多因素試驗結果的統(tǒng)計分析.ppt

第十三章 多因素試驗結果的統(tǒng)計分析,第一節(jié) 多因素完全隨機和隨機區(qū)組 試驗的統(tǒng)計分析 第二節(jié) 裂區(qū)試驗的統(tǒng)計分析 第三節(jié) 一組相同試驗方案數(shù)據(jù)的聯(lián)合分析 第四節(jié) 多因素混雜和部分實施試驗的 設計和分析(正交試驗法) 第五節(jié) 響應面分析,第一節(jié) 多因素完全隨機和隨機區(qū)組 試驗的統(tǒng)計分析,一、二 因素試驗的統(tǒng)計分析 二、三因素試驗的統(tǒng)計分析,一、二因素試驗的統(tǒng)計分析,(一) 二因素隨機區(qū)組試驗結果的分析 設有A和B兩個試驗因素，各具a和b個水平，那么共有ab個處理組合，作隨機區(qū)組設計，有r次重復，則該試驗共得rab個觀察值。它與單因素隨機區(qū)組試驗比較，在變異來源上的區(qū)別僅在于前者的處理項可分解為A因素水平間(簡記為A)、B因素水平間(簡記為B)、和AB互作間(簡記為AB)三個部分。,(131) (132),其中，j=1，2，r；k=1，2，a；l=1，2，b； 、 、 、 和 分別為第r個區(qū)組平均數(shù)、 A因素第k個水平平均數(shù)、B因素第l個水平平均數(shù)、處理組合AkBl平均數(shù)和總平均數(shù)。 表13.1 二因素隨機區(qū)組試驗自由度的分解,SSR=,SSt=,SST=,(二) 二因素隨機區(qū)組試驗的線性模型和期望均方,二因素隨機區(qū)組試驗的線性模型為: (133),表13.8 二因素隨機區(qū)組設計的期望均方,二、三因素試驗的統(tǒng)計分析,(一) 三因素完全隨機試驗的統(tǒng)計分析 在三因素試驗中，可供選擇的一種試驗設計為三因素完全隨機試驗設計，它不設置區(qū)組，每一個處理組合均有若干個(n個)重復觀察值，以重復觀察值間的變異作為環(huán)境誤差的度量。,1. 結果整理 2. 自由度和平方和的分解 總變異可以分解為處理組合變異加上誤差變異。處理組合變異又可作分解： 處理 DF =DFA +DFB +DFC +DFAB +DFAC +DFBC +DFABC 處理 SS=SSA +SSB +SSC +SSAB +SSAC +SSBC +SSABC,表13.13 三因素完全隨機試驗的平方和及自由度分解,3. 多重比較的標準誤公式,A因素間比較時單個平均數(shù)的標準誤 B因素間比較時單個平均數(shù)的標準誤 C因素間比較時單個平均數(shù)的標準誤 AB處理組合的平均數(shù)的標準誤為： (二) 三因素隨機區(qū)組試驗結果的分析 設有A、B、C三個試驗因素，各具a、b、c個水平，,作隨機區(qū)組設計，設有r個區(qū)組，則該試驗共有rabc個觀察值，其各項變異來源及自由度的分解見表13.15。,表13.15 三因素隨機區(qū)組試驗的平方和及自由度分解,DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (134) SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (135) (三) 三因素試驗的線性模型和期望均方 1. 完全隨機設計 三因素完全隨機試驗每一觀察值 yijkl 的線性模型為： (136),表13.21 三因素隨機試驗設計的期望均方,2. 隨機區(qū)組設計 三因素隨機區(qū)組試驗每一觀察值yjklm的線性模型為： 其中， 代表區(qū)組效應，固定模型時有 ，隨機模型時 ，其余參數(shù)參見三因素完全隨機設計的情形。,(137),表13.22 三因素隨機區(qū)組設計的期望均方,由F=MS1/MS2可測驗 對 0。 其有效自由度為：,(138),第二節(jié) 裂區(qū)試驗的統(tǒng)計分析,一、裂區(qū)試驗結果統(tǒng)計分析示例 二、裂區(qū)試驗的缺區(qū)估計 三、裂區(qū)試驗的線性模型和期望均方 四、再裂區(qū)設計的分析 五、條區(qū)設計的分析,一、裂區(qū)試驗結果統(tǒng)計分析示例,設有A和B兩個試驗因素，A因素為主處理，具a個水平，B因素為副處理，具b個水平，設有r個區(qū)組，則該試驗共得rab個觀察值。其各項變異來源和相應的自由度見表13.23。,表13.23 二裂式裂區(qū)試驗自由度的分解,例13.4 設有一小麥中耕次數(shù)(A)和施肥量(B)試驗，主處理為A，分A1、A2、A3 3個水平，副處理為B，分B1、B2、B3、B4 4個水平，裂區(qū)設計，重復3次(r=3),副區(qū)計產面積33m2，其田間排列和產量(kg)見圖13.3，試作分析。,圖13.3 小麥中耕次數(shù)和施肥量裂區(qū)試驗的田間排列和產量(kg/33m2),(1) 結果整理 將圖13.3資料按區(qū)組和處理作兩向分組整理成表13.24，按A因素和B因素作兩向分類整理成表13.25。 表13.24 圖13.3資料區(qū)組和處理兩向表,表13.25 圖13.3資料A和B的兩向表 (2) 自由度和平方和的分解 根據(jù)表13.23將各項變異來源的自由度直接填入表13.26。首先，計算總平方和，,然后，根據(jù)A因素與區(qū)組兩向表計算主區(qū)總SSM，并分解為區(qū)組SSR、SSA和三部分，,主區(qū)總,主區(qū)總SSM-SSR-SSA=122-32.67-80.17=9.16,根據(jù)A與B兩向表(表13.25)計算處理平方和SSt，并分解為SSA、SSB和SSAB三部分，,處理,SSAB=處理 SSt-SSA-SSB=2267-80.17-2179.67=7.16,因而，,總SST-主區(qū)總SSM-SSB-SSAB=2355-122-2179.67 -7.16 = 46.17,或 總SST-SSR-處理SS-2355-32.67-2267-9.16=46.17 至此，平方和分解全部完成，將結果填入表13.26。 表13.26 小麥裂區(qū)試驗的方差分析,(3) F 測驗 表13.26中，Ea是主區(qū)誤差，Eb為副區(qū)誤差。當選用固定模型時，Ea可用以測驗區(qū)組間和主處理(A)水平間均方的顯著性；Eb可用以測驗副處理(B)水平間和AB互作均方的顯著性。由表13.26得到：區(qū)組間、A因素水平間、B因素水平間均有顯著差異，但AB互作不顯著。 由此說明： 本試驗的區(qū)組在控制土壤肥力上有顯著效果，從而顯著地減小了誤差； 不同的中耕次數(shù)間有顯著差異；, 不同的施肥量間有顯著差異； 中耕的效應不因施肥量多少而異，施肥量的效應也不因中耕次數(shù)多少而異。 (4) 效應和互作的顯著性測驗 在此以畝產量進行測驗。 中耕次數(shù)間 表13.25各個TA值為rb=34=12區(qū)產量之和，故 cf=666.7/(1233)=1.6835 據(jù)此可算得各中耕處理的畝產量于表13.27。求得畝,產量的標準誤 故有，p=2，LSR0.01，4=57.3，LSR0.05，4=34.6(kg/畝)； p=3，LSR0.01，4=71.5，LSR0.05，4 =44.4(kg/畝) 以上述LSR值測驗表13.27中A因素各水平的差數(shù)，得知A1與A3間的差異達0.05水平，A1與A2間的差異達0.01水平，故以A1為最優(yōu)。 施肥量間 表13.25各個TB值為ra=33=9區(qū)產量之和，故 cf=666.7/(933)=2.2448,p=2，LSR0.01，18=44.0，LSR0.05，18=32.1 p=3，LSR0.01，18=50.8，LSR0.05，18=39.0 p=4，LSR0.01，18=54.9，LSR0.05，18=43.2,表13.27 三種中耕處理畝產量的新復極差測驗,表13.28 四種施肥量處理畝產量的新復極差測驗,以上述LSR值測驗表13.28各個畝產量的差數(shù)，得知施肥量以B2最好，它與B1、B4、B5都有極顯著的差異。 比較本例中副處理(施肥量)與主處理(中耕次數(shù))的相應LSR值，前者小，因而鑒別差數(shù)的顯著性將更靈敏些。究其原因，在于Eb具有較大的自由度而較小的SSR值。如果試驗能進一步降低Eb，則靈敏性將更高，這里說明裂區(qū)設計對副處理具有較高精確性的優(yōu)點。, 中耕次數(shù)施肥量的互作 經(jīng)F測驗為不顯著，說明中耕次數(shù)和施肥量的作用是彼此獨立的，最佳A處理與最佳B處理的組合將為最優(yōu)處理組合，如本例中的A1B2，所以不需再測驗互作效應。如果該互作的F測驗顯著，則需象表13.6那樣將試驗結果分裂成各中耕次數(shù)下施肥的簡單效應或各施肥量下中耕的簡單效應，進行測驗。 其標準誤的公式為： A相同B不同時，,任何二個處理或B相同A不同時，,(139),(1310),(5) 試驗結論 本試驗中耕次數(shù)的A1顯著優(yōu)于A2、A3，施肥量的B2極顯著優(yōu)于B1、B3、B4。由于AB互作不存在，故A、B效應可直接相加，最優(yōu)組合必為A1B2。,二、裂區(qū)試驗的缺區(qū)估計 裂區(qū)試驗的每一個主區(qū)處理都可看作是一個具有b個副區(qū)處理的獨立試驗，各具r次重復；因而每一主區(qū)處理內的誤差(Eb )也是獨立的。故在裂區(qū)試驗中，如有副區(qū)缺失，可采用與隨機區(qū)組相同的原理估計之。,例13.5 設表13.24資料A1B1在區(qū)組I缺失，其結果如表13.29。試作估計。 很明顯，表13.29中的缺區(qū)ye僅對A1處理有影響，而對A2和A3無關。但是A1下的這4個副處理實際上就是隨機區(qū)組類別，可估計之。,所以 ye=33.3,表13.29 缺失1區(qū)產量的裂區(qū)試驗,或,如果另一缺區(qū)在其他主區(qū)處理內出現(xiàn)，可同樣估計。 如果在同一主區(qū)處理內出現(xiàn)兩個以上缺區(qū)，則仍可 應用采用解方程法。,具缺區(qū)的處理與其他處理小區(qū)平均數(shù)比較時各種平 均數(shù)標準誤SE 的公式如下：,其中,在缺一個副區(qū)時，,其中,在缺一個副區(qū)時，,k = 缺失副區(qū)數(shù)，c =有缺區(qū)的重復數(shù)，d =缺區(qū)最多的處理組合中缺失的副區(qū)數(shù)。,若缺失副區(qū)在2或2個以上，,三、裂區(qū)試驗的線性模型和期望均方,在裂區(qū)試驗中，對于j(=1，2，r)區(qū)組、k(=1，2，a)主處理和l(=1，2，b)副處理觀察值yjkl的線性模型為： (1312),表13.31 裂區(qū)試驗的期望均方,四、再裂區(qū)設計的分析,若參加試驗的因素有三個，可以在裂區(qū)中再劃分小區(qū)稱為再裂區(qū)試驗。設A、B、C三因素分別具有a、b、c個水平，重復r次，主區(qū)、裂區(qū)、再裂區(qū)均為隨機區(qū)組式排列，則其自由度的分解列如表13.32。,表13.32 各處理均為隨機區(qū)組式的再裂區(qū)設計自由度分解,再裂區(qū)試驗中各項比較的平均數(shù)標準誤SE公式如下：,再裂區(qū)試驗觀察值的線性模型為： (1314) (1314)中 N(0， )； N(0， )； N(0， )。A，B，C，(AB )，(AC )，(BC )，(ABC )通常為固定模型，其限制條件為 ； ； ； ； ； ； 。,五、條區(qū)設計的分析 條區(qū)設計：在多因素試驗中由于實施試驗處理的需要，希望每一因素的各水平都有較大的面積，因而在裂區(qū)設計的基礎上將同一副處理也連成一片。這樣A、B兩個因素互為主，副處理，兩者的交叉處理為各該水平的處理組合。,若A、B兩因素各具a、b個水平，重復r次，則A、B兩因素均為隨機區(qū)組式的條區(qū)設計自由度分解列于表13.33。 表13.33 A、B兩因素均為隨機區(qū)組式的條區(qū)設計自由度分解,圖13.4 甘薯壟寬、栽插期條區(qū)試驗的田間排列和產量結果(kg/80 m2),例13.7 設一甘薯壟寬和栽插期的兩因素試驗，壟寬(A)具三水平：A1=50cm，A2=60cm，A3=70cm；栽插期(B)具三水平：B1=5月16日，B2=6月6日，B3=6月26日，A、B均為隨機區(qū)組式排列，6個重復的田間排列與試驗結果列于圖13.4。 (1) 結果整理 將圖13.4資料整理成表13.34(區(qū)組與A)，表13.35(區(qū)組與B)，表13.36(A與B)3個兩向表，有關符號在表中，意義自明。,表13.34 各區(qū)組壟寬產量總和表(TAr) 表13.35 各區(qū)組栽插期產量總和表(TBr),表13.36 壟寬與栽插期處理組合產量總和表(TAB ),(2) 平方和與自由度的分解 由表13.34進行區(qū)組與A兩向分組資料的方差分析： 區(qū)組與壟寬總,=SSAr - SSR - SSA= 6583.75,由表13.35進行區(qū)組與B兩向分組資料的方差分析： 區(qū)組與栽插期總,88739.03,總SSBr SSR - SSB= 4569.30,由表13.36進行A與B兩向分組資料的方差分析： 壟寬與栽插期總SS3=193719.03 SSAB=總SS3-SSA-SSB=176.30 由圖13.4計算全試驗的總平方和：,全試驗總,全試驗總SS SSR - 總SS3 -,=2053.48,按表13.33分解自由度，將平方和與自由度的計算結 果歸納成表13.37。,表13.37 甘薯條區(qū)試驗方差分析表,(3) F 測驗 壟寬用區(qū)組壟寬(Ea)進行測驗；栽插期用區(qū)組栽插期(Eb)測驗；壟寬栽插期則用剩余誤差(Ec)測驗。其結果兩個因素的主效均極顯著，而互作并不顯著。因此只須比較各因素主效間的差異、最佳的壟寬及最佳的栽插期為預期將為最佳的處理組合。 (4) 各效應間比較的顯著性測驗 小區(qū)平均數(shù)間比較時，平均數(shù)標準誤SE 的公式如下：,(1315),本例只需做A處理及B處理的比較。,壟寬間的比較：,而LSR0.05,(2,10)=6.053.15=19.06(kg/區(qū))， LSR0.05,(3,10)=19.97(kg/區(qū))， LSR0.01,(2,10)=27.10(kg/區(qū))， LSR0.01,(3,10) =28.62(kg/區(qū))， 因此可將測驗結果列于表13.38，壟寬60cm最佳。,栽插期間的比較：,而LSR0.05,(2,10)=5.043.15=15.87(kg/區(qū))，LSR0.05,(3,10)=16.63(kg/區(qū))，LSR0.01,(3,10)=22.57(kg/區(qū))，LSR0.01,(2,10)=23.83(kg/區(qū))。因此可將測驗結果列于表13.39。6月6日栽插效果最好。兩者的組合A2B1為試驗中最佳處理組合。表13.36同樣說明這一結論。,表13.38 壟寬間的比較 表13.39 栽插期間的比較,條區(qū)試驗觀察值的線性模型為： (1316)中 N(0， )； N(0， )； N(0， )。A，B，(AB )通常為固定模型，其限制條件為 ； ； 。,(1316),第三節(jié) 一組相同試驗方案數(shù)據(jù)的聯(lián)合分析,農業(yè)研究往往需要在多個地點、多個年份甚至多個批次進行試驗，各地點、各年份均按相同的試驗方案實施，以更好的研究作物對環(huán)境的反映。對于這種進行多個相同的方案的試驗，應該聯(lián)合起來分析。,品種區(qū)域試驗的目的是： 確定品種在某一個區(qū)域內的平均表現(xiàn)，以確定品種的在該區(qū)域生產潛力。 確定品種在某地點的平均表現(xiàn)相對于該地點內各品種的平均表現(xiàn)的回歸系數(shù)大小，以明確品種的穩(wěn)產性和試驗地區(qū)。 多個試驗的聯(lián)合分析要根據(jù)試驗的目的選擇地點。多個試驗的聯(lián)合分析首先要對各個試驗進行分析，然后檢驗各個試驗的誤差是否同質，如不同質則不可進行聯(lián)合方差分析。,例13.8 設一個水稻品種區(qū)域試驗，包括對照種在內共有5個供試品種，在4個地點進行2年試驗，每點每次試驗均統(tǒng)一采用相同小區(qū)面積重復3次的隨機區(qū)組設計，其結果列于表13.40?，F(xiàn)以此為例說明其分析方法。 若令供試品種數(shù)為v，試點數(shù)為s，年份數(shù)為y，每次試驗重復數(shù)為r，則此試驗中，v=5，s=4，y=2，r=3，令y表示各小區(qū)的產量；Ts、Ty及Tv等分別代表每一試點、年份、及品種的總和；Tvs、Tvy、Tsy分別代表品種與地點組合的總和、品種與年份組合的總和、年份與地點組合的總和；Tvsy、Trsy分別代表,品種、地點、年份組合的總和，每年份、地點每區(qū)組的總和；T代表全部試驗數(shù)據(jù)的總和，各類總和的符號分別標在13.40及表13.44中。 區(qū)域試驗結果的綜合分析，不僅要比較供試品種的平均表現(xiàn)；還要了解品種試點、品種年份、以及品種試點年份的互作效應，即了解不同品種在各試點、各年份的差異反應，從而進一步了解品種的穩(wěn)產性及區(qū)域適應性。 多年多點統(tǒng)一隨機區(qū)組設計的自由度分析列于表13.41。,表13.40 水稻品種區(qū)域試驗產量(kg/33m2),表13.41 多年多點統(tǒng)一隨機區(qū)組設計的自由度分析表,(1) 試驗誤差的同質性測驗 在綜合分析前，先對各次試驗按隨機區(qū)組設計逐個分析，計算出各次試驗單獨的誤差，測驗其誤差是否同質，以便確定是否可將誤差合并進行統(tǒng)一的比較分析，這可采用Bartlett方差同質性測驗法。該法采用統(tǒng)計數(shù)進行測驗(見第七章)。表13.42為各次試驗單獨的平方和計算結果。表13.43為誤差方差同質性測驗的計算過程。本例中，,查 表得，卡方的自由度DF =8-1=7時， =9.80，故P0.20。 式中，k 為被測驗的方差個數(shù)；(ni-1)為每一方差的自由度，本例中實為(v-1)(r-1)； 19.087為各次試驗合并的誤差均方。,表13.42 各次試驗的平方和計算結果 表13.43 誤差方差同質性測驗計算表,(2) 平方和的分解 按表13.41的自由度分析，計算各部分平方和。Tvs及Tsy的二向表已包括在表13.40中，這里需要列出Tvy的二向表(表13.44)。各主效及處理組合平方和的計算公式及過程列在表13.45。 表13.44 品種與年份組合產量總和(Tvy )二向表,表13.45 主效及處理組合平方和計算表,各種交互作用平方和均用減去法計算。 試點年份SS=試點與年份組合SS-試點SS-年份SS =16572.05-9324.58-5819.96=1427.51 品種試點SS=品種與試點組合SS-品種SS-試點SS =11583.70-965.71-9324.58=1293.41 品種年份SS=品種與年份組合SS-品種SS-年份SS =7299.21-965.71-5819.96=513.54,品種試點年份SS=品種、試點、年份組合SS-品種SS-試點SS-年份SS-品種試點SS-品種年份SS-試點年份SS=21365.26-965.71-93324.58-819.96-1293.41-513.54-1427.51=2020.55 品種SS+品種試點SS+品種年份SS+品種試點年份SS=965.71+1293.41+513.54+2020.55=4793.21 它與表13.42中各試驗品種平方和的總和相等。,試驗內區(qū)組間平方和可由各試驗分別求出區(qū)組平方和再相加，即表13.42中的1706.13，或由表13.45求得： 區(qū)組、試點、年份組合SS - 試點、年份組合 SS=18278.17-16572.05=1706.12 兩者結果相同。全試驗誤差平方和可由表13.42中各試驗的誤差平方和相加，即1221.55，或由總平方和減去其它各主效、區(qū)組、一級互作以及二級互作等，這剩余部分即合并的誤差SS，其結果也應為1221.55。 (3) 方差分析 方差分析結果列于表13.46。,表13.46 水稻品種區(qū)域試驗方差分析表,表13.47 多年多點試驗的期望均方,F 測驗結果說明品種之間平均效應有顯著差異；品種與年份、地點的一級和二級互作均顯著，因而品種在不同試點、不同年份具有差異反應，需對各品種的地區(qū)適應性及穩(wěn)產性進行具體分析，品種試點年份的顯著性說明與試點互作在年份反應不一致。 (4) 品種間的比較 因品種與試點及年份均有極顯著互作，此處主要比較在不同環(huán)境下的品種表現(xiàn)，列出品種與試點,組合、品種與年份組合平均產量表(表13.48、13.49) 表13.48 各品種在各試點的平均產量(kg) 表13.49 各品種在各年份的平均產量表(kg),誤差均方 =19.09(kg)2，品種平均數(shù)標準誤 (kg)，因此用LSR法作測驗(DF=60），結果列于表13.49的右半部分。若以品種A為CK，則品種E增產達0.01水準，D達0.05水準，E與D之間差異不顯著。 品種與試點組合標準誤 (kg) 品種與年份組合標準誤 (kg),由此可以計算一系列LSR值，以進行組合間的全部比較。進一步看E、D兩品種在各試點的表現(xiàn)(表13.48)，在乙試點兩者表現(xiàn)相近，而在甲試點D優(yōu)于E。在丙丁兩試點則E優(yōu)于D。故E的地區(qū)適應性廣于D，在試點間表現(xiàn)較穩(wěn)定。再看E、D兩品種在不同年份的表現(xiàn)(表13.49左半邊)，第一年D低于E，第二年D高于E。故D在年份間的波動大，而E在年份間較穩(wěn)定。 若將v、s、y、r等符號代表各變異原因的效應值，則上述多年多點試驗(隨機區(qū)組設計)的線性模型為：,(1317),固定模型及隨機模型時的期望均方列于表13.47。本試驗作固定模型考慮，故各效應均與合并誤差比較。若試驗屬隨機模型性質，則有關效應的F 測驗應根據(jù)期望均方組成分別確定其所用以比較的均方。,第四節(jié) 多因素混雜和部分實施試驗的設計和分析(正交試驗法),一、多因素試驗的混雜設計和分析 二、多因素部分重復試驗的設計與分析 三、正交試驗方案設計的要點,一、多因素試驗的混雜設計和分析,多因素試驗中，因素間的關系有三類，一類是套疊式(分枝式)的(如第6章表6.16的數(shù)據(jù)結構），一類是正交式的，還有一類是混合式的。 混雜設計 (comfounding design)：即將處理組合分為兩組或幾組，每一組安排為一個區(qū)組，這樣的區(qū)組稱為不完全區(qū)組。此時試驗中的某些效應和區(qū)組混雜在一起而不能區(qū)分出來。這種用犧牲某些效應以使區(qū)組縮小，減少誤差的設計方法稱為混雜設計。,(一) 222試驗的混雜設計方法,設一個小麥氮、磷、鉀肥料試驗，每一要素有不施和施用二個級別，例如氮肥不用或用30kg/畝硫酸銨、磷肥不用或用40kg/畝過磷酸鈣，鉀肥不用或用10kg/畝硫酸鉀，則共有222=8個處理組合，即： n1p1k1，n2p1k1，n1p2k1，n1p1k2，n2p2k1，n2p1k2， n1p2k2，n2p2k2，為方便起見，簡寫為： (1) n p k np nk pk npk。習慣上以字母大寫，如N，P，NP等，代表主效及互作的平均數(shù)，以大寫字母加括弧代表主效及互作的總和數(shù)。,由以上8個處理組合可以分析出N、P、K三個主效，NP、NK、PK三個一級互作，NPK一個二級互作。 以總和表示的N的主效，可根據(jù)以下四種比較而得到：,N的效應,所以，(N )=(n)-(1)+(nk)-(k)+(np)-(p)+(npk)-(pk) =(n)+(np)+(nk)+(npk)-(1)+(p)+(k)+(pk),這樣，(N )也可看為有n的處理之和減去無n 處理之和。 同樣，(P )=(p)-(1)+(np)-(n)+(pk)-(k)+(npk)-(nk) =(p)+(np)+(pk)+(npk)-(1)+(n)+(k)+(nk) (K )=(k)-(1)+(nk)-(n)+(pk)-(p)+(npk)-(np) =(k)+(nk)+(pk)+(npk)-(1)+(n)+(p)+(np) 兩個因子互作效應，例如NP互作，可以在相同K水平的條件下研究在有P時N的效應與沒有P時N的效應，其不一致程度(差數(shù))即為NP互作。即：,N的效應,所以(NP )=(npk)-(pk)-(nk)-(k)+(np)-(p)-(n)-(1) =(npk)+(np)+(k)+(1) -(nk)+(pk)+(n)+(k) 同樣(NK )=(npk)+(nk)+(p)+(1) -(np)+(pk)+(n)+(k) (PK )=(npk)+(pk)+(n)+(1)-(np)+(nk)+(p)+(k),三因子間的互作可以看為NP互作在有K時與無K時的相差。 (NPK)=(npk)-(pk)-(nk)-(k)-(np)-(p) -(n)-(1) =(npk)+(n)+(p)+(k)-(np)+(nk)+(pk)+(1),(1318),三因子間的互作也可以看為NK互作在有P與無P時的效應，或看PK互作在有N與N時的效應，其計算結果是一樣的。 以上各種效應的計算可按(+)、(-)號歸納成表13.50，以便于計算。,表13.50中各互作項的符號為其同列內相應各主效符號的相乘結果。 表13.50 222因子試驗主效及互作計算符號表,如果需要全面地考察以上全部七個效應，那么在同一區(qū)組中必須包含全部8個處理組合，通?？梢詰秒S機區(qū)組設計。如果需要縮小區(qū)組增加地區(qū)控制的效果而同時可以犧牲實際意義不大的二級互作NPK，那么可以按 (NPK)=(npk)+(n)+(p)+(k)-(np)+(nk)+(pk)+(1) 將8個處理組合分為兩組，左邊四個具有(+)號的設置一個區(qū)組，右邊四個具有(-)號的另設置一個區(qū)組，如圖13.5a和b等區(qū)組所示。,圖13.5 小麥肥料試驗田間排列圖(混雜NPK，附小區(qū)產量公斤數(shù)),這時，因(+)組和(-)組分別在兩個區(qū)組，肥力不相同，NPK互作和區(qū)組效應混合在一起區(qū)分不開，因而犧牲了NPK互作效應的估計或稱混雜了NPK效應。但是由于區(qū)組縮小一半，可以降低試驗誤差，增加了其他三個主效，三個一級互作的準確性和精確性。若要混雜其他效應，只需按表13.50中相應效應的符號區(qū)分為(+)組(-)組即可。 圖13.5為混雜NPK四次重復的設計，這種在各重復中均混雜同一效應的混雜方法稱完全混雜法。,完全混雜設計使 NPK 全部舍棄，無法估計。如果試驗希望了解 NPK 的交互作用，又不希望舍棄其他效應，這時可以采取部分混雜設計的方法。例如全試驗有四次重復，第一重復混雜 NPK ，第二重復混雜NP ，第三重復混雜 NK ，第四重復混雜 PK 。其排列如圖13.6所示。,圖13.6 四個重復的222部分混雜設計圖示,這種部分混雜設計中，N、P、K三個主效可從四個重復計算：NP、NK、PK、NPK 四個交互作用各可從三個重復計算，因而不至于舍棄任何一個效應。 上面以23試驗為列說明混雜的基本方法，由23的混雜方法可以推廣至2n試驗的混雜。,(二) 222混雜設計的分析 1.完全混雜時的分析 222混雜設計的線性模型，除混雜效應缺失外，其他均同三因素試驗的線性模型，但一般處理效應均為固定模型。 完全混雜時的分析 例13.9 以圖13.5中的數(shù)據(jù)為例說明。若這試驗為四次重復的隨機區(qū)組設計則處理組合平方和可進一步分析為各主效平方和及互作平方和。在本例2水,平的情況下，各效應平方和的簡法計算為： 為比較混雜設計方差分析的特點，今將此試驗先暫按隨機區(qū)組設計計算如下： (1) 列一區(qū)組與處理組合的二向表13.51。 (2) 計算隨機區(qū)組各部分平方和,(1319),表13.51 小麥222肥料試驗產量表(kg/區(qū)),(3) 計算各主效及互作平方和 先計算各效應的總和 (N )=(n)+(np)+(nk)+(npk)-(1)+(p)+(k)+(pk) =111+178+119+181-43+127+42+149 =589-361=228,依次，(P )=320；(K )=32；(NP )=-62；(NK )=-10； (PK)=18；(NPK)=-28 再按(1319)計算各效應的平方和：,(4) 列出方差分析表13.52。 表13.52 小麥222肥料試驗方差分析表,今若按混雜NPK的設計進行分析，則 (1) 區(qū)組與處理組合的二向表應如表13.53。 在表中分別計算區(qū)組總和Tr。 (2) 計算各部分平方和時， 總 這兩項同前。 區(qū)組 與前不同。,表13.53 小麥222完全混雜(NPK )設計產量表(kg/區(qū)),這里區(qū)組平方和共有7個自由度，包括重復間3個，重復內a、b兩區(qū)組間4個(包括NPK互作1個)，合計區(qū)組間共7個。 其相應的平方和： 重復間SSR=61.38(見以前計算結果) 重復內a、b兩區(qū)組間 其中包括SS(NPK)=24.50，見前,所以區(qū)組=重復間SSR +重復內a、b兩區(qū)組間SS(a-b)=99.38 處理組合SSt中SS(NPK)已與區(qū)組混雜應扣去，故 處理=處理組合SSt-SS(NPK)=5014.38-24.50=4989.88 誤差SSe=總SST-區(qū)組-處理=5200.88-99.38 -4989.88=111.62 (3) 各因子主效及互作平方和計算方法同前，SS(NPK)已混雜于區(qū)組中，不包括在這里。 (4) 方差分析表將如表13.54。,表13.54 23完全混雜(NPK)設計方差分析表,F 測驗結果同前，各種因子效應的分析也同前，這里從略。 比較混雜設計的分析結果和完全區(qū)組的分析結果，誤差項平方和通過混雜NPK的效應從125.12降低到111.62，但自由度從21減到18，所以誤差項均方反而由5.95增加到6.20。似乎混雜NPK后效果并不好，這是因為在222的情況下原來完全區(qū)組只包括8個處理組合，并不算大，因而通過混雜設計以降低試驗誤差作用不明顯。,2.部分混雜時的分析 例13.10 設若表13.51的資料來自圖13.6的部分混雜設計，今將其分析如下： (1) 按圖13.6及表13.51中數(shù)據(jù)計算各區(qū)組總和(表13.55) 表13.55 各區(qū)組總和表(Tr),(2) 按未混雜的方法計算各種效應及其平方和。 表13.56 各主效及互作均未混雜的效應與平方和計算表,平方和=,表13.56中主效部分為實際結果，四個互作效應為假定未混雜時的結果。 (3) 計算混雜后的四個互作效應及其平方和。 (NP)由、，(NK)由、，(PK)由、，(NPK)由、計算。 表13.57 混雜后四個互作效應及其平方和計算表,平方和=,(4) 計算各部分平方和 以下兩項仍同前 區(qū)組 與前又不同 處理 的計算如下：,第一步 先算出處理組合 第二步 在表13.57中計算混雜后四個互作效應平方和的總和，這里為108.84。 第三步 從表13.56中計算假定四個互作效應未混雜時平方和的總和，這里為： 120.12+3.12+10.12+24.50=157.86 由第三步所獲平方和的總和與第二步所獲平方和的總和之差157.86-108.84=49.02表示每重復各和區(qū)組混雜了一個效應的平方和的總和數(shù)。,第四步 由處理組合SS中扣除已混雜掉的各效應平方和即為處理平方和。 處理 =5014.38-49.02=4965.36 誤差SSe=總SST-處理-區(qū)組=5200.88-4965.36 -148.38=87.14 (5) 列出方差分析表13.57 F 測驗結果說明若表13.51的數(shù)據(jù)為圖13.6的部分混雜設計，則除N、P、K、NP的效應顯著外，NPK三因子互作也呈現(xiàn)顯著性。部分混雜設計沒有舍棄這,部分互作效應，否則若按完全混雜方法將這部分效應與區(qū)組混雜就得不到這方面的結果，這體現(xiàn)了部分混雜設計的長處。,表13.58 23部分混雜設計方差分析表,二、多因素部分重復試驗的設計與分析,部分重復(fractional replication)試驗：若一個多因素試驗中可以忽略的效應較多，則可進一步采用部分實施(即部分處理組合)進行試驗，將不重要的效應(常是互作效應)相互混雜，從而縮小試驗規(guī)模，提高準確性和精確性。 (一) 正交表的性質和應用 1. 正交表及其類型,表13.59 幾個常用的正交表及其附表,1 L4(23),任二列的交互作用為另一列,任二列的互作為另外二列,3 L8(27),4 L8(27)的交互作用列,5 L8(27)的表頭設計,2. 正交表的主要性質,(1)均衡分散、綜合可比 正交表中： 任意一列內不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同； 任意兩列間，同橫行的數(shù)字對，如L4(23)中的(1，2)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，其次數(shù)也相同L4(23)中均為一對，L8(27)中均為二對。 (2)可伸可縮，效應明確 正交表中j代表最多可以考察的效應數(shù)，若各因子只要考察主效，則可以安排j個因子。,3. 選用正交表設計試驗方案的步驟,(1) 確定試驗因素和每個試驗因素的變化水平。 (2) 根據(jù)試驗因素和水平數(shù)的多少以及是否需要估計互作等，選擇合適的正交表。 (3) 在所選正交表上進行表頭設計，寫出試驗的各個處理組合，形成試驗方案。 表頭設計：將試驗因素和需要估計的互作，排入正交表的表頭各列；必須注意，各列下的水平數(shù)必須,和該列試驗因素的水平數(shù)相同；然后，根據(jù)各試驗因素列下的水平，寫出該試驗的各個處理組合，即作成了試驗方案。 (二) 部分重復試驗的分析 1.無交互作用的試驗 部分重復試驗一般可采用隨機區(qū)組設計，供試處理組合少時也可考慮用拉丁方設計。其分析方法仍同原各種設計，但試驗處理平方和的進一步分解可以籍助于正交表而簡化并便于校核。,例13.13 設為了解溫度(高、中、低)，菌系(甲、乙、丙)，培養(yǎng)時間(長、中、短)對根瘤菌生長的影響，進行培養(yǎng)試驗，據(jù)以往經(jīng)驗，三因素間無明顯交互作用，目的在考察三因子的主效并篩選最佳組合，選用L9(34)表，將A、B、C 分別放在1，2，4列，重復試驗二次，隨機區(qū)組設計。每10視野根瘤菌計數(shù)結果及其分析列在表13.60。 (1) 按隨機區(qū)組設計計算各部分平方和(表13.60右下角)。 (2) 計算正交表中每一列的平方和。 (3) 列出方差分析表13.61。正交表中第3列為(AB )，(BC )，(AC )各互作效應一部分數(shù)量,的混雜，既然預先估計因子間無互作，這一列便可作誤差看待。因而表13.60的誤差項為隨機區(qū)組的誤差與第3列誤差的合并，以增加自由度。F測驗結果，各因子的主次為B，A，C，其中C的效應無顯著性。 (4) 各因子主效差異的測驗同前。若按表13.60中所列各水平(T1、T2、T3)比較，則,在無互作效應時，正交試驗的效率很高，可以節(jié)省大量的試驗工作量。本試驗9個處理2次重復=18小區(qū)，使每因子水平均重復6次，若將各因子分開做單因子試驗就需要633=54個小區(qū)。 (5) 最佳組合可從各顯著因子水平的組合估計，這里以a1b3為最佳。因c因子無顯著性，任何水平均可采用。按A、B兩因子可估得33=9個組合的理論值。,表13.60 根瘤菌培養(yǎng)溫度、菌系、時間三因子部分重復試驗每10視野細菌數(shù)結果,=15633368.06,表13.61 根瘤菌三因子試驗方差分析表,2. 有交互作用的試驗 例13.14 赤霉菌培養(yǎng)方法試驗，供試因素及水平如表13.62。 表13.62 供試因素和水平,根據(jù)實驗經(jīng)驗，有些因子間有交互作用，重點擬考察A、B、C之間的交互作用。因此，按正交表L27(313)設計，共27個處理組合實施比例為1/(34)=1/81，重復2次，每次做一個重復，考察指標為赤霉素效價單位數(shù)，其表頭設計及結果列在表13.63中。 表13.64方差分析結果主效的主次順序為D、C、F、E，其中D、E、F三個因子均有顯著性，因它們間無交互作用，故最佳水平即為最佳組合，最佳水平可用以下LSD值測驗T1、T2、T3間的差異。,測驗結果：d2，d3，e1，e2，f3較佳，G因子無顯著性，各水平都可采用。A、B、C三因子，相互間的一級交互作用均顯著；主次順序為AC、BC、AB，說明各該最佳的主效水平不一定是最佳組合，要具體分析，故每用以下LSD0.05值對表13.65中各二因子處理組合總和間進行t測驗：,(千單位),(千單位),表13.63 按正交表L27(313)的設計和試驗結果計算表,表13.64 赤霉菌培養(yǎng)配方試驗方差分析表,表13.65 A、B、C各二因子水平組合總和表 各組合表內凡有橫線的，組合間無顯著差異，是該二因子最佳的組合，即：(按主次順序）AC表中的a1c2，a3c1，a3c2，a2c1；BC表中的b3c1，b2c2，b3c2，b1c1，b1c2，b2c3；AB表中的a3b2，a1b2，a2b3，a3b3。,以AC表中最佳二因子組合為基礎，綜合A、B、C三因子的最佳組合將為：a1b2c2，a3b3c1，a3b2c2，a2b3c1等。若從節(jié)約成本方面考慮a3b3c1及a2b3c1較好。 再加上D、E、F因子一起考慮，選用d2，e1，f3較省時省料，故全部因子的最佳組合將為a3b3c1d2e1f3或a2b3c1d2e1f3，這兩個組合是由試驗分析出來而供試組合中所沒有的。由表13.64及13.62可以計算出顯著效應的c1，d2，e1，f3，a3b3，a3c1，b3c1或c1，d2，e1，f3，a2b3，a2e1，b3a1的效應值從而估計出這兩個最佳處理組合的理論效價單位分別為30.7及29.0，具體過程不再贅述。,采用正交設計，減少設施比例，由于伴隨著要混雜掉部分