從維度升高的角度，直線則應(yīng)該類比為平面點呢？平面圖形呢？平面 空間點 線直線 平面平面圖形 立體圖形生：點可類比為線，平面圖形應(yīng)該類比為立體圖形師：平面圖形應(yīng)該類比為立體圖形，比如圓可以類比為球正方形呢？生：正方體！師：為什么？它們有什么類似特征呢？生15：因為正方體每個面都是正方形師：我想這應(yīng)該是正方體和正方形之間的聯(lián)系，它們之間有什么相似特征呢？生15：正方形所有邊長相等，正方體所有棱長相等師：從維度升高的角度正方體還有什么類似特征嗎？生15：正方體所有面的面積相等師：除此以外還有嗎？正方形除了邊相等還有什么特征？生16：鄰邊相互垂直！師：正方體有類似的特征嗎？生16：正方體相鄰的面互相垂直！師：所有從這些類似特征作為基礎(chǔ)，正方形可以類比為正方體那么長方形、平行四邊形在立體幾何中的類比對象是什么呢？生17：長方體和平行六面體師：平面內(nèi)的最簡單封閉圖形三角形呢？生17：四面體師：為什么？生17：因為四面體的每個面都是三角形師：這是聯(lián)系還是類似特征呢？怎么樣理解“類似特征”？學(xué)生思考師（啟發(fā)）：為什么老師剛才會說，三角形是平面里最簡單的封閉圖形？生18：平面里要圍成封閉圖形至少需要三條線段而空間內(nèi)要未成封閉幾何體至少需要四個面，所有三角形可以類比為四面體師：很好，從構(gòu)成圖形的基本元素的數(shù)目的角度想到了四面體其實從圖形的構(gòu)成來看，三角形可以理解為連接直線上兩點和直線外一點的封閉圖形，由此從維度升高的角度：連接平面外一點和平面內(nèi)幾個點，可以得到什么呢？生：棱錐.師：所以從這個角度來看，三角形還可以類比為任意椎體通過這個過程，咱們能夠發(fā)現(xiàn)對相似性構(gòu)成的理解不同，可以有不同的類比對象而在咱們研究問題時，最關(guān)鍵的是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘ο笳埻瑢W(xué)們看下面的例題：例：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想師：請大家思考，嘗試解決學(xué)生自主探究，就探究結(jié)果與周圍同學(xué)交流請一位同學(xué)將自己的圖形畫到黑板上，并請他表述該四面體與直角三角形的類似特征在此基礎(chǔ)上，將平面內(nèi)線段的測度（長度）類比為空間平面圖形的測度（面積）得出相應(yīng)四面體性質(zhì)的猜想，從而解決例題提出的問題師：這個結(jié)論正確嗎？生：證一證就知道！師：怎樣證明？生：師：立體幾何里的許多問題的解決都依賴于對相關(guān)平面幾何問題的了解要證明這個命題，不妨看看勾股定理的證明方法勾股定理證明的方法非常多，其中之一是：過c點作斜邊ab的垂線，之后利用相似比或射影定理證明（ppt展示）類比這個方法，你覺得要證明以上猜想，可以構(gòu)造什么樣的輔助圖形？學(xué)生思考師（啟發(fā)）：從維度升高角度，點可類比線.c點是線線交點，它該類比什么呢？生：面面交線兩個“直角面”的交線！生19：可以過pd、de、df中任意一條做斜面pef的垂面師：很好！有了這樣的思路，后面該怎么證明請同學(xué)們課下研究！通過這一層次的類比使學(xué)生認(rèn)識到，合理的類比推理不僅能夠幫助我們分析問題提出創(chuàng)造性的猜想，還能提供解決問題的思路和方法，感受類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和研究中的價值1.5梳理知識，布置作業(yè)（1）課堂小結(jié)：知識小結(jié)：類比推理的含義、特點、步驟和作用，并將之與歸納推理對比，指出合情推理的含義，完成對合情推理內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法小結(jié)：體會類比推理是一種建立在相似性基礎(chǔ)上的思維方法需要通過相似性把兩類不同的事物聯(lián)系起來，用一類對象的特征推測另一類對象也具備這種特征，從而達(dá)到發(fā)現(xiàn)或解決問題、創(chuàng)造發(fā)明的目的（2）布置作業(yè)： 必做作業(yè)：作業(yè)練習(xí)手冊第4748頁選做作業(yè)：（課堂例題的延伸）平面直角三角形的勾股定理兩邊同除以c2可得到，即,類比這個結(jié)論給出空間中四面體性質(zhì)的猜想并類比結(jié)論得出的過程，利用例題的結(jié)論證明你的猜想2.點評“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們?nèi)粘W(xué)習(xí)和生活中常用的思維方式類比推理是在歸納推理基礎(chǔ)上對合情推理學(xué)習(xí)的繼續(xù)，是合情推理常用的思維方法課標(biāo)教材中單獨提出合情推理這一內(nèi)容，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)問題中的思維方法，以集中、顯性的形式呈現(xiàn)出來是由于合情推理具有發(fā)現(xiàn)的作用，是一種創(chuàng)造性思維活動，所以它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個亮點本課通過對類比推理的教學(xué)完成高中階段對合情推理內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為之后學(xué)習(xí)演繹推理并體會合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異打下了基礎(chǔ)2.1恰到好處地創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣因為歸納推理和類比推理是兩種完全不同的推理形式，所以，在過去的教學(xué)中，很少有人在同一個問題情境中，建立起兩者之間的聯(lián)系.而高老師通過美國3d科幻大片阿凡達(dá)等涉及外星生命的科幻電影的熱映，及時歸納出與外星人有關(guān)的電影票房收入都很高的結(jié)論，這不僅重溫了歸納推理的概念、特點，又自然引出“是否存在外星人”的討論，通過討論，使學(xué)生初步感受到類比的思維，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望.2.2在引導(dǎo)學(xué)生探索中建構(gòu)知識課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念是強調(diào)為學(xué)生提供更開闊的思維空間和發(fā)展空間，這就要求我們在教學(xué)生時給予學(xué)生適度的思考時間和表現(xiàn)自己思維過程和思維內(nèi)容的機會本節(jié)課的內(nèi)容看似簡單，操作起來卻困難很大.學(xué)生要了解類比推理的含義、特點，還要求學(xué)生能利用類比進(jìn)行簡單的推理，做出猜想（這正是本節(jié)課的教學(xué)難點）在教學(xué)中要讓學(xué)生逐步滲透類比的思想方法，體會類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識.高老師通過以下幾個關(guān)鍵點引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了探索：（1）對外星生命的猜想、奧恩布魯格的叩診法及不等式性質(zhì)的探究三個例子所反映出的思維過程的分析，引導(dǎo)同學(xué)提煉、概括類比推理的含義、特點，使學(xué)生對類比推理形成一定的理性認(rèn)識，并為學(xué)生規(guī)范的應(yīng)用類比解決問題做出示范（2）精心設(shè)計.通過四個練習(xí)，分別從結(jié)構(gòu)、概念、表述方式和維度升高的角度進(jìn)行類比，使學(xué)生對類比推理有較為完善的認(rèn)識，并實現(xiàn)了初步應(yīng)用，既突出了本節(jié)課的重點，也為突破難點打下堅實的基礎(chǔ).特別是問題4，讓學(xué)生充分進(jìn)行思考，探究，極好地訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維.（3）應(yīng)用類比推理的難點就是找到恰當(dāng)?shù)念惐葘ο?，得到相?yīng)的類比猜想.請學(xué)生從相似性出發(fā)，尋找平面圖形（圓、正方形、長方形、平行四邊形）在立體幾何中的類比對象，引導(dǎo)學(xué)生分析兩類對象的類似特征，培養(yǎng)其理性思維習(xí)慣，使學(xué)生明確確定類比對象的基本原則，進(jìn)而應(yīng)用類比推理解決實際問題.（4）精心布置課后作業(yè).根據(jù)學(xué)生的不同程度，分層布置作業(yè)，照顧到了各類學(xué)生，使學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上各有發(fā)展.2.3用教材教，而不是教教材教材中有例題：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想高老師根據(jù)她的學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的實際情況，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?，從三個層次進(jìn)行了探究：（1）類比圖形構(gòu)成，尋找合適的類比對象；（2）類比勾股定理代數(shù)結(jié)構(gòu)，得到四面體性質(zhì)的猜想；（3）類比勾股定理證明方法之一，探求以上猜想的證明途徑這樣設(shè)計，使學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)探究活動從具體問題出發(fā)，觀察分析、提出猜想、證明猜想的完整過程，這也是用類比思想進(jìn)行研究問題的基本流程它不僅大大提高了學(xué)生的思維量