高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1_4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用課件蘇教版選修2_2

1.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用. 2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.,題型探究,知識梳理,內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,知識梳理,知識點(diǎn) 生活中的優(yōu)化問題,1.生活中經(jīng)常遇到求用料最省、利潤最大、效率最高等問題，這些問題通常稱為 . 2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是 . 3.解決優(yōu)化問題的基本思路：,上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的 過程.,優(yōu)化問題,求函數(shù)最值,數(shù)學(xué)建模,題型探究,例1 如圖所示，在二次函數(shù)f(x)4xx2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值.,解答,類型一 平面幾何中的最值問題,解 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)，且0x2， f(x)4xx2圖象的對稱軸為x2， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面積為y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1 如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k，k0).要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為_.,答案,解析,解析 設(shè)斷面高為h，則h2d2x2. 設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)， 則f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd. 令f(x)k(d23x2)0，,例2 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為 立方米.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元.設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元.,類型二 立體幾何中的最值問題,解答,(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；,兩端兩個半球的表面積之和為4r2.,(2)確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，并求出最小建造費(fèi)用.,令y0，得0r2.,解答,引申探究 在本例中，若r(0,1，求最小建造費(fèi)用.,解 由例2(2)可知，,解答,當(dāng)r1時(shí)，ymin136. 最小建造費(fèi)用為136 千元.,(1)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題. (2)解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡化求值過程.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練2 周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_ cm3.,答案,解析,解析 設(shè)矩形的長為x cm， 則寬為(10x) cm (0x10). 由題意可知圓柱體積為 Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2，,命題角度1 利潤最大問題 例3 已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷 售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x),類型三 實(shí)際生活中的最值問題,(1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；,解答,解 當(dāng)0x10時(shí)，,(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.,解答,所以當(dāng)0x9時(shí)，W單調(diào)遞增， 當(dāng)9x10時(shí)，W單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x9時(shí)，Wmax38.6.,所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.,解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系 (1)利潤收入成本. (2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng) 10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克. (1)求a的值；,解答,所以a2.,(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 從而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 列表如下.,由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 所以當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值為42. 答 當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,命題角度2 費(fèi)用(用材)最省問題 例4 已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(8vv0).若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v12 km/h時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度為多少？,解答,解 設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1，比例系數(shù)為k(k0)， 則y1kv2，當(dāng)v12時(shí)，y1720， 720k122，得k5. 設(shè)全程燃料費(fèi)為y，由題意得,令y0，得v0(舍去)或v16， 當(dāng)v016，即v16 km/h時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，ymin32 000(元)；,當(dāng)v016，即v(8，v0時(shí)，y0， 即y在(8，v0上為減函數(shù)，,綜上，當(dāng)v016時(shí)，即v16 km/h時(shí)全程燃料費(fèi)最省， 為32 000元；,(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答. (2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f(x)0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練4 為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) (0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；,解答,解 設(shè)隔熱層厚度為x cm，,而建造費(fèi)用為C1(x)6x. 因此得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為,(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.,解答,當(dāng)00，,答 當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元.,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時(shí)，它的高為_.,答案,2,3,4,5,1,解析 設(shè)底面邊長為x，高為h，,解析,4,令S(x)0，解得x8，判斷知當(dāng)x8時(shí)，S(x)取得最小值.,2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y117x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)_千臺.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,解析 構(gòu)造利潤函數(shù)yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得x6(x0舍去)，x6是函數(shù)y在(0，)上惟一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).,3.將一段長100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時(shí)，圓的周長為_ cm.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 設(shè)彎成圓形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100x. 設(shè)正方形與圓形的面積之和為S，,2,3,4,5,1,4.要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_元.,2,3,4,5,1,答案,解析,160,當(dāng)x2時(shí)，ymin160.,5.某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣出24件. (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；,2,3,4,5,1,解答,解 設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2. 若記商品一個星期的獲利為f(x)，則有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知條件，得24k22，于是k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,(2)如何定價(jià)才能使一個星期的商品銷售利潤最大？,2,3,4,5,1,解答,解 根據(jù)(1)得，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 列表如下.,故當(dāng)x12時(shí)，f(x)取得極大值. 因?yàn)閒(0)9 072，f(12)11 664. 所以定價(jià)為301218(元)，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.,規(guī)律與方法,1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中實(shí)際問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)