命題及其關(guān)系、充分條件與必要條(2).ppt

1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,3充分條件與必要條件 (1)如果pq，則p是q的 ，q是p的 ； (2)如果pq，qp，則p是q的 4反證法與證命題的逆否命題 反證法首先 ，即假定結(jié)論 由此出發(fā)直至推出 、 ；證命題的逆否命題，即由 的否定推出 的 ,充分條件,必要條件,充要條件,否定結(jié)論,不成立,與題設(shè)、定義,定理相矛盾,結(jié)論,題設(shè),否定,1 已知p是r的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q 是s的必要條件 現(xiàn)有下列命題： s是q的充要條件；p是q的充分條件，而不是必要條件；r是q的必要條 件， 而不是充分條件；綈p是綈s的必要條件， 而不是充分條件；r是s的 充分條件，而不是必要條件 則正確命題的序號(hào)是( ) A B C D,解析：由已知條件可知： ，則sq；p q；又p s， 則綈s 綈p，因此為正確命題 答案：B,2若集合P1,2,3,4，Q x|0x5, xR，則( ) A“xP”是“xQ”的充分條件但不是必要條件 B“xP”是“xQ”的必要條件但不是充分條件 C“xP”是“xQ”的充分必要條件 D“xP”既不是“xQ”的充分條件也不是“xQ”的必要條件 答案：A,3(2009重慶)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是( ) A“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 答案：B,4“2”是“函數(shù)ysin(x)的最小正周期為”的( ) A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 解析：本題考查充分必要條件；由于ysin(x)的最小正周期為 T ，故其最小正周期若為，則2，故2是其最小周期為 的充分但不必要條件 答案：A,5一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)，則這個(gè)整數(shù)是偶數(shù)；是無(wú)理數(shù)；經(jīng)過平面 內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線一定不在平面內(nèi)；若向量a、b是平面向量的 一組基底，則ab與ab也是平面向量的一組基底 其中正確命題的代號(hào)是_ 解析：可用反證法證明，都為正確命題 答案：,【例2】 若ab0，試證a3b3aba2b20成立的充要條件是ab1. 證明：先證必要性：a3b3aba2b20， (ab)(a2abb2)(a2abb2)0，即(ab1)(a2abb2)0， 又ab0， a2abb2 0，因此ab10，即ab1. 再證充分性：ab1，即ab10，(ab1)(a2abb2)0. 即a3b3aba2b20.,變式2.已知a、b是實(shí)數(shù)，求證：a4b42b21成立的充分條件是a2b21.該條件 是否為必要條件？試證明你的結(jié)論 證明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2 a2b21. 即a4b42b21成立的充分條件是a2b21. 另一方面又a4b42b21，即為a4(b42b21)0.a4(b21)20， (a2b21)(a2b21)0，又a2b210，a2b210，即a2b21. 因此a2b21既是a4b42b21的充分條件，也是a4b42b21的必要條件.,“正難則反”是常見的數(shù)學(xué)思想方法，比如證明一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)、一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)等問題時(shí)，可考慮使用反證法，反證法在立體幾何定理的推導(dǎo)過程中也有著較為廣泛的應(yīng)用,【例3】已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a、bR，對(duì)命題“若ab0， 則f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論； (2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論,解答：(1)逆命題是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0為真命題 用反證法證明：假設(shè)ab0，則ab，ba. f(x)是(，)上的增函數(shù)，則f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b)，這與題設(shè)相矛盾，所以逆命題為真 (2)逆否命題：若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0為真命題 因?yàn)樵}它的逆否命題，所以證明原命題為真命題即可 ab0，ab，ba. 又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命題為真,變式3. 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和 (1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？ 解答：(1)證明：證法一：(反證法)若Sn是等比數(shù)列， 則 S1S3，即 a10，(1q)21qq2，即q0與q0矛盾，故Sn不是等比數(shù)列,證法二：只需證明SnSn2 ，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1， SnSn2 Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10. 故Sn不是等比數(shù)列 (2)當(dāng)q1時(shí)，Sn是等差數(shù)列當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列， 否則S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2) a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0與q0矛盾.,1對(duì)命題正誤的判斷，正確的命題要加以論證；不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式在判斷命題正誤的過程中，要注意簡(jiǎn)單 命題與復(fù)合命題之間的真假關(guān)系；要注意命題四種形式之間的真假關(guān)系 2在充分條件、必要條件和充要條件的判斷過程中，可利用圖示這種數(shù)形結(jié)合的思想方法；在證明充要條件時(shí)，首先要弄清充分性和必要性 3特殊情況下如果命題以p：xA，q：xB的形式出現(xiàn)，則有：(1)若AB，則p 是q的充分條件；(2)若BA，則p是q的必要條件；(3)若AB，則p是q的充要條件,【方法規(guī)律】,（了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義/理解全稱量詞與存在量詞的意義/能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定 ）,1.3 邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞,1命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞 2用來(lái)判斷復(fù)合命題的真假的真值表,真,假,假,假,3. 全稱量詞與存在量詞 (1)常見的全稱量詞有：“任意一個(gè)”、“一切”、“每一個(gè)”、“任給”、 “所有的”等 (2)常見的存在量詞有：“存在一個(gè)”、“ 有一個(gè)”、“有些”、“有一 個(gè)”、“某個(gè)”、“有的”等 (3)全稱量詞用符號(hào)“ ”表示；存在量詞用符號(hào)“”表示 4全稱命題與特稱命題 (1)含有 量詞的命題叫全稱命題 (2)含有 量詞的命題叫特稱命題,至少,全稱,存在,5命題的否定 (1)全稱命題的否定是 命題；特稱命題的否定是 命題 (2)p或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.,特稱,全稱,1已知命題p：xR，sin x1，則( ) A綈p：xR，sin x1 B綈p：xR，sin x1 C綈p：xR，sin x1 D綈p：xR，sin x1 解析：命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題 答案：C,2設(shè)p、q是兩個(gè)命題，則復(fù)合命題“pq為真，pq為假”的充要條件是( ) Ap、q中至少有一個(gè)為真 Bp、q中至少有一個(gè)為假 Cp、q中有且只有一個(gè)為真 Dp為真、q為假 答案：C,3下列命題： 有的實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；有些三角形不是等腰三角形；有的菱 形是正方形；2x1(xR)是整數(shù)；對(duì)所有的xR，x3；對(duì)任意 一個(gè)xZ,2x21為奇數(shù) 其中假命題的個(gè)數(shù)為( ) A1 B2 C3 D5 答案：B,4下列命題的否定錯(cuò)誤的是( ) Ap：能被3整除的數(shù)是奇數(shù)；綈p：存在一個(gè)能被3整除的數(shù)不是奇數(shù) Bp：任意四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；綈p：存在一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓 Cp：有的三角形是正三角形；綈p：所有的三角形都不是正三角形 Dp：xR，x22x20，綈p：當(dāng)x22x20時(shí)，xR 答案：D,判斷命題真假的一般步驟： (1)首先確定新命題的構(gòu)成形式； (2)判斷出用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的每個(gè)命題的真假； (3)根據(jù)真值表判斷這個(gè)復(fù)合命題的真假,【例1】 判斷下列命題的真假 (1) 屬于集合Q，也屬于集合R； (2)矩形的對(duì)角線互相垂直或相等； (3)不等式|x2|0沒有實(shí)數(shù)解,思路點(diǎn)撥：先確定組成復(fù)合命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題的真假 解答：(1)此命題為“pq”的形式，其中p： Q，q： R，因命題p為假命題，命題q為真命題，所以命題“pq”為假命題故原命題為假命題 (2)此命題為“pq”的形式，其中p：矩形的對(duì)角線互相垂直，q：矩形的對(duì)角線相等，因命題p為假命題，命題q為真命題，所以pq為真命題，故原命題為真命題 (3)此命題是“綈p”的形式，其中p：不等式|x2|0有實(shí)數(shù)解因?yàn)閤2是該不等式的一個(gè)解，所以命題p為真命題，即綈p為假命題所以原命題為假命題.,1. 要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判斷全稱命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)xx0，使得p(x0)不成立即可 2要判斷一個(gè)特稱命題為真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè) xx0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題,【例2】 判斷以下命題的真假： (1)xR，x2x10； (2)xQ， 是有理數(shù)； (3)，R，使sin()sinsin； (4)x，yZ，使3x2y10； (5)a，bR，方程axb0恰有一個(gè)解 思維點(diǎn)撥：(1)(2)(5)中含全稱量詞，使每一個(gè)x都成立才為真；(3)(4)中含 特稱量詞，存在一個(gè)x0成立即為真,解答：(1)x2x1 ，命題為真命題 (2)真命題 (3)0時(shí)，sin()0，sin sin 0， sin()sin sin，命題為真命題 (4)xy10時(shí)，3x2y10，命題為真命題 (5)a0，b1時(shí)，axb10，a0，b1時(shí)，axb0無(wú)解， 命題為假命題,變式2. (2009遼寧)下列4個(gè)命題 p1：x(0，)， ；p2：x(0,1)， p3：x(0，)， ；p4：x ， 其中的真命題是( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4,解析：對(duì)于p1，當(dāng)x(0，)時(shí)，總有 成立，故是假命題；對(duì)于p2，當(dāng)x 時(shí)，1 成立，故是真命題；對(duì)于p3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y 與對(duì)數(shù)函數(shù) 在(0，)上的圖象可以判斷其是假命題；對(duì)于p4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y 與對(duì)數(shù)函數(shù) y 在 上的圖象可以判斷其是真命題 答案：D,對(duì)一個(gè)命題的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而命題的否定，則直接否定結(jié)論即可(2)要判斷“綈p”的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假，利用p與“綈p”的真假相反判斷,【例3】 寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假 (1)p：xR，x2x 0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x20； (4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x310. 思維點(diǎn)撥：解決這類問題一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，從量詞的 否定入手，書寫命題的否定,解答：(1)綈p：xR，x2x 0，是假命題， 這是因?yàn)閤R， 恒成立 (2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題 (3)綈r：xR，x22x20，真命題，這是由于xR，x22x2 (x1)2110成立 (4)綈s：xR，x310，假命題這是由于x1時(shí)，x310.,1一個(gè)命題的否定與否命題的區(qū)別 否命題與命題的否定不是同一概念，否命題是對(duì)原命題“若p則q”既否定其 條件，又否定其結(jié)論；而命題p的否定即非p，只是否定命題的結(jié)論 命題的否定與原命題的真假總是相對(duì)立的，即一真一假；而否命題與原命題的真假無(wú)必然聯(lián)系 另外，在寫“非p”形式時(shí)常用以下表格中的否定詞語(yǔ)：,【方法規(guī)律】,2. 邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合間的關(guān)系 邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補(bǔ)集有著相近的關(guān)系，要注 意類比其中對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的理解是難點(diǎn)(“或”有三層含義，以“p或q為真” 為例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立).,(2009寧夏、海南)有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題： p1：xR， ；p2：x，yR，sin(xy)sin xsin y； p3：x0，, sin x；p4：sin xcos yxy . 其中的假命題是(