大學(xué)數(shù)學(xué)極限.ppt

極限的概念,2.1 極限概念(limit),極限概念是微積分的基本概念。也是微積分學(xué)研究的基本工具 .后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是以極限為基礎(chǔ)的。,極限是研究函數(shù)的一種重要的方法。,極限是描述變量在某個(gè)變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)。,2.1 極限概念(limit),簡(jiǎn)單說(shuō)：,現(xiàn)代日常生活中人們常用這種變化趨勢(shì)來(lái)判斷事物的發(fā)展趨勢(shì)。,2.1 極限的概念,2.1 極限的概念,【古代極限思想】 莊周所著的莊子一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。,2.1 極限的概念,三國(guó)時(shí)期的劉微利用的割圓術(shù)求出圓周率近似值時(shí)，提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣 ”,圓內(nèi)接正六邊形,圓內(nèi)接正十二邊形,圓內(nèi)接下24邊形,邊長(zhǎng)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng),【古代極限應(yīng)用】,數(shù)列的定義：,數(shù)列按照一定規(guī)律有次序排列的一串?dāng)?shù) 簡(jiǎn)記 （數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù) =f(n)n=1,2, ） 稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。,例如：,記作：,記作：,記作：,數(shù)列的極限,考察當(dāng)n時(shí)，通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì)。,數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：,隨著項(xiàng)數(shù)n的變化,通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì),也就是,例 如,趨勢(shì)不定,數(shù)列,的極限定義：,則稱(chēng)常數(shù),為該數(shù)列的極限。,記作,或,（lim來(lái)自于英文單詞“l(fā)imit”極限）,給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)A,常數(shù) 0 稱(chēng)為此數(shù)列的極限,記作：,例：,0,極限不存在,例：,收 斂,發(fā) 散,如果一個(gè)數(shù)列的極限存在,則稱(chēng)該 數(shù)列是收斂(converge)； 如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在,則稱(chēng)該 數(shù)列是發(fā)散(diverge)。,1,課堂練習(xí)：判別下列數(shù)列是否收斂,1,數(shù)列收斂,函數(shù) 值 隨著自變量x的變化而變化,2.1.2函數(shù)的極限,(limit of function),研究函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量按照某種方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)。,二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,變化趨勢(shì)?,變化趨勢(shì)?,一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,時(shí),函數(shù)f(x)的極限（變化趨勢(shì)）,1、,時(shí),函數(shù)f(x)的極限,例：,y,y=f(x) 0,0,-,y,(X0),y=f(x) 0,y=f(x) 0,時(shí),函數(shù)f(x)的極限,定義2.2：設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)X無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)X趨于正無(wú)窮時(shí)， f(x) 以A為極限，,1.,時(shí),函數(shù)f(x)的極限,記為,定義2.2：設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)X0,而|X|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)X趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)， f(x) 以A為極限，,2.,時(shí),函數(shù)f(x)的極限,記為,定義2.2:設(shè)函數(shù) ，如果自變量X可取正值也可取負(fù)值，X的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)X趨于無(wú)窮時(shí)， f(x) 以A為極限，,3.,時(shí),函數(shù)f(x)的極限,記為,例,不存在,0,正弦函數(shù),不存在,例7 討論當(dāng) 時(shí)，函數(shù),二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,的變化趨勢(shì),f(x) 變化趨勢(shì)?,為有限值,1,x2 , f(x) 4（22）,例8,x1 , f(x) 2,討論函數(shù),x1,函數(shù)值的變化趨勢(shì),定義2.3：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0 可以除外)有定義，如果當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于x0(但xx0)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)固定常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x趨于x0時(shí)，函數(shù)以A為極限，,記作,函數(shù)極限定義：,上例可記作,函數(shù)極限定義的注意點(diǎn),1、鄰域內(nèi)有定義（xx0）,不存在,2、 x無(wú)限趨近于x0,例：,0,圖象,例,（課后思考：函數(shù)極限存在的充分必要條件）,不存在,X從右測(cè)接近于0，y+,X從左測(cè)接近于0，y-,根據(jù)定義可以證明：以下的極限均成立,C,-、數(shù)列 的極限：,給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)A則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。,-、數(shù)列 的極限：,記作,或,給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)A則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。,設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0 可以除外)有定義，如果當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于x0(但xx0)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)固定常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x趨于x0時(shí)，函數(shù)以A為極限。,二、函數(shù) y=f(x)的極限：,記作,小結(jié),思考練習(xí)題,2、已知函數(shù),討論,是否存在？,1、求下列極限的值,3.單側(cè)極限 - 左極限與右極限,左極限 :,如果當(dāng) 從,的左側(cè)無(wú)限趨近,時(shí),記著,函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)當(dāng),時(shí)的左極限。記作,類(lèi)似可定義右極限 :,函數(shù)的左極限和右極限 統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。,對(duì)數(shù)函數(shù),例如：,定理1.1：,當(dāng) 時(shí),函數(shù) 極限存在的 充要條件是左、右極限存在且相等， 即,例6. 設(shè)函數(shù),討論,時(shí),的極限是否存在 .,解: 利用定理,因?yàn)?顯然,所以,不存在 .,例7 問(wèn)a為何值時(shí),所給函數(shù)x=2處極限存在。,解：左極限,右極限,欲函數(shù)在x=2處極限存在，必須左極限,等于右極限，,即a=8,思考： 1)研究函數(shù)極限時(shí),是否要考慮f(x)在x=x0時(shí)的性態(tài)？為什么？ 2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,當(dāng)x趨于x0時(shí),f(x)的極限存在嗎？ 3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)來(lái)判斷當(dāng)x趨于x0 時(shí),f(x)的極限不存在？,？,4)若極限,是否一定有,？,常