高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章不等式第42講基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案理.docx

第42講基本不等式及其應(yīng)用考試要求1.基本不等式的證明過(guò)程(A級(jí)要求)；2.利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題(C級(jí)要求).應(yīng)關(guān)注利用基本不等式把等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后研究最值問(wèn)題.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)當(dāng)a0，b0時(shí)，.()(2)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是相同的.()(3)函數(shù)yx的最小值是2.()(4)函數(shù)f(x)sin x的最小值為2.()(5)x0且y0是2的充要條件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的條件是a，bR；不等式成立的條件是a0，b0.(3)函數(shù)yx值域是(，22，)，沒(méi)有最小值.(4)函數(shù)f(x)sin x的最小值為5.(5)x0且y0是2的充分條件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_(kāi).解析x0，y0，即xy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81.答案813.(教材改編)若0x1，則的取值范圍是_.解析由0x0，故，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，上式等號(hào)成立.00，y0，x2y1，所以(x2y)123232，當(dāng)且僅當(dāng)x22y2時(shí)取得最小值32.答案325.(教材改編)若x(0，)，則sin x2；若a，b(0，)，則lg alg b2；若xR，則4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.解析因?yàn)閤(0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1時(shí)才成立；|x|24，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)“”成立.答案知 識(shí) 梳 理1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).(3)適用于求含兩個(gè)代數(shù)式的最值.2.幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同號(hào)).(3)ab，(a，bR).(4)(a，bR).(以上不等式要根據(jù)條件合理選擇其中之一)以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)兩者相等.4.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值(簡(jiǎn)記：和定積最大).考點(diǎn)一利用基本不等式求最值(多維探究)命題角度1配湊法求最值【例11】 (1)已知0x1，則x(43x)取得最大值時(shí)x的值為_(kāi).(2)已知x1)的最小值為_(kāi).解析(1)x(43x)(3x)(43x)，當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即x時(shí)，取等號(hào).(2)因?yàn)閤0，則f(x)4x2(54x)3231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)4x2的最大值為1.(3)由于x1，故y(x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，等號(hào)成立.答案(1)(2)1(3)22命題角度2常數(shù)代換或消元法求最值【例12】 (1)(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x2yxy0，則x2y的最小值為_(kāi).(2)(一題多解)(2018南京模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi).(3)(2017蘇州期末)已知ab，a，b(0，1)，那么的最小值為_(kāi).解析(1)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4，y2時(shí)等號(hào)成立.(2)法一(消元法)由已知得x.因?yàn)閤0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3(y1)，即y1，x3時(shí)，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)等號(hào)成立.設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時(shí)，(x3y)min6.(3)因?yàn)閎，a(0，1)，所以22.令2a1t，則a，原式2224，當(dāng)且僅當(dāng)t，即a(0，1)時(shí)取等號(hào)，故原式的最小值為4.答案(1)8(2)6(3)4規(guī)律方法(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿(mǎn)足等號(hào)成立的條件.(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.易錯(cuò)警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致.【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x3y5xy，則3x4y的最小值是_.(2)設(shè)ab2，b0，則取最小值時(shí)，a的值為_(kāi).解析(1)法一由x3y5xy及x，y均為正數(shù)可得1，3x4y(3x4y)5.(當(dāng)且僅當(dāng)，即x1，y時(shí)，等號(hào)成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立，(3x4y)min5.(2)ab2，b0，21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又ab2，b0，當(dāng)b2a，a2時(shí)，取得最小值.答案(1)5(2)2考點(diǎn)二基本不等式的綜合應(yīng)用【例2】 (1)設(shè)x，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi).(2)設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，P是棱AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，且點(diǎn)P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則的最小值是_.解析(1)由題意得z2xy，lg x0，lg y0，2，當(dāng)且僅當(dāng)，即lg y2lg x，即yx2時(shí)取等號(hào).(2)過(guò)點(diǎn)A作AO平面BCD于點(diǎn)O，則O為BCD的重心，所以O(shè)B，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以(xy)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3，y1時(shí)取等號(hào).答案(1)(2)2規(guī)律方法(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.【訓(xùn)練2】 (1)(2018泰州模擬)已知ab1且2logab3logba7，則a的最小值為_(kāi).(2)(2018蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy0，則的最大值為_(kāi).解析(1)因?yàn)?logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab或logab3，因?yàn)閍b1，所以logab(0，1)，故logab，從而b，因此aa(a1)13，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立.(2)因?yàn)閤y0，所以11142，當(dāng)且僅當(dāng)，即x22y2時(shí)取等號(hào).答案(1)3(2)42考點(diǎn)三利用基本不等式解決恒成立及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例31】 若不等式x2a(xy)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi).解析由題意得a恒成立.令t(t0)，則a，再令12tu(u1)，則t，故a.因?yàn)閡2(當(dāng)且僅當(dāng)u時(shí)等號(hào)成立)，故u222，從而00，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為_(kāi).(2)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對(duì)于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.解析(1)由，得m(a3b)6.又a0，b0，所以62612(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，m12，m的最大值為12.(2)對(duì)任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.設(shè)g(x)x，xN*，則g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范圍是.答案(1)12(2)規(guī)律方法(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問(wèn)題：通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.【訓(xùn)練3】 (2018蘇北四市聯(lián)考)如圖，墻上有一壁畫(huà)，最高點(diǎn)A離地面4 m，最低點(diǎn)B離地面2 m，觀察者從距離墻x(x1)m，離地面高a(1a2)m的C處觀賞該壁畫(huà)，設(shè)觀賞視角ACB. (1)若a1.5，問(wèn)：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大？(2)若tan ，當(dāng)a變化時(shí)，求x的取值范圍.解(1) 當(dāng)a1.5時(shí)，過(guò)C作AB的垂線，垂足為D，則BD0.5，且ACDBCD，由已知觀察者離墻x m，且x1，則tanBCD，tanACD，所以tan tan(ACDBCD)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào).又tan 在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)觀察者離墻 m時(shí)，視角最大.(2)由題意得tanBCD，tanACD，又tan ，所以tan tan(ACDBCD)，所以a26a8x24x.當(dāng)1a2時(shí)，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4，因?yàn)閤1，所以3x4.所以x的取值范圍是3，4.一、必做題1.(教材改編)已知a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的序號(hào)是_.a2b22ab；ab2；2.解析因?yàn)閍2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)閍b0，所以22.對(duì)于，當(dāng)a0，b0時(shí)，明顯錯(cuò)誤.答案2.(教材改編)用長(zhǎng)為16 cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則所圍成的矩形的最大面積是_ cm2.解析設(shè)矩形長(zhǎng)為x cm(0x0，8x0，可得S16，當(dāng)且僅當(dāng)x8x，即x4時(shí)，Smax16.所以矩形的最大面積是16 cm2.答案163.當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)有最_值，為_(kāi).解析由于x0，所以f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào).答案大14.(2018鹽城模擬)函數(shù)y的最小值為_(kāi).解析y2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x0時(shí)，y取到最小值2.答案25.某民營(yíng)企業(yè)的一種電子產(chǎn)品，2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎(chǔ)上增長(zhǎng)率為a；2016年計(jì)劃在2015年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)率為b(a，b0)，若這兩年的平均增長(zhǎng)率為q，則q與的大小關(guān)系是_.解析設(shè)2014年的年產(chǎn)量為1，則2016年的年產(chǎn)量為(1a)(1b)，(1q)2(1a)(1b)，1q1，q，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”.答案q6.(2017天津卷)若a，bR，ab0，則的最小值為_(kāi).解析4ab24(前一個(gè)等號(hào)成立條件是a22b2，后一個(gè)等號(hào)成立的條件是ab，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)取得，則當(dāng)且僅當(dāng)a2，b2時(shí)取等號(hào)).答案47.設(shè)f(x)x2x1，g(x)x21，則的取值范圍是_.解析1，當(dāng)x0時(shí)，1；當(dāng)x0時(shí)，11；當(dāng)x0，解得a1.同理可得b1，9(a1)26，當(dāng)且僅當(dāng)9(a1)，即a時(shí)等號(hào)成立，最小值為6.答案69.(2018揚(yáng)州一模)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為_(kāi).解析由已知得zx23xy4y2，(*)則1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.答案110.已知函數(shù)f(x)(xa，a為非零常數(shù)).(1)解不等式f(x)a時(shí)，f(x)有最小值為6，求a的值.解(1)f(x)x，即x，整理為(ax3)(xa)0時(shí)，(xa)0，解集為；當(dāng)a0，解集為.(2)設(shè)txa，則xta(t0).f(t)t2a22a22a.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t時(shí)，等號(hào)成立，即f(x)有最小值22a.依題意有22a6，解得a1.二、選做題11.(一題多解)(2018南通模擬)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足y21，則3x22xy的最小值是_.解析法一因?yàn)閥21，所以3x22xy，令k，則3x22xy，再令t32k(2，4)，則k，故3x22xy64，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)等號(hào)成立.法二令t3x22xy，則y，代入方程y21并化簡(jiǎn)得8x4(46t)x2t20，令ux24，則8u2(46t)ut20在4，)上有解，從而由得t212t40，解得t64，當(dāng)取得最小值時(shí)，u2 滿(mǎn)足題意.法三因?yàn)閥21，所以令yt，則y，從而則3x22xy62t264，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)等號(hào)成立.答案6412.(2018南京模擬)一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形田地ABCD來(lái)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連接AE，EF，F(xiàn)A，使得EAF45.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)，AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生