恰當(dāng)方程與積分因子.ppt

2.3 恰當(dāng)方程與積分因子,2.3.1 恰當(dāng)微分方程,如果我們恰好碰見了方程,就可以馬上寫出它的隱式解,定義1,則稱微分方程,是恰當(dāng)方程.,如,是恰當(dāng)方程.,1 恰當(dāng)方程的定義,需考慮的問題,(1) 方程(1)是否為恰當(dāng)方程?,(2) 若(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?,(3) 若(1)不是恰當(dāng)方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?,2 方程為恰當(dāng)方程的充要條件,定理1,為恰當(dāng)方程的充要條件是,證明,“必要性”,設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,故有,從而,故,“充分性”,即應(yīng)滿足,因此,事實(shí)上,故,(8),注:若(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為,二、恰當(dāng)方程的求解,1 不定積分法,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,即,積分后得:,故,從而方程的通解為,2 分組湊微法,采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把余的項(xiàng)湊成全微分.,-應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.,如,解:,故通解為:,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,把方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,或?qū)懗?故通解為:,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,把方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,或?qū)懗?故通解為:,故所求的初值問題的解為:,3 線積分法,定理1充分性的證明也可用如下方法:,由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:,從而(1)的通解為,例5 求解方程,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,故通解為:,2.3.2 積分因子,非恰當(dāng)方程如何求解?,對(duì)變量分離方程:,不是恰當(dāng)方程.,是恰當(dāng)方程.,對(duì)一階線性方程:,不是恰當(dāng)方程.,則,是恰當(dāng)方程.,可見,對(duì)一些非恰當(dāng)方程,乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.,1 定義,例5,解:,對(duì)方程有,由于,把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,也即,故所給方程的通解為:,2 積分因子的確定,即,盡管如此,方程,還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.,變成,即,此時(shí)求得積分因子,3 定理,微分方程,解:,由于,故它不是恰當(dāng)方程,又由于,利用恰當(dāng)方程求解法得通解為,積分因子是求解積分方程的一個(gè)極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)例子說(shuō)明一些簡(jiǎn)單積分因子的求法.,例7 求解方程,解:,方程改寫為:,或:,易看出,此方程有積分因子,即,故方程的通解為:,例8 求解方程,解:,故方程不是恰當(dāng)方程,方法1:,即,故方程的通解為:,方法2:,方程改寫為:,容易看出方程左側(cè)有積分因子:,故方程的通解為:,方法3:,方程改寫為:,這是齊次方程,即,故通解為:,變量還原得原方程的通解為:,方法4:,方程改寫為:,故