人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)14.2.2完全平方公式 教案

第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式第二課時(shí) 14.2.2完全平方公式1 教學(xué)目標(biāo)1.1 知識(shí)與技能：1 熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。2 掌握完全平方公式的相關(guān)推論。1.2過程與方法 ：1 經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并會(huì)根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)完全平方公式。2 會(huì)結(jié)合幾何圖形直觀解釋這一公式，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。1.3 情感態(tài)度與價(jià)值觀 ：1 在數(shù)學(xué)運(yùn)算中培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木袼仞B(yǎng)。2 培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、勇于探求科學(xué)規(guī)律的意識(shí)。2 教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/易考點(diǎn)2.1 教學(xué)重點(diǎn)1 完全平方公式的結(jié)構(gòu)及靈活運(yùn)用。2.2 教學(xué)難點(diǎn)1 理解公式中字母的廣泛含義（可以是數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）。2 a，b，a+b，ab，ab， a2+b2，六者的關(guān)系。3 專家建議完全平方公式這一節(jié)內(nèi)容在整個(gè)初中數(shù)學(xué)乃至學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位，它直接和因式分解，一元二次方程，二次函數(shù)等內(nèi)容相關(guān)，尤其是a，b，a+b，ab，ab， a2+b2六者的關(guān)系將在后續(xù)數(shù)學(xué)課程中非常多地見到。盡管教材內(nèi)容有限，但出于擴(kuò)展、深入講解的要求，并考量之前剛剛學(xué)習(xí)過平方差公式，本節(jié)分為兩課時(shí)講述非常必要。這一課時(shí)最好只涉及完全平方公式的內(nèi)容，給學(xué)生降低臺(tái)階，使學(xué)生能充分認(rèn)知新公式。4 教學(xué)方法情景引入探索新知概念延伸補(bǔ)充講解練習(xí)提高5 教學(xué)用具多媒體。6 教學(xué)過程6.1 引入新課【師】同學(xué)們好。上次課我們學(xué)習(xí)了平方差公式，大家還記得嗎？ 【生】(a+b)(ab)=a2b2 【師】沒錯(cuò)。平方差公式可以看做是一類特殊的多項(xiàng)式相乘得到的結(jié)果，那我們今天繼續(xù)來學(xué)習(xí)另外一類特殊的多項(xiàng)式完全平方公式。【板書】第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式6.2 新知介紹1 情景引入：擴(kuò)建花壇【師】正課開始之前，我們先來看這樣一個(gè)實(shí)際生活中的問題，請(qǐng)大家看投影。學(xué)校為了美化環(huán)境，決定把原來的一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形花壇擴(kuò)大。擴(kuò)建完的花壇仍為正方形，邊長(zhǎng)增加b米。那新修建的花壇面積可以怎么表示呢？給大家兩分鐘時(shí)間想一想，學(xué)習(xí)小組之間可以交流和思考一下?！旧浚▋煞昼娝伎冀涣?，給出答案）。整個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(a+b)，因此面積可以表示為(a+b)2。將整個(gè)正方形分為四部分，面積可以表示為a2+2ab+b2?！編煛看蠹覐膭偛胚@個(gè)例子中能得到什么樣的猜想呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。2 探索和介紹：完全平方公式【師】大家剛才提出了一個(gè)猜想，那下面請(qǐng)看投影上給出的多項(xiàng)式的乘法，大家按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，把結(jié)果算出來。(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。(m+2)2= 。【生】（計(jì)算并給出答案）?！編煛楷F(xiàn)在大家觀察一下這兩個(gè)等式，有什么共同的特點(diǎn)嗎？【生】左邊都是兩個(gè)完全相同的和相乘，右面是兩個(gè)平方項(xiàng)的和加上一個(gè)單項(xiàng)式?！編煛糠浅：谩Ｄ沁@樣的話，我們可以抽象出下面這個(gè)通式，它包括了剛才各位提出的式子的特點(diǎn)。請(qǐng)大家算一算：(a+b)2等于多少?！旧康贸龃鸢福?a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 【師】好了，大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b。這正好印證了大家剛才的猜想。這就是兩數(shù)和的完全平方公式，也就是說兩數(shù)和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，加上這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍。（板書并介紹概念）【板書/PPT】一、完全平方公式1.(a+b)2= a2+2ab+b2【師】那我們接著來看下面一組多項(xiàng)式，請(qǐng)大家算出它們的結(jié)果。(p1)2= (p1)(p1) = 。(m2)2= ?！旧浚ㄓ?jì)算并給出答案）。【師】這一組多項(xiàng)式和剛才有什么區(qū)別嗎？【生】左邊變成完全相同的兩個(gè)差相乘，右面變成了兩個(gè)平方項(xiàng)的和減去一個(gè)單項(xiàng)式。【師】非常好。那這樣的話，請(qǐng)直接根據(jù)剛才的兩數(shù)和的完全平方公式，大家算一算：(ab)2等于多少?！旧康贸龃鸢福?ab)2=a+(b)2=a2+2a(b)+(b)2 =a22ab+b2 【師】好了，大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(ab)2=a22ab+b2，這就是兩數(shù)差的完全平方公式，也就是說兩數(shù)差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，減去這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍。（板書并介紹概念）【板書/PPT】(ab)2= a22ab+b2【師】剛才我們直觀地用圖形表示了兩數(shù)和的完全平方公式，那下面大家能仿照剛才的方法，用旁邊這幅圖，直觀說明(ab)2= a22ab+b2嗎？?！旧浚ńo出答案，跟之前的例子類似，這里略）【師】我們剛才介紹的這一組公式，可以簡(jiǎn)寫成(ab)2= a22ab+b2 ，這一組公式就叫做完全平方公式。（板書給出概念，以及記憶口訣）【板書/PPT】2. 簡(jiǎn)寫：(ab)2= a22ab+b2 ，完全平方公式巧記：首平方，尾平方，積的2倍放中央，中間符號(hào)同前方。【師】請(qǐng)大家注意完全平方的形式。這里的(ab)2和a2b2是有很大區(qū)別的。(ab)2讀作a與b的和（或差）的平方。a2b2讀作a與b的平方的和（或差）。(ab)2先算和差，再平方； a2b2先算各自的平方，再求和。另外，若a0且b0，則(ab)2a2b2，也就說，通常情況下，這兩個(gè)式子不相等！3 邊學(xué)邊練：相關(guān)例題講解【師】（教師給出教材110頁例題3和4的四個(gè)小題，并給出答案，這里注意強(qiáng)調(diào)學(xué)生怎樣對(duì)應(yīng)運(yùn)用公式，并可以指出公式里的a，b還可以是數(shù)字，用于簡(jiǎn)化計(jì)算）。4 完全平方公式的變號(hào)法則?！編煛亢昧?，下面大家來思考這樣一組問題（教材110頁思考）。u (a+b)2和(ab)2相等嗎？u (ab)2和(ba)2相等嗎？u (a+b)2和(ab)2相等嗎？大家可以自己動(dòng)手算一算，或者簡(jiǎn)單一點(diǎn)的話，我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)的時(shí)候曾經(jīng)講到過，(ab)和(ba)的關(guān)系，可以聯(lián)想并得到答案?！旧慷枷嗟?，因?yàn)椋?ab)2=(a)22(a)b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(ba)2=b22ab+a2=a22ab+b2=(ab)2(a+b)2= (ba)2=(ab)2【師】沒錯(cuò)。那剛才的這幾個(gè)問題就告訴我們，計(jì)算完全平方的結(jié)果時(shí)，最好先把括號(hào)里的首項(xiàng)化為正，這樣便于對(duì)應(yīng)公式。如果我們根據(jù)冪的乘方，就可以把這上面的一組結(jié)論推廣到高次冪上（板書或PPT給出結(jié)論）。【PPT/板書】二、變號(hào)法則及其擴(kuò)展：1. 計(jì)算完全平方的結(jié)果時(shí)，最好先把括號(hào)里的首項(xiàng)化為正，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算。2. 一般規(guī)律：(ab)2k=(a+b)2k ，(a+b)2k=(ab)2k= (ba)2k，其中，k為正整數(shù)【師】下面我們就根據(jù)剛才的這一組結(jié)論，來看下面兩道例題。（給出例題：(2a3b)2，(2x+5)2，并運(yùn)用上述知識(shí)把首項(xiàng)變成正，再按照完全平方公式計(jì)算）5 重要推論【師】下面我們來挑戰(zhàn)一個(gè)稍稍有點(diǎn)難度的題目。大家看，已知：ab，且a+b=3，ab=2，則ab=？大家可以先前后桌思考和討論一下，看看這道題怎么做。【生】（給出答案，思路應(yīng)如下）?！編煛磕歉鶕?jù)剛才的啟發(fā)，下面我們就來給出兩組重要的關(guān)系（板書或PPT）【板書/ppt】三、兩個(gè)重要關(guān)系1. a2+b2=(a+b)22ab=(ab)2+2ab2. (a+b)2(ab)2=4ab3. 知二推四：a，b，a+b，ab，ab， a2+b2【師】一般地，在a，b，a+b，ab，ab， a2+b2中，只要能夠知道其中兩個(gè)的式子取值，就能夠根據(jù)完全平方公式，求出另外四個(gè)式子的值！6 課堂小結(jié)（投影，給出知識(shí)脈絡(luò)圖）6.3 復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置1 課堂練習(xí)1. 利用完全平方公式計(jì)算下列各題(2x+5)2=(4x3y)2 =982=512=2. 計(jì)算(2x1)2(3x+1)23. 若(x1)2=x2+kx+1，則49k的值是多少?4. 解不等式： (2x5)2+(3x+1)213(x210) 5. 已知a+b=2，a2+b2=10，試?yán)猛耆椒焦?，?jiǎn)便地求ab，(ab)，a，b的值。答案：1. 4x220x+25，16x2+24xy+25x2，9604，26012. 原式= 4x24x+1(9x2+6x+1)= 4x24x+19x26x1= 5x210x3. k=2，49k =492=(501)2=2500+1100=24014. 解：(4x210x+25)+(9x2+6x+1)13x2130 4x210x+25+9x2+6x+113x2130 13x24x+2613x2130 4x156 x445. (a+b)2=a2+2ab+b2=4，a2+b2=10，ab=3(ab)2=(a+b)24ab=4+12=16ab=4或4若ab=4，解二元一次方程組，得a=3，b=1同理，若ab=4，則得a=1，b=32 作業(yè)布置1、完成配套課后練習(xí)題2、預(yù)習(xí)提綱：因式分解：公式法7 板書設(shè)計(jì)第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式一、 完全平方公式1. (a+b)2= a2+2ab+b2 (ab)2= a22ab+b2 2. 簡(jiǎn)寫：(ab)2= a22ab+b2 ，完全平方公式巧記：首平方，尾平方，積的2倍放中央，中間符號(hào)同前方。二、 變號(hào)法則及其擴(kuò)展：1. 計(jì)算完全平方的結(jié)果時(shí)，最