人教版講義九年級(jí)第二十四章圓24.3 正多邊和圓

合作探究探究點(diǎn)1 正多邊形的概念知識(shí)講解（1）正多邊形各邊相等.各角也相等的多邊形是正多邊形。（2）注意:邊數(shù)n3的多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”和“各角相等”兩個(gè)條件，才能判定它是正多邊形，缺不可，只有邊數(shù)n一3的多邊形，即正三角形特殊，它滿足任何一個(gè)條件都可以判定其是正三角形，除三角形外，一般在多邊形中，“各邊相等”與“各角相等”這兩個(gè)條件是各自獨(dú)立的，并不能互相推出。典例剖析例1 下列命題中正確的有(1)各邊相等的三角形是正三角形:(2)各角相等的三角形是正三角形:(3)各邊相等的多邊形是正多邊形:(4)各角相等的多邊形是正多邊形，A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析判斷一個(gè)圈形是否是正多邊形，要結(jié)合定義中的“各邊相等“各角相等”。注意正三角形的特殊性，“各邊相等”=“各角相等”.(1)(2)是正確的。(3)與正多邊形的定義不符，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等。(4)各角相等的多邊形也不一定是正多邊形，如短形的各角相等，但長(zhǎng)、寬不一定相等，所以(1)(2)正確，(3)(4)錯(cuò)誤.選擇B答案 B 類題突破1 如右圖，ABC是正三角形，將各邊三等分，設(shè)分點(diǎn)分別為E,F,G,H,K,L,求證：六邊形EFGHKL為正六邊形。答案 ABC為正三角形，A=60，AB=AC。又E,L分別為AB,AC的三等分點(diǎn)。AE=AL. AEL為等邊三角形，AEL=ALE=60,EL=AE,1=2=120.同理可證3=4=5=6=120，F(xiàn)G=BF,HK=CH.六邊形EFGHKL為正邊形。點(diǎn)撥由條件可證明AF2.ABGF.OHKC均為正三角形，可得到六邊形EFGHK2的六個(gè)邊都相等。再利于等邊三角形的角都為60，可證明六邊形EFGHKL的六個(gè)內(nèi)角也都相等，可得結(jié)論。探究點(diǎn)2正多邊形與圓的關(guān)系知識(shí)講解正多邊形與圈的關(guān)系非常密切，把圖分成m(n是大于2的自然數(shù))等份.依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圈的內(nèi)按正邊形，這個(gè)圈就是這個(gè)正多邊形的外接圓。另外，正多邊形與圓的關(guān)系可以這樣表述:把圈分成n(n3)等份依次連接各分點(diǎn)，所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，利用這個(gè)結(jié)論可以判定一個(gè)多邊形是否是正多邊形或作出一個(gè)正多邊形，但注意要“依次連接”，不能亂連，內(nèi)、外是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，如正多邊形的外接圈，是以正多邊形為準(zhǔn)，國在正多邊形外，圈的內(nèi)接正多邊形，則是以因?yàn)闇?zhǔn).正多邊形在圈內(nèi)。正多邊形的邊長(zhǎng)，半徑、邊心距、中心角可以在右圖中表示出來，圖中AB是正多邊形的邊,OA是正移邊形的半徑,OM是正名邊形的邊心距，ZAOB是正多邊形的中心角.由圖知正多邊形的半徑邊心距邊長(zhǎng)的半構(gòu)成直角三角形的三邊，即,利用這個(gè)關(guān)系可以進(jìn)行相關(guān)量的計(jì)算。典例剖析例2如右圖所示，六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,且AB=BC=CD=DE=EF=EA 求證:六邊形ABCDEF為正六邊形，解析 本題只需證其六個(gè)頂點(diǎn)等分O即可，另外，說明一個(gè)多邊形是正多邊形必須同時(shí)滿足各邊相等，各角也相等。答案因?yàn)榱呅蜛BCDEF內(nèi)接于O,又AB=BC=CD=DE=EF=FA所以所以A.B.C,D.E,F六等分O.所以六邊形ABCDEF是正六邊形。 類題突破2如圖所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,則ADB的度數(shù)是( ) A.60 B.45 C.30 D.22.5答案C點(diǎn)撥連接OB，由多邊形是正六邊形可求出AOB的度教，再根據(jù)國周角定理即可求出ADB的度數(shù).探究點(diǎn)3與正多邊形有關(guān)的概念知識(shí)詳解(1)概念(如圖)中心:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊開的中心。正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。中心角:正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.邊心距:中心到正多邊形的一條邊的距離叫做正多邊形的邊心距(2)性質(zhì)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于。正多邊形的中心角等于。正多邊形的中心角與外角相等，注意正多邊形的求解問題常利用半徑，邊心距及邊的一年所組成的直角三角形求解.典例剖析例3已知正六邊形的半徑為R,求正六邊形的邊長(zhǎng)，邊心距和面積。解析正六邊形的中心角為60”，作邊心ROM(如圖)，在RIAOM中，利用30角的性質(zhì)及勾股定理求解。答案如圖，正六邊形邊長(zhǎng)=AB,半徑0A=R,作OMAB于M，設(shè)邊心距OM=r,在RtAOM中， 正六邊形的中心角為60，AOM=30，OA=2AM,而AB=2AM,AB=OA=R.正六邊形的面積類題突破3有一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正n邊形，它的一個(gè)內(nèi)角為120，則其半徑為 （ ） A.4 B.4 C.2D.2答案B點(diǎn)撥根據(jù)正幾邊形的特，點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。 探究點(diǎn)4畫正多邊形知識(shí)詳解(1)用最角器面正多邊形方法一:由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圈心角可以等分圓。方法二:先用量角器畫一個(gè)等于的圓心角，這個(gè)角所對(duì)的孤就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點(diǎn)，順次連接各等分點(diǎn)即得此圓的內(nèi)接正n邊形 (2)用尺規(guī)等分圓正四邊形的作法; 如右圖所示，在OO中,用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑,把00四等分，從而作出正四邊形ABCD.再逐次平分各邊所對(duì)的弧，則可作出正A八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六邊形的作法:如下圖所示，任意作一直徑AB,再分別以A,B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑作弧，與O交于C,D和E.F,則A,C,E,B,F,D為O的六等分點(diǎn)，順次連接各等分點(diǎn)，得到正六邊形ACEBFD. 典例剖析 例4用量角器畫一個(gè)半徑為1.1cm的正五邊形，再作這個(gè)正五邊形的各條對(duì)角線，畫一個(gè)五角星. 解析 用量角器把圓周五等分.答案 如右圖所示(1)畫一個(gè)以任意點(diǎn)O為圓心，以1.1cm長(zhǎng)為半徑的圓;(2)用量角器畫一個(gè)等于的圓心角，得此角所對(duì)的弧;(3)在圓上依次截取這條弧的等弧，得圓的五等分點(diǎn);(4)順次連接各等分點(diǎn)得此圓的內(nèi)接正五邊形;(5)作這個(gè)正五邊形的各條對(duì)角線得五角星方法歸納本題用的是方法二，依次作一個(gè)圓心角所對(duì)的弧的等弧來等分圓。也可以用第一種方法。類題突破4如圖，已知半徑為R的O,用多種工具多種方法作出圓內(nèi)接正三角形。答案方法一:1.用量角器畫圓心角A0B=120，BOC=120 2.連接AB,BC,CA,則ABC為圓內(nèi)接正三角形，(如圖(1)所示)方法二:L用量角器畫圓心角BOC=120.2. 在O上用圓規(guī)截取3.連接AC,BC,AB,則ABC為圓內(nèi)接正三角形，(如圖(2)所示）方法三:1.作直徑AD.2.以D為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，交O于點(diǎn)B.C.3.連接AB,BC,CA，則ABC為圓內(nèi)接正三角形。(如圖(3)所示)點(diǎn)撥選擇工具有直尺、圓規(guī)、量角器，依據(jù)正多邊形與國的關(guān)系，可平分弧或作中心角，先作正六邊形，再作正三角形，重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn) 正多邊形的證明和有關(guān)計(jì)算（1)正邊形的內(nèi)角和是(n-2)180,它有n個(gè)相等的內(nèi)角.因此，正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是.正n邊形有n個(gè)相等的中心角，面這些中心角的和是360，因此，正n形每個(gè)中心角的度數(shù)是正邊形有n個(gè)相等的外角，而這些外角的和是360.因此，正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是,很容易看出：正n邊形的中心角與它的外角大小相等，正n邊形的其他計(jì)算，都?xì)w結(jié)到直角三角形中進(jìn)行(2) 正n邊形的半輕和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.這樣就把正n邊形問題轉(zhuǎn)化成了直角三角形問題了。例 如下圖.M.N分別是0的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD.正五邊形ABCDE.正n邊形ABCDEF.的邊AB.BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM.ON.(1)求圖(1)中MON的度數(shù):(2)圖(2)中MON的度數(shù)是_,圖(3)中MON的度數(shù)是_.(3)試探究MON的度數(shù)與正邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).解析從圓的旋轉(zhuǎn)不變性考慮，連接OB.OC.則OMB旋特120后一定會(huì)與CONC重合的，它的旋轉(zhuǎn)角應(yīng)該等于中心角，答案 (1)解法一:連接OB.0C。正ABC內(nèi)接于O,OBA=OCN+30,BOC=120又BM=CN,OB=OC,OBMOCN.BOM=CON.MON=BOC=120解法二：連接OA,OB.正ABC內(nèi)接于O，AB=BC,OBN=30,AOB=120又BM=CN,AM=BN又OA=OB,AOMBON.AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON=.類題突破 正大邊形的兩條平行邊之間的距離為1.則它的邊長(zhǎng)為A.B.C. D.答案D易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 正多邊形的面積計(jì)算錯(cuò)誤例1 一個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形的外接圓半徑相等，求此正方形與正六邊形的面積之比，錯(cuò)解 正方形和正六邊形的外接圓半徑相等，設(shè)兩正多邊形的外接圓半徑為R,則正方形被對(duì)角線分成兩直角邊都為R的四個(gè)直角三角形，所以正方形的面積為四個(gè)三角形的面積的和，即為;同理，正六邊形也被分成兩直角邊都為R的六個(gè)直角三角形，其面積為，故它們的面積比為2：3. 錯(cuò)因分析誤認(rèn)為正六邊形的分割圖與正方形的分割圖都是等腰直角三角形。 正解正方形的外接圓半徑為R.則共面積為四個(gè)直角邊為R的等腰三角形的面積和，即；正六邊形的面積為六個(gè)邊長(zhǎng)為R的等邊三角形的面積和，即,所以正方形與正六邊形的面積之比為;糾錯(cuò)心得 正方形的外接