[工程科技]線性系統(tǒng)的時域分析法.ppt

課件,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,三性分析：穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)特性 動態(tài)特性 控制系統(tǒng)的輸出： c(t)=ct(t)+ cs(t) ct(t) 動態(tài)分量（又叫暫態(tài)分量） cs(t) 穩(wěn)態(tài)分量 動態(tài)響應(yīng)（又叫瞬態(tài)響應(yīng)）是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到 接近穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)。輸入只影響穩(wěn)態(tài)分量。 系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度取決于數(shù)學(xué)模型描述的真實程度。 動態(tài)響應(yīng)對穩(wěn)定系統(tǒng)才有意義。,3.1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo),控制系統(tǒng)性能評價分為動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 3.1.1 典型輸入信號 控制系統(tǒng)是針對某一類輸入信號來設(shè)計的。根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學(xué)上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)。 單位階躍函數(shù)，單位斜坡函數(shù)，單位加速度函數(shù)，單位脈沖函數(shù)，正弦函數(shù)。 不同輸入信號對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但對于線性控制系統(tǒng)，他們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。,一階躍函數(shù),二斜坡函數(shù)（勻速函數(shù)）,三拋物線函數(shù)（勻加速函數(shù)）,R=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為l(t) 。R(S)=1/S。,R=1時，稱為單位斜坡函數(shù)。,R=1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)。,四脈沖函數(shù),五正弦函數(shù),當(dāng) 時，則稱為單位脈沖函數(shù)。,3.1.2 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程,動態(tài)過程（過渡過程，瞬態(tài)過程 ）：系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的過程。,2 穩(wěn)態(tài)過程（穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ）：系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。,3.1.3 動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能,動態(tài)性能：通常在階躍函數(shù)作用下，測定計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。,描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況指標(biāo)，稱為動態(tài)性能指標(biāo)。,二. 階躍響應(yīng)的時域性能指標(biāo),c(t) = ct(t) + css(t) = 暫態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng),1. 暫態(tài)性能指標(biāo),圖30,(1) 延遲時間td：c(t)從0到0.5c()的時間。,(2)上升時間tr：c(t)第一次達(dá)到c()的時間。 無超調(diào)時, c(t)從0.1 c()到0.9 c()的時間。,(3) 峰值時間tp： c(t)到達(dá)第一個峰值的時間。,(4)調(diào)節(jié)時間ts： c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過2%或5%所需的時間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號表示，即 =2%或 =5% 。,(5)最大超調(diào)量s%：c(t)偏離階躍曲線的最大值，常用百分?jǐn)?shù)表示。,圖30,(6)震蕩次數(shù)N：在ts內(nèi),c(t)偏離c()的次數(shù)，一個峰谷算一個周期，即算震蕩一次。,2. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差ess：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。即,系統(tǒng)響應(yīng)典型輸入信號，若時間趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量與輸入量間有差值，稱系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的一種度量。,3.1.4理想系統(tǒng)的階躍響應(yīng),B,動態(tài)性能指標(biāo)定義1,上升時間tr,調(diào)節(jié)時間 ts,動態(tài)性能指標(biāo)定義2,0.95,3T,動態(tài)性能指標(biāo)定義3,3.1.5 線性系統(tǒng)解的形式,一 線性系統(tǒng)時域方程一般形式,二 解的形式通解和特解,為常系數(shù),1 通解齊次方程為：,解的形式為 的函數(shù)組合而成,（1）單根 （2）重根 2 特解 特解的形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)系 3 總解 通解特解,3-2 一階系統(tǒng)的時域分析,一階系統(tǒng)：以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。,一單位階躍響應(yīng),標(biāo)準(zhǔn)形式 傳遞函數(shù),解的一般形式,t0,穩(wěn)態(tài)解,暫態(tài)解,一階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),一階系統(tǒng)響應(yīng)的特點： （1） t=T時，輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 0.632 t= 0 時， 輸出為0 t=時，輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1 t=T 時，輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的.632 t=3T時，輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.95 t=4T時，輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.98 （2）t0時，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T, 切線與穩(wěn)態(tài)值的交 點處的t=T。t增加,c(t)斜率下降。,一階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),（3）過渡過程時間 ts=3T（95）， ts=4T（98） （4）延遲時間 td0.69T （5）上升時間 tr0.22T tr=2.3T-0.1T=2.2T （6）特征根S=1/T，T越小，動特性越好，穩(wěn)態(tài)特性也越好。,一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 這是指數(shù)曲線， 處斜率最大，其值為1/T，若保持此變化速度，在 t=T 時，輸出將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。而實際系統(tǒng)只能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.632, 經(jīng)過3T或4T的時間系統(tǒng)輸出響應(yīng)分加別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.95或0.98。,當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。,二單位脈沖響應(yīng),三單位斜坡響應(yīng),跟蹤誤差為T。,四單位拋物線響應(yīng),五結(jié)果分析,輸入信號的關(guān)系為：,而時間響應(yīng)間的關(guān)系為：,一階系統(tǒng)時域分析,單 位 脈 沖 響 應(yīng),單位階躍響應(yīng),h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(2T)=0.865h(),h(3T)=0.95h(),h(4T)=0.982h(),單位斜坡響應(yīng),c(t)=t-T+Te-t/T,T,r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t,3 二階系統(tǒng)的時域分析,二階系統(tǒng)的定義：用二階微分方程描述的系統(tǒng)。,微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,阻尼比，,無阻尼自振頻率。,傳遞函數(shù)及方框圖,等效的開環(huán)傳函及方框圖,一單位階躍響應(yīng),1.閉環(huán)極點的分布,二階系統(tǒng)的特征方程為,兩根為,位于平面的左半部,的取值不同,特征根不同。,（1） （欠阻尼）有一對共軛復(fù)根,（5） 負(fù)阻尼 ， 位于右半平面,（2） （臨界阻尼）， ，兩相等實根,（3） （過阻尼）， ，兩不等實根,（4） （無阻尼）， ，一對純虛根,欠阻尼二階系統(tǒng)根在復(fù)平面的位置,- zwn,wd,wn,b,b = cos -1 z,2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),圖3-16,z 為不同值時,單位階躍響應(yīng)曲線見,一般 在0.40.8間響應(yīng)曲線較好,z1,z1,0z1,z0,不同z時,特征根的分布,結(jié)論：,正阻尼（穩(wěn)定狀態(tài)）,過阻尼（非振蕩系統(tǒng)）,臨界阻尼,欠阻尼（振蕩系統(tǒng)）,1,無阻尼（臨界穩(wěn)定）,負(fù)阻尼（不穩(wěn)定狀態(tài)）,2 二階系統(tǒng)的解，隨著 的不同，在S平面上有不同解。,3,正阻尼，穩(wěn)定，根在左半平面,無阻尼，臨界穩(wěn)定，根在虛軸上,負(fù)阻尼，不穩(wěn)定，根在右半平面,過阻尼,臨界阻尼,欠阻尼,零阻尼,運動模態(tài)總結(jié),3,解與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)系,4,當(dāng)解s位于左半平面，穩(wěn)定系統(tǒng),當(dāng)解s位于右半平面，不穩(wěn)定系統(tǒng),當(dāng)解s是純虛數(shù)解，臨界穩(wěn)定,總結(jié)：,二. 二階欠阻尼系統(tǒng)的性能指標(biāo),1. 定義,超調(diào)量 :,上升時間 :,峰值時間 ：單位階躍響應(yīng)達(dá)到第一個峰值所需時間。,振蕩次數(shù) ：在調(diào)整時間內(nèi)響應(yīng)過程穿越其穩(wěn)態(tài)值 次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。,調(diào)整時間：單位階躍響應(yīng)進(jìn)入到使下式成立所需時間。,，一般取,單位階躍響應(yīng)第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值所需時間。,2. 性能指標(biāo)的計算,(1)上升時間,（2）峰值時間,（3）超調(diào)量,（4）調(diào)節(jié)時間,一般取,（5） 延遲時間,延遲時間和調(diào)節(jié)時間很難定量描述，采用工程上的近似計算,（6） 振蕩次數(shù)N,三計算舉例,【例】設(shè)控制系統(tǒng)方框圖如圖3-18所示。當(dāng)有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts、N和%,解: 閉環(huán)傳遞函數(shù)為,振蕩次數(shù) ：,性能指標(biāo),四二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),（1）無阻尼 脈沖響應(yīng),（2）欠阻尼 脈沖響應(yīng),（3）臨界阻尼 脈沖響應(yīng),（4）過阻尼 脈沖響應(yīng),脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系,五具有閉環(huán)零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式,當(dāng) 時，對欠阻尼情況,對應(yīng)的性能指標(biāo)為,附加極點對系統(tǒng)的影響,零點對過阻尼二階系統(tǒng)的影響,%=33%,說明： 1.閉環(huán)負(fù)實零點的主要作用在于加速二階系統(tǒng)的響應(yīng)過程(起始段)； 2.削弱系統(tǒng)阻尼，超調(diào)量大； 3.合理的取值范圍為 。,零狀態(tài)響應(yīng),六 初始條件不為零的二階系統(tǒng)的響應(yīng)過程,當(dāng)初始條件不為零時，求拉氏變換得,可見， 具有相同的衰減振蕩特性,一 概念： 通常把三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng) 。一般近似為一個二階系統(tǒng)來處理。 設(shè) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 階躍響應(yīng),4 高階系統(tǒng)的時域分析,高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 1. 響應(yīng)曲線的類型（振蕩情況）由閉環(huán)極點的性質(zhì)所決定。 2. 動態(tài)響應(yīng)曲線的形狀由閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點共同決定。 3.閉環(huán)極點離虛軸愈近，其對系統(tǒng)的影響愈大。 主導(dǎo)極點：這種離虛軸最近的閉環(huán)極點將對系統(tǒng)的動態(tài)響 應(yīng)起主導(dǎo)作用，并稱其為閉環(huán)。 偶 極 子： 同一位置或相距很近的閉環(huán)零、極點 ，對系統(tǒng) 的影響很小。,二閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念,高階系統(tǒng)的時域分析,在高階系統(tǒng)的諸多閉環(huán)極點中，把無閉環(huán)零點靠近，且其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都在該復(fù)數(shù)極點與虛軸距離的五倍以上，則稱其為閉環(huán)主導(dǎo)極點。,三高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析,由此可見高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)。 暫態(tài)響應(yīng)分量的合成則有如下結(jié)論：,（1）各分量衰減的快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 及 決定。系統(tǒng)的極點在S平面左半部距虛軸愈遠(yuǎn)，相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減愈快。,（2）系數(shù) 和 不僅與S平面中的極點位置有關(guān)，并且與零點有關(guān)。 a.零極點相互靠近，且離虛軸較遠(yuǎn)， 越小，對 影響越??； b.零極點很靠近，對 幾乎沒影響； c.零極點重合（偶極子）， 對 無任何影響； d.極點 附近無零極點，且靠近虛軸，則對 影響大。,（3）若 時，則高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng)分析。,偶極子,例：三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)閉環(huán)極點： P1 、P2 的實部和實極點P3 的實部之比： 所以P1 、P2為一對主導(dǎo)極點。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)： 如果忽略P3 對應(yīng)的動態(tài)分量，兩該系統(tǒng)的解相近：,5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù),一穩(wěn)定的概念與定義,定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間推移而發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。,二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（分析方法1）,穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 閉環(huán)特征根均為負(fù)實部,即Resi0 (i=1,2 n) 其特征根全部位于S平面的左半部。,ReSi 表示極點的實部,2穩(wěn)定的充要條件 （分析方法1） 穩(wěn)定性定義表明，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無關(guān)。 設(shè)初始條件為零時，輸入 即R（S）=1。 當(dāng)作用時間t0時， =0，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。 此時，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 即輸出增量收斂于原平衡工作點，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 設(shè) 為系統(tǒng)特征方程 的根，且互不相等。 系統(tǒng)輸出： 對上式拉氏反變換，得到理想脈沖函數(shù)作用下的輸出： 上式表明，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的 所有根均具有負(fù)實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均分布在 平面的左半部。,三穩(wěn)定判據(jù) 1. Routh穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程為：,必要條件 （1）特征方程的各項系數(shù)ai(i=1,2,n)都不為零； （2）特征方程的各項系數(shù)ai(i=1,2,n)具有相同 的符號。,充分條件：勞斯表中第一列所有元素的計算值均大于零 即勞斯陣列第一列所有元素為正。,勞斯陣列,若系統(tǒng)的特征方程為：,則勞斯表中各項系數(shù)如下圖：,勞 斯 表,勞斯判據(jù),閉環(huán)特征根均為負(fù)實部,即Resi0 (i=1,2 n),(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列元素均為正。 (2)若第一列元素有符號變化，則符號改變的次數(shù)等于正實部根的個數(shù)。,勞斯判據(jù)：,勞斯表的組成： 最左邊的一列：按S的n次的從高到低從上向下依次排列。 最上邊的兩行：由S的系數(shù)的奇/偶位置排列組成。 左上角= S的最高蓂n的系數(shù)。,關(guān)于勞斯判據(jù)的幾點說明,如果第一列中出現(xiàn)一個小于零的值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定； 如果第一列中有等于零的值，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)； 第一列中數(shù)據(jù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目，即系統(tǒng)中不穩(wěn)定根的個數(shù)。,解：,例：將特征方程系數(shù)列成勞斯表，判別正實根的個數(shù)。,結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)特征方程有兩個正實部的根。,2.Routh判據(jù)的特殊情況,a. 某行第一個元素為零，其余均不為零。,方法一:,處理方法：用(0且0)代替0繼續(xù)計算。,【例3-7】已知 D(s)= s4 + 2s3 + s2 + 2s+1=0, 用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,結(jié)論：有兩個正實部根, 系統(tǒng)不穩(wěn)定。,1 1 1,2 2 0,2-2/e 0 0,1 0 0,勞 斯 表,1,0,0,第一列元素變號兩次,2-2/e 0,例,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,試用勞斯判據(jù)確定正實部根的個數(shù)。,方法2：,解：,將特征方程系數(shù)列成勞斯表,由表可見，第二行中的第一列項為零，所以第三行的第一列項出現(xiàn)無窮大。為避免這種情況，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可為任意正數(shù)，這里取a=1。,于是得到新的特征方程為：,將特征方程系數(shù)列成勞斯表：,結(jié)論：第一列有兩次符號變化，故方程有兩個正實部根。,b. 勞斯表某行全為零,說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。,處理方法: 用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程； 將輔助方程對s求導(dǎo)數(shù)，得一新方程； 用新方程的系數(shù)代替全零行，按新表判穩(wěn)定。,結(jié)論: 不穩(wěn)定; 有與原點對稱的根； 若第一列元素均為正,一定有虛根; 若第一列元素有負(fù)數(shù)，則符號改變次數(shù)等于實 根個數(shù)。,(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行,3.Routh判據(jù)的應(yīng)用,4. Hurwitz判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是由特征方程的系數(shù)ai(i=1,2,n) 構(gòu)成的主行列式及其主對角線上的各階主子式均為正，即,赫爾維茨判據(jù),Hurwitz判據(jù): 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 各階主子行列式均為正。,3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及計算,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度的一種度量，統(tǒng)稱為穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差使不可避免的 影響穩(wěn)態(tài)誤差的主要因素：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入作用函數(shù)的形式，系統(tǒng)的類型三個因素。 只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。 無差系統(tǒng)和有差系統(tǒng)（階躍函數(shù)作用下定義）,1.誤差的定義,一誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,本節(jié)討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，輸入形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差及計算。其中包括系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的主要任務(wù)之一就是盡力減少控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,系統(tǒng)的誤差e(t)常定義為：e(t)=期望值實際值,誤差: (1) e(t)=r(t)-c(t) (2) e(t)=r(t)-b(t),輸出量為：,根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)輸入信號R(s)與主反饋信號B(s)不等時，比較裝置輸出,通常：E(s)為誤差信號，簡稱誤差，是時間的函數(shù)。,2 誤差的計算 1）系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)證明：,因為： E(S)=R(S) - E(S) G1(S) G2(S) H(S) 得： R(S)=E(S) 1+ G1(S) G2(S) H(S) 故： e(S)=E(S)/R(S),系統(tǒng)誤差為：,說明：,1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它是輸出的希望值與實際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義。,2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它是系統(tǒng)輸入信號與主反饋信號之差，這種方法定義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有一定的物理意義。,3）對單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的。,穩(wěn)態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量，記作ess(t)。,動態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號e(t)的暫態(tài)分量，記作ets(t)。,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號 的穩(wěn)態(tài)分量,簡記為,穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)時間t趨于無窮時，e(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為,2) 利用終值定理計算,應(yīng)用終值定理的條件是sE(s)在s右半平面及虛 軸上解析，或者說sE(s)的極點位于左半平面（包括坐標(biāo)原點）。,即：,（系統(tǒng)按穩(wěn)態(tài)誤差劃分的型）,設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為,二系統(tǒng)型別,誤差分析,1 誤差定義,輸入端定義：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),輸出端定義：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C實= Cn(s),2 例題,求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 。,其中 r(t)=t, n(t)= -1(t),解：,令n(t)=0,因為系統(tǒng)穩(wěn)定，所以,令r(t)=0,En(s)= -Cn(s),總誤差ess=essr+ essn,G0H0,此時的k為開環(huán)增益 tj和ti是時間常數(shù),s表示開環(huán)有個極點在坐標(biāo)原點的極點的重數(shù)，分類方法：以的個數(shù)來劃分,=0,稱為0型系統(tǒng),稱為型系統(tǒng),稱為型系統(tǒng),稱為型系統(tǒng),=1,=2,=3,優(yōu)點：1可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判 斷是否存在穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。,2系統(tǒng)階數(shù)m,n的大小與系統(tǒng)型別無關(guān)，且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算式可以化為,影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有系統(tǒng)型別，開環(huán)增益，輸入信號的形式和幅值,三種典型輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù)：,R(s)=R/s,1.r(t)=R1(t),2.r(t)=Rt,R(s)=R/s2,3.r(t)=Rt2/2,R(s)=R/s3,三 階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù),結(jié)論: 0型系統(tǒng)在階躍輸入作用下有誤差,常稱有差系統(tǒng)。,四 速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù),易知,結(jié)論:0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入；1型可跟蹤，但有與K有關(guān)的誤差 ；2型及以上在斜坡輸入下的 ess=0 。,五 加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù),易知,從靜態(tài)誤差系數(shù)的定義可以知道：一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)只能有一個不等于零的靜態(tài)誤差系數(shù)，其余的靜態(tài)誤差系數(shù)不是等于零就是等于無窮大。,結(jié)論: 0型和1型系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入, 2型可跟蹤但有誤差, 3型及以上系統(tǒng)才能準(zhǔn)確跟蹤。,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Rt,r(t)=Rt2/2,型,0型,型,R1(t),Rt,0,0,0,Rt2/2,R1(t),Rt,Rt2/2,k,k,k,0,0,0,小結(jié)：,1,2,3,Kp=?,Kv=?,Ka=?,非單位反饋怎么辦？,靜態(tài)誤差系數(shù),穩(wěn)態(tài)誤差,討論：1 靜態(tài)誤差系數(shù)kp,kv和ka,定量描述了系統(tǒng)跟蹤不同輸入形式信號的能力。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號的形式，輸出量的期望值及允許的穩(wěn)態(tài)誤差確定以后，可以根據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)去選擇系統(tǒng)的類型和開環(huán)增益。 2 系統(tǒng)的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，則根據(jù)疊加定理，將每一輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，在將各穩(wěn)態(tài)誤差分量疊加求得。 3 靜態(tài)誤差系數(shù)法分析適用于1(t),t和t2/2以及它們的組合。,動態(tài)誤差系數(shù)（廣義誤差系數(shù)）,可以研究輸入信號幾乎為任意時間函數(shù)時的系統(tǒng)穩(wěn)定誤差變化。,將誤差傳遞函數(shù),在,的鄰域內(nèi)的泰勒級數(shù)為 :,誤差信號可表示為：,即：,動態(tài)誤差系數(shù)的計算,誤差傳遞函數(shù)為,這是一個無窮級數(shù)，它的收斂域是 s = 0 鄰域，這相當(dāng)于在時間域內(nèi) 時成立的誤差級數(shù)。因此在所有初始條件為零的條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換，就得到穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá):,將 在 s = 0 的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)，有,1.一般方法,。P113 公式（3-85）,同理可得,則穩(wěn)態(tài)誤差可以寫成,這里ci， cfi稱為誤差系數(shù)。,i = 0，1，2，,式中： C i = 1/ i ! e( i ) (0) ( i =0,1,2,),C i 稱謂動態(tài)誤差系數(shù) C 0 稱謂動態(tài)位置誤差系數(shù) C 1 稱謂動態(tài)速度誤差系數(shù) C 2 稱謂動態(tài)加速度誤差系數(shù) “動態(tài)” 完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差隨時間t 變化的規(guī)，而不是誤差信號中的暫態(tài)隨時間 t 變化的規(guī)律。 誤差級數(shù)在 時，才能成立。因此，如果輸入信號r(t)包含有隨時間增長而趨于零的分量，這一分量不應(yīng)包含在級數(shù)中的輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)之內(nèi)。,動態(tài)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)和靜態(tài)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)系： 0 類型 C0 =1 / (1+Kp) 1 類型 C1 =1 / Kv 2 類型 C2 =1 / Ka 注意：誤差系統(tǒng)分析中，只有輸入信號是階躍函數(shù)，斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)，或者是三者的組合，靜態(tài)誤差才有意義。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為其他形式的函數(shù)時，靜態(tài)誤差系數(shù)法便無法使用。此外，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一般是時間的函數(shù)，即使靜態(tài)誤差系數(shù)法可用，也不能表示穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律。對有些有效工作時間不長的控制系統(tǒng)（如導(dǎo)彈控制系統(tǒng)，輸出量往往在沒有達(dá)到要求的穩(wěn)態(tài)值時，便結(jié)束工作。）無法使用靜態(tài)誤差系數(shù)分析法，需要引入動態(tài)誤差系數(shù)的概念。,2.系統(tǒng)階次較高時（這里介紹一種簡便算法）,（1）將已知的開環(huán)傳函按升冪排列成如下形式,（2）寫出多項式比值形式的誤差傳遞函數(shù),（3）對上式用長除法得到一個s的上冥級數(shù)：,（4）求E(s),次式和P113 公式（3-85）比較可知：他們是等價的無窮級數(shù)。,最后的表達(dá)式稱為穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)，表示在t 足夠大時，系統(tǒng)誤差與時間的關(guān)系。 稱為動態(tài)誤差系數(shù)。動態(tài)誤差系數(shù)采用長除法(或多項式除法)計算，參見例3-15。,輸入信號 ，計算該隨動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,作業(yè)： 已知隨動系統(tǒng)的方框圖為:,例 315 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 輸入函數(shù)r(t)=sin5t,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(t). 解：因輸入為正弦函數(shù)，無法使用靜態(tài)誤差系數(shù)法。 故：動態(tài)誤差系數(shù)為：C0=0, C1=10-2 C2=9X10-4 ,C3= -1.9X10-5 ,對