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文檔簡介
第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù),知 識 梳 理,1.對數(shù)的概念 一般地,如果a(a0,a1)的b次冪等于N,即abN,那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù),記作_.其中a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù). 2.對數(shù)的性質、換底公式與運算性質 (1)對數(shù)的性質:alogaN_;logaabb(a0,且a1) (2)對數(shù)的運算法則 如果a0且a1,M0,N0,那么,N,logaNb,loga(MN)_; loga _; logaMn_(nR); loga mMn logaM(m,nR,且m0). (3)對數(shù)的重要公式 換底公式:_(a,b均大于零且不等于1); logab ,推廣logablogbclogcd_.,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaMa,logad,3.對數(shù)函數(shù)及其性質 (1)概念:函數(shù)ylogax(a0,且a1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,). (2)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質,(0,),R,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函數(shù),減函數(shù),4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)yax(a0,且a1)與對數(shù)函數(shù)_(a0,且a1)互為反函數(shù),它們的圖像關于直線_對稱.,ylogax,yx,診 斷 自 測,解析 (1)log2x22log2|x|,故(1)錯. (2)形如ylogax(a0,且a1)為對數(shù)函數(shù),故(2)錯. (4)當x1時,logaxlogbx,但a與b的大小不確定,故(4)錯. 答案 (1) (2) (3) (4),2.已知函數(shù)yloga(xc)(a,c為常數(shù),其中a0,且a1)的圖像如圖,則下列結論成立的是( ),A.a1,c1 B.a1,01 D.00,即logac0,所以0c1. 答案 D,答案 D,4.(2015浙江卷)若alog43,則2a2a_.,答案 (1)A (2)20,規(guī)律方法 (1)在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后正用對數(shù)運算法則化簡合并. (2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算法則,轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. (3)abNblogaN(a0,且a1)是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應注意互化.,答案 (1)A (2)1,考點二 對數(shù)函數(shù)的圖像及應用 【例2】 (1)(2017鄭州一模)若函數(shù)ya|x|(a0,且a1)的值域為y|y1,則函數(shù)yloga|x|的圖像大致是( ),解析 (1)由于ya|x|的值域為y|y1,a1,則ylogax在(0,)上是增函數(shù),又函數(shù)yloga|x|的圖像關于y軸對稱. 因此yloga|x|的圖像應大致為選項B.,(2)如圖,在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖像,其中a表示直線在y軸上截距. 由圖可知,當a1時,直線yxa與ylog2x只有一個交點.,答案 (1)B (2)a1,規(guī)律方法 (1)在識別函數(shù)圖像時,要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項. (2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖像問題,利用數(shù)形結合法求解.,【訓練2】 (1)函數(shù)y2log4(1x)的圖像大致是( ),解析 (1)函數(shù)y2log4(1x)的定義域為(,1),排除A、B; 又函數(shù)y2log4(1x)在定義域內單調遞減,排除D.,答案 (1)C (2)B,考點三 對數(shù)函數(shù)的性質及應用(多維探究) 命題角度一 比較對數(shù)值的大小 【例31】 (2016全國卷)若ab0,0cb,答案 B,答案 C,命題角度三 對數(shù)型函數(shù)的性質 【例33】 已知函數(shù)f(x)loga(3ax). (1)當x0,2時,函數(shù)f(x)恒有意義,求實數(shù)a的取值范圍; (2)是否存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由.,解 (1)a0且a1,設t(x)3ax, 則t(x)3ax為減函數(shù), x0,2時,t(x)的最小值為32a, 當x0,2時,f(x)恒有意義,,規(guī)律方法 (1)確定函數(shù)的定義域,研究或利用函數(shù)的性質,都要在其定義域上進行. (2)如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價性,否則結論錯誤. (3)在解決與對數(shù)函數(shù)相關的比較大小或解不等式問題時,要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調性來求解.在利用單調性時,一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響,及真數(shù)必須為正的限制條件.,【訓練3】 (1)設alog32,blog52,clog23,則( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知函數(shù)f(x)loga(8ax)(a0,且a1),若f(x)1在區(qū)間1,2上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_.,思想方法 1.對數(shù)值取正、負值的規(guī)律 當a1且b1或00; 當a1且01時,logab0. 2.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題,其基本方法是“同底法”,即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式,然后根據(jù)單調性來解決.,3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法:(1)數(shù)形結合;(2)找中間量結合函數(shù)單調性. 4.多個對數(shù)函數(shù)圖像比較底數(shù)大小的問題,可通過比較圖像與直線y1交點的橫坐標進行判定.,易錯防范 1.在對數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應為(0,).對數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)a與1的大小關系,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時,要分01兩
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