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相似三角形的比例關系及相似三角形證明的變式【知識疏理】一， 相似三角形邊長比，和周長比以及面積比的關系！若兩個相似三角形的對應角的平分線之比是12，則這兩個三角形的對應高線之比是-，對應中線之比是-，周長之比是-，面積之比是-，若兩個相似三角形的面積之比是12，則這兩個三角形的對應的角平分線之比是-，對應邊上的高線之比是- 對應邊上的中線之比是-，周長之比是-。圖1二， 相似三角形證明的變式1，相似三角形當中常以乘積的形式出現(xiàn)，如：例1、 已知：如圖1，BE、DC交于點A，E=C。求證：DAAC=BAAE 圖2題目比較簡單，學生獨立完成，啟發(fā)學生總結：本題找對應角的特殊方法是對頂角相等；要想證明乘積式或比例式，應先證明三角形相似。2，對特殊圖形的認識例2、已知：如圖3，RtABC中，ABC=90，BDAC于點D。圖3（1） 圖中有幾個直角三角形？它們相似嗎？為什么？（2） 用語言敘述第（1）題的結論。（3） 寫出相似三角形對應邊成比例的表達式?？偨Y：（1） 有一對銳角相等的兩個直角三角形相似；（2） 本題找對應角的方法是公共角及同角的余角相等；雙垂直圖形中的BD=ADCD，AB=ADAC，BC=CDCA，BCAB=ACBD等結論很重要，它們在計算、證明中應用很普遍，但需先證明兩個三角形相似得到結論，再加以應用。在此基礎上，將雙垂直圖形轉化 為“公邊共角”，討論、探究， 得到結論：由公邊共角的兩個相似三角形中，公邊是兩個三角形中落在一條直線上的兩邊的比例中項，即若ABDACB，則AB=ADAC?！菊n堂檢測】一選擇題1、一個三角形的三邊長為5，5，6，與它相似的三角形最長邊為10，則后一個三角形的面積為（ ）A、 B、20 C、 D、2、如圖，梯形ABCD中，ABCD，如果SODC：SBDC=1：3，那么SODC：SABC的值是（ ）A、 B、 C、 D、 D C O A B （第2題圖） （第4題圖）3、已知一個梯形被一條對角線分成兩個相似三角形，如果兩腰的比是1：4，則兩底的比是（ ）A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：164、已知，梯形ABCD中，ADBC，ABC=900，對角線ACBD，垂足為P，已知AD：BC=3：4，則BD：AC的值是（）、：、： 、： 、：5、如圖，已知：BAO=CAE=DCB，則下列關系式中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、 A C E B O D C E A D B （第5題圖） （第6題圖）6、如圖，直角三角形ABC中，ACB=900，CDAB于D，DEAC于E，則下列說法中正確的有（ ） 圖中有4個三角形與ACB相似； A=BCD=CDE； ； 若AC=4，BC=3，則CD= ； 。A、6個 B、5個 C、4個 D、3個7兩個三角形周長之比為95，則面積比為（ ）A、95 B、8125 C、3 D、不能確定8RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，那么和ABC相似但不全等的三角形共有（ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個9在RtABC中，C=90，CDAB于D，下列等式中錯誤的是（ ）A、AD BD=CD2 B、ACBD=CBAD C、AC2=ADAB D、AB2=AC2+BC210在平行四邊形ABCD中，E為AB中點，EF交AC于G，交AD于F，=則的比值是（ ）A、2 B、3 C、4 D、511在RtABC中，AD是斜邊上的高，BC=3AC則ABD與ACD的面積的比值是（） A、2 B、3 C、4 D、812在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，則BDAD等于（）A、ab B、a2b2 C、 D、不能確定二，填空題1、如圖,在ABC中,DEBC, AD：AC=2：1，則ADE ，C= ABC的面積：ADE的面積= . C A A E D 1 E D G E A D B B C B F C(第1題圖) (第2題圖) (第3題圖)2、已知:如圖,直線DE交ABC的兩邊AB、AC于點D、E,且1=B則.3、如圖,DEBC,則 ,若AD=3,BD=2,AFBC,交DE于 G,則AG:AF= ： , AGEAFC,且它們的相似比為 .4、如圖,平行四邊形ABCD中,P是CD上的一點,CP:DP=3:4,則三角形APB的面積:平行四邊形ABCD的面積= ,SBCP：SAPD：SAPB= ： ： 5、已知：如圖,梯形ABCD的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高為12cm,點M為腰AD、BC的交點,則點M到上底CD的距離為 cm,點M到下底AB的距離為 cm. D C A B (第6題圖) D P C M D C A B A B（第4題圖） （第5題圖） 6、如圖，在直角梯形ABCD中，BCAB，BDAD，CDAB，且BD=3，CD=2，則下底AB的長是 .7、如圖，在ABC中，DEBC,且ADE的周長與ABC的周長之比為是3:7，若DE=15cm,則BC= cm, AD:BD= . AA D E（ D B C C B (第7題圖) (第8題圖)8、如圖，在ABC中，AB=12，AC=15，D為AB上一點，且AD=，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形和ABC相似，則AE等于 .9、若ABCA1B1C1，AB=3，A1B1=4.5，且S+S=78，則S= .10、如圖，CD是直角三角形ABC斜邊上的高，（1）若AD=9cm,則BD= ；（2）已知AB=25cm，BC=15cm，則BD= . C A D B【強化練習】1、已知：如圖，ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC，AC且BD=CE,AD、BE相交于點M (1)AMEBAE; (2)BD2=ADDM. A E M B D C2、已知：如圖，AD是ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點F,求證： A E F B D C3、已知：如圖，四邊形ABCD中，A=BCD=900,過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點E