《電磁場理論》練習題與參考答案版.doc

19電磁場理論練習題 第12章 矢量分析 宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1. 設：直角坐標系中，標量場的梯度為，則M（1，1，1）處= ， 0 。2. 已知矢量場，則在M（1，1，1）處 9 。3. 亥姆霍茲定理指出，若唯一地確定一個矢量場（場量為），則必須同時給定該場矢量的 旋度 及 散度 。4. 任一矢量場在無限大空間不可能既是 無源場 又是 無旋場 ，但在 局部空間 可以有 以及 。5. 寫出線性和各項同性介質(zhì)中場量、所滿足的方程（結(jié)構(gòu)方程）： 。6. 電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為 和 。7. 設理想導體的表面A的電場強度為、磁場強度為，則（a）、皆與A垂直。（b）與A垂直，與A平行。（c）與A平行，與A垂直。（d） 、皆與A平行。 答案：B8. 兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上，（A）（B）(C) (D) 答案：C9. 設自由真空區(qū)域電場強度，其中、為常數(shù)。則空間位移電流密度（A/m2）為：（a） （b）（c） （d） 答案：C10. 已知無限大空間的相對介電常數(shù)為，電場強度，其中、為常數(shù)。則處電荷體密度為：（a） （b） （c） （d） 答案：d11. 已知半徑為R0球面內(nèi)外為真空，電場強度分布為求（1）常數(shù)B；（2）球面上的面電荷密度；（3）球面內(nèi)外的體電荷密度。Sol. (1) 球面上由邊界條件 得：（2）由邊界條件得： （3）由得： 即空間電荷只分布在球面上。12. 已知半徑為R0、磁導率為m 的球體，其內(nèi)外磁場強度分布為且球外為真空。求（1）常數(shù)A；（2）球面上的面電流密度JS 大小。Sol. 球面上（r=R0）：為法向分量；為法向分量 （1）球面上由邊界條件得：（2）球面上由邊界條件得第3章 靜電場及其邊值問題的解法1. 靜電場中電位f 與電場強度的關系為 ；在兩種不同的電介質(zhì)（介電常數(shù)分別為和）的分界面上，電位滿足的邊界條件為 。2. 若無限大真空中靜電場的電位分布為，則空間電荷分布為 。3. 設無限大真空區(qū)域自由電荷體密度為，則靜電場： 0 ，= -r / e0 。4. 電位f 和電場強度滿足的泊松方程分別為 、 。5. 介電常數(shù)為e 的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場儲能密度為 。6. 對于兩種不同電介質(zhì)的分界面，電場強度的 切向 分量及電位移的 法向 分量總是連續(xù)的。7. 理想導體與電介質(zhì)的界面上，表面自由電荷面密度與電位沿其法向的方向?qū)?shù)的關系為 。8. 如圖，、分別為兩種電介質(zhì)內(nèi)靜電場在界面上的電場強度，e2 = 3e1 ，q1 = 30，則q2 = 60 ， 。（第8題圖） （第9題圖）9. 尺寸為、橫截面為矩形的無限長金屬槽各邊電位分布如圖，內(nèi)部真空、無電荷分布，則齊次邊界條件為 ，若應用分離變量法，則通解中與坐標x有關的函數(shù)為 ，與坐標y有關的函數(shù)為 10. 如圖，兩塊位于x = 0 和 x = d處無限大導體平板的電位分別為0、U0，其內(nèi)部充滿體密度r = r0 (1- e x-d ) 的電荷（設內(nèi)部介電常數(shù)為e0）。（1）利用直接積分法計算0 x a各點的電位分布。Sol. 空間電荷對導體表面上部空間場分布的影響等效于：無限大接地導體平面 + 接地導體球邊界條件：使，引入鏡像電荷：使，引入鏡像電荷：z軸上z a各點的電位： 13. 已知接地導體球半徑為R0 ，在x軸上關于原點（球心）對稱放置等量異號電荷+q、-q ，位置如圖所示。利用鏡像法求（1）鏡像電荷的位置及電量大??；（2）球外空間電位；（3）x軸上x2R0各點的電場強度。Sol. (1) 引入兩個鏡像電荷：，（2）（略）， ，（3）x軸上x2R0各點的電場強度：（第14題圖）14. 已知一半徑為的金屬球電位為，在距其球心處放置一點電荷，試用鏡像法確定鏡像電荷，并寫出球外空間任一點的電位的表示式。Sol. 鏡像電荷：在oq連線上距離o為，電量為鏡像電荷：在球心處，電量為建立坐標系如圖所示，則球外空間任一點的電位為：其中，15. 如圖所示，兩塊半無限大相互垂直的接地導體平面，在其平分線上放置一點電荷q，求（1）各鏡像電荷的位置及電量；（2）兩塊導體間的電位分布。 Sol. （1）， ， ， （2） =（略）其中：第4章 恒定電場與恒定磁場1. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部電荷體密度等于 0 ，凈余電荷只能分布在該導電媒質(zhì)的 表面 上。2. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中， 0 ； 0 。3. 在電導率不同的導電媒質(zhì)分界面上，電場強度和電流密度的邊界條件為： 、 。4. 在電導率為s 的導電媒質(zhì)中，功率損耗密度pc與電場強度大小E的關系為 。5. 恒定磁場的矢量磁位與磁感應強度的關系為 ；所滿足的泊松方程為 。6. 對線性和各項同性磁介質(zhì)（磁導率設為m ），恒定磁場（磁場強度大小為H ）的磁能密度 ，V空間磁能Wm = 。7. 已知恒定電流分布空間的矢量磁位為：，C為常數(shù)，且滿足庫侖規(guī)范。求（1）常數(shù)C ；（2）電流密度；（3）磁感應強度。（直角坐標系中： ）Sol. (1) 庫侖規(guī)范：(2) 由，得：(3) 8. 已知半徑為a的無限長直柱形導體（）的外部為真空，其內(nèi)外磁位分布為：，其中為常數(shù)，為真空磁導率，、為待定常數(shù)。求：（1）、；（2）；（3） 。Sol. （1）柱體內(nèi)外磁場強度分布為：在柱軸線上（）應有限，則：在柱表面上（），即有源區(qū)和無源區(qū)的交界面上：，即得：（2）將、代入的分布式中得：（3）將、代入的分布式中得：由磁位方程可知：9. (P.136. 習題4.2) 在平板電容器的兩個極板間填充兩種不同的導電媒質(zhì)（和），其厚度分別為和。若在兩極板上加上恒定的電壓。試求板間的電位、電場強度、電流密度以及各分界面上的自由電荷密度。Sol. 用靜電比擬法計算。用電介質(zhì)（e1和e2）替代導電媒質(zhì)，靜電場場強分別設為E1、E2 電位移：靜電比擬： ，則導電媒質(zhì)中的恒定電場： 可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為非等量異號。只有理想電容器才有電容定義。10. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a 、2a ，電導率為s 。如圖建立圓柱坐標，若電位（常量）及。求（1）導電媒質(zhì)上電位分布 以及恒定電場的電場強度；（2）該情況下導電媒質(zhì)的直流電阻R 。（第9題 圖）Sol. 由邊界條件可知，導電媒質(zhì)上電位僅與坐標有關，即（1） 由及得：（2） 直流電阻：11. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a 、2a ，電導率為s 。如圖建立圓柱坐標，若電位（常量）及。求（1）導電媒質(zhì)上電位分布以及導電媒質(zhì)上恒定電場的電場強度；（2）該情況下導電媒質(zhì)的直流電阻R 。Sol. 由邊界條件可知，導電媒質(zhì)上電位僅與坐標有關，即（第10題 圖）（1） 由及得：（2） 直流電阻：第5章電磁波的輻射1. 時諧場復數(shù)形式的Maxwell方程中兩個旋度方程為 。2. 坡印亭矢量的瞬時表示式是 ，時諧場中坡印亭矢量的平均值是 。3. 坡印亭定理的物理意義是 。4. 自由空間中時變電磁場的電場滿足的波動方程為，這個方程在正弦電磁場的情況下變?yōu)?。5. 在無損耗的均勻媒質(zhì)中，正弦電磁場的磁場滿足的亥姆霍茲方程為，其中 A 。(A) (B) (C) (D) 6. 在時變電磁場中，磁感應強度與位的關系為 ，電場強度與位的關系為 . 7. 已知某一理想介質(zhì) 中）時諧電磁場的角頻率為 ，位移電流復矢量為 ，a、b、J0皆為常數(shù)。則電場強度復矢量為（A）（B）（C）（D）答案：B8. 電偶極子天線的功率分布與的關系為 a 。(a) (b) (c) (d) 9. 自由空間的原點處的場源在時刻發(fā)生變化，此變化將在 b 時刻影響到處的位函數(shù)和。（a） ; （b）; (c) ; (d) 任意10. 在球坐標系中，電偶極子的輻射場（遠區(qū)場）的空間分布與坐標的關系是 c （a） （b） (c) (d) 11. 一均勻平面波垂直入射至導電媒質(zhì)中并在其中傳播，則（A）不再是均勻平面波。 （B）空間各點電磁場振幅不變（C）電場和磁場不同相。 （D）傳播特性與波的頻率無關。 答案：C12. 已知真空中某時諧電場瞬時值為。試求電場和磁場復矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所給瞬時值表示式寫成下列形式因此電場強度的復矢量表示為由麥克斯韋方程組的第二個方程的復數(shù)形式可以計算磁場強度的復矢量為功率流密度矢量的平均值等于復坡印廷矢量的實部，即13. 已知真空中時變場的矢量磁位為求：(1) 電場強度和磁場強度；(2) 坡印廷矢量及其平均值。 解：(1) 把矢量磁位的瞬時值表示為則矢量磁位的復數(shù)形式為根據(jù)磁場強度復數(shù)形式與矢量磁位復數(shù)形式之間關系可以求出磁場強度的瞬時值為根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個方程，此時，電場強度與磁場強度之間關系為 電場強度的瞬時值為(2) 坡印廷矢量為坡印廷矢量的平均值為第6章、均勻平面波的傳播1. 兩個同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波，則它們的振幅 相同 ，相位相差 。2. 均勻平面波垂直入射到理想導體表面上，反射波電場與入射波電場的振幅 相等 ，相位相差 。3. 均勻平面波從空氣垂直入射到無損耗媒質(zhì)表面上，則電場反射系數(shù)為 。4. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度為，則波的傳播方向為 +z ，頻率為 3109 Hz ，波長為 0.1m ，波的極化方式為 沿x方向的線極化波 ，對應的磁場為 ，平均坡印亭矢量為 。5. 均勻平面波電場方向的單位矢量、磁場方向的單位矢量以及傳播方向的單位矢量三者滿足的關系是 。6. 損耗媒質(zhì)的本征阻抗為 ，表明損耗媒質(zhì)中電場與磁場在空間同一位置存在著 相位差，損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質(zhì)又稱為 色散 媒質(zhì)。7. 設海水的衰減常數(shù)為，則電磁波在海水中的透入深度為 ，在此深度上電場的振幅將變?yōu)檫M入海水前的 。若電磁波的工作頻率增加，透入深度則隨之 減小 。8. 在良導體中，均勻平面波的穿透深度為 a 。（a） （b） (c) (d) 9. 在無源的真空中，已知均勻平面波的和，其中的和為常矢量，則必有 c 。(a) ; (b) ; (c) ; (d)10. 下列電場強度所對應的電磁波為線極化方式的是（A）（B）（C） （D） 答案：C11. 以下關于導電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中，正確的是 b 。(a) 不再是平面波 (b) 電場和磁場不同相(c) 振幅不變(d) 以TE波的形式傳播12. 已知空氣中存在電磁波的電場強度為試問：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什么？求此波的頻率、波長、相速以及對應的磁場強度。解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場強度瞬時式可以寫成復矢量該式的電場幅度為，相位和方向均不變，且，此波為均勻平面波。傳播方向為沿著方向。由時間相位波的頻率波數(shù)波長相速由于是均勻平面波，因此磁場為13. 在無界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場強度為，已知介質(zhì)的，求，并寫出的表達式。解：根據(jù)電場的瞬時表達式可以得到，而電場強度的瞬時式可以寫成復矢量為波阻抗為，則磁場強度復矢量為因此磁場為14. 銅的電導率，。求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、波長、透入深度及其波阻抗。 (1) ；(2) ；(3) 解：已知和，那么(1) 當時，則銅看作良導體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為相速：波長：透入深度：波阻抗：(2) 當時，則銅仍可以看作為良導體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為相速：波長：透入深度：波阻抗：(3) 當時，則銅看作良導體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為相速：波長：透入深度：波阻抗：15. 海水的電導率，求頻率為10 kHz、10 MHz和10 GHz時電磁波的波長、衰減常數(shù)和波阻抗。解：已知和，那么。(1) 當時，則海水可看作良導體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為相速：波長：透入深度：波阻抗：(2) 當時，則海水也可近似看作良導體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為相速：波長：透入深度：波阻抗：(3) 當時，則海水也可近似看作弱導電媒質(zhì)