《能量法教學(xué)》PPT課件.ppt

第十三章 能量法,第13-1 能量法概念 第13-2 應(yīng)變能與余能的計(jì)算 第13-3 互等定理 第13-4 卡氏定理 第13-5 利用卡氏定理解超靜定問題,13-1 能量法概念,一、外力功與應(yīng)變能（變形能）,彈性體在載荷作用下都要發(fā)生變形，載荷的作用點(diǎn)會相 應(yīng)的產(chǎn)生位移。載荷在相應(yīng)的位移上作功，稱其為外力功， 用符號W 表示；彈性體將由于變形而儲存能量，稱其為應(yīng)變 能（變形能），用符號U 表示。,二、能量守恒原理,三、能量法,利用功和能的概念來解決變形體的位移、變形和內(nèi)力 等計(jì)算的方法稱為能量法。,13-2 應(yīng)變能與余能的計(jì)算,一、外力功,1. 常力作功（F 為恒力）,廣義力與廣義位移相對應(yīng)。如廣義力是力，相應(yīng)的廣義位移就是線位移（沿力方向的線位移）；如廣義力是力偶，相應(yīng)的廣義位移就是角位移（在力偶作用處的角位移）。,式中： 廣義力（力、力偶） 廣義位移（線位移、角位移）,二、應(yīng)變能及比能（線彈性體）,1. 軸向拉伸與壓縮時應(yīng)變能,u 為比能，即單位體積的變形能。,應(yīng)變能：,比能 ：,a. 軸力為常量：,dx 段的應(yīng)變能：,比能：,整個桿內(nèi)的應(yīng)變能：,比能：,應(yīng)變能：,3. 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形能,a. 扭矩為常量,應(yīng)變能：,4. 桿件受彎曲時的變形能,應(yīng)變能：,應(yīng)變能：,一般梁中各段彎矩M(x)不同。則上 面積分應(yīng)分段進(jìn)行，然后求出其總和。,應(yīng)變能：,5. 組合變形時的應(yīng)變能,桿件在拉（壓）、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲這些基本變形共同作用下，桿件內(nèi)同時有軸力FN(x)，扭矩Mn(x)，彎矩M(x)和剪力FS(x)存在。在忽略了剪力FS(x)的影響后，整個桿件的應(yīng)變能可表示為：,注意：疊加法不能用于計(jì)算外力功和變形能。,解：求各梁的變形能,從中可看出,三、余功、余能,余功和余能,四、利用功能原理計(jì)算位移,利用 可以計(jì)算荷載作用點(diǎn)的位移，此方法只限于單一荷載作用，而且所求位移只是荷載作用點(diǎn)沿著荷載方向與荷載相對應(yīng)的位移。,解 1、內(nèi)力分析,例 直角水平圓截面折桿 ABC 受力如圖示。已知抗彎剛度為EI，抗扭剛度為 GIp。試求 C 處的垂直位移。,BC桿：,AB桿：,3、利用功能原理求位移,總變形能為：,2、變形能計(jì)算,例 桁架如圖所示，各桿EA相同，利用功能原理求D點(diǎn)的垂直位移。,解 1、各桿內(nèi)力,2、應(yīng)變能計(jì)算,3、利用功能原理求位移,13-3 互等定理,一、彈性體的應(yīng)變能與載荷的加載次序無關(guān),上述的力和位移均為廣義力和廣義位移。位移的第一個下標(biāo)表示發(fā)生位移的位置，第二個下標(biāo)表示引起該位移的載荷。,三、位移互等定理,對于線彈性體，若載荷F1和F2 數(shù)值相等，則F2在點(diǎn)1沿F1方向引起的位移 ，等于F1 在點(diǎn)2沿F2方向引起的位移 。該定理稱為位移互等定理。,二、功的互等定理,對于線彈性體，F(xiàn)1在F2處所引起的位移 上所作的功，等于F2在 F1處所引起的位移 上所作的功。該定理稱為功的互等定理。,13-4 卡氏定理,一、卡氏第一定理 (證明略),卡氏第一定理：彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對于結(jié)構(gòu)上與某個載荷相對應(yīng)的位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于該載荷的數(shù)值。,二、余能定理（克勞迪-恩格塞定理）,彈性體在載荷作用下F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n，各載荷作用點(diǎn)沿載荷方向的 位移為 彈性體的余能 應(yīng)等于外力的余功 ，即,余能定理：彈性結(jié)構(gòu)的余能對作用在結(jié)構(gòu)上的某個載荷的偏導(dǎo)數(shù)，等 于該載荷作用點(diǎn)沿該載荷作用方向位移。,若第 i 個載荷Fi 產(chǎn)生一個微小增量dFi，其他載荷值不變，則余功 增量為 , 相應(yīng)的余能也有一個增量,余能的增量應(yīng)等于余功的增量,對于線性彈性體：,由余能定理,卡氏第二定理：線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對作用在結(jié)構(gòu)上的某個載荷的偏 導(dǎo)數(shù)，等于該載荷作用點(diǎn)沿該載荷作用方向位移。,注意：具體應(yīng)用卡氏第二定理時，應(yīng)變能必須表示為載荷的函數(shù)。,四、卡氏第二定理的應(yīng)用,式中： 廣義位移（線位移，角位移） 廣義力（力、力偶）,1. 對于桁架結(jié)構(gòu)（各桿受拉或壓）,2、對于受扭圓軸,3. 對于橫力彎曲（不計(jì)剪力的影響）,4. 對于組合變形（不計(jì)剪力的影響）,例 桁架如圖所示，各桿EA相同，利用卡氏第二定理求D點(diǎn)的垂直位移。,解 1、各桿內(nèi)力,2、應(yīng)變能計(jì)算,3、利用卡氏第二定理求D點(diǎn) 的垂直位移,例 求圖示梁 B 處的撓度和轉(zhuǎn)角。,解 一、求 B 處撓度,由于C、B 截面都作用著集中力 F，為了將二個F 區(qū)分開，可設(shè)作用在 B 處的 F 為FB。,令：FB=F,二、求B 處的轉(zhuǎn)角,由于 B 處沒有相應(yīng)的力偶與 轉(zhuǎn)角相對應(yīng)，可假設(shè)在 B 作用一 力偶 ( 為附加力偶）。,BC：,AB：,例 求圖示剛架 C 點(diǎn)的垂直位移， 水平位移及轉(zhuǎn)角。,解（一）垂直位移,在 C 處加一附加力,令式中 ，則有,BC:,AB:,（二）水平位移 ，在C處附加一水平力 （見圖b）,圖b,令： 則有,BC:,AB:,（三）C 處轉(zhuǎn)角,圖c,在 C 處附加一力偶 （見圖c）,BC:,AB:,令 ，則有,13-5 利用卡氏第二定理解超靜定問題,1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于 計(jì)算）。 2、寫出包含多余約束反力的應(yīng)變能。 3、運(yùn)用卡氏第二定理得出多余約束的約束條件，解出多余 約束反力。 4、根據(jù)靜力平衡條件，解出超靜定結(jié)構(gòu)的其它所有約束反 力。 5、計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、應(yīng)力