控制系統(tǒng)的根軌跡分析法.ppt

1,第五節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,2,利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正 由給定參數確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置； 分析參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響； 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能； 根據性能要求確定系統(tǒng)的參數； 對系統(tǒng)進行校正。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,3,一、 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析,例4-11：設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數為：,試繪制根軌跡，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時 的取值范圍。,開環(huán)極點：0,4,6,0.7j0.714，零點：1j1.732,實軸上根軌跡區(qū)間：,漸近線：與實軸的交點：,傾角：,解根據繪制根軌跡的步驟，可得：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,4,分離會合點：,Kgd的最大值為9.375，這時s=2.5，是近似分離點。,用Matlab可算出分離點s=2.3557 ; 另一根為5.1108(略)。,另外可以根據 求實軸分離點的近似值。 求出-4，0之間的增益如下表所示,分離角：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,5,由圖可知：當 和 時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；,畫出根軌跡如圖所示，該圖是用Matlab工具繪制的。,出射角： ， 入射角：,與虛軸的交點和 對應的增益值：,當 時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,這種情況稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng),4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,6,條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數在一定的范圍內取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。,具有正反饋的環(huán)節(jié)。,下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：,開環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；,條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能往往不能令人滿意。在工程實際上，應注意參數的選擇或通過適當的校正方法消除條件穩(wěn)定問題。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,7,例非最小相位系統(tǒng)： ，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的增益值。,解：根軌跡如右：,有閉環(huán)極點在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點在原點。該點的增益臨界值為 。,閉環(huán)特征方程為： ，當s=0時， ，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,8,二、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數的確定,利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。,以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數為,閉環(huán)傳遞函數為,共軛極點為：,在s平面上的分布如右圖：,閉環(huán)極點的張角 為：,所以 稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,9,我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標是超調量和調整時間。這些性能指標和閉環(huán)極點的關系如下：,的關系如下圖,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,10,例4-12單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為： 若要求閉環(huán)單位階躍響應的最大超調量 ，試確定開環(huán)放大系數。,當 時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,根據計算知道：根軌跡與虛軸的交點為 ，這時的臨界增益,解：首先畫出根軌跡如圖。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,11,這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著 的增加，主導極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標近似計算。,在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為 的直線，與根軌跡交于A、B兩點。 則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導極點，這時系統(tǒng)的超調量小于18%。通過求A、B兩點的坐標，可以確定這時的根軌跡增益 ，進而求得開環(huán)放大系數K。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,12,由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為： 。該極點是共軛復極點實部的6倍多。,解得：,實部方程 虛部方程,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,13,例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,畫出根軌跡 能否通過選擇Kg滿足最大超調量%5%的要求？ 能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts2秒的要求？ 能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數Kp10的要求？,解：畫根軌跡 實軸無根軌跡 漸近線 s=-2.5，q=45, 135 與虛軸交點w=2，Kgp=100,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,14,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,15,能否通過選擇Kg滿足最大超調量%5%的要求？,當取阻尼角為45的主導極點時， %5%的要求。 由根軌跡可見阻尼角為45的線與根軌跡相交，可求得主導極點為s=0.8+0.8j，另一對極點為s=4.2+0.8j 相差5.25倍，滿足主導極點的要求。,能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts2秒的要求？,能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數Kp10的要求？,要求ts2秒，即要求3/s2， s1.5。由根軌跡可知主導極點的實部1，所以不能通過選擇Kg滿足ts2秒的要求。,所以不能通過選擇Kg滿足Kp10的要求。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,16,問題 增加開環(huán)零點改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點。那么是否改變閉環(huán)零點？ 當兩個系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點時，這兩個系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是否一樣？,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,17,例4-15：設系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數和它們所對應的閉環(huán)方塊圖。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,18,系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數分別為：,解：由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應的開環(huán)傳遞函數和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數為： 特征方程為：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,19,由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數 為： 。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數為： ，反饋通路傳遞函數為： 。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此， 系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數可寫為： ，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。,根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數和閉環(huán)極點都相同，但閉環(huán)零點卻不一定相同。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,20,三、利用根軌跡求解代數方程的根,例 求如下代數方程的根,解：為了將此題作為一個根軌跡問題來考慮，應將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無根軌跡增益，變換結果不唯一。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,21,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,22,四、開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響,開環(huán)傳遞函數在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調整時間。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,1、增加極點：,23,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,24,若在開環(huán)傳遞函數中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應的調整時間。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,2、增加零點:,25,Matlab參考書推薦： 現(xiàn)代控制工程，美Katsuhiko Ogats,盧伯英譯， 電子工業(yè)出版社 MATLAB控制系統(tǒng)設計，歐陽黎明著， 國防工業(yè)出版社,五、用Matlab繪制根軌跡,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,26,num=0 0 0 1;%開環(huán)傳遞函數分子系數，降冪排列 den=1 3 2 0; %開環(huán)傳遞函數分母系數，降冪排列 r=rlocus(num,den);,例子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為： ，試利用Matlab畫出系統(tǒng)的根軌跡。,解打開Matlab,創(chuàng)建一個m文件，輸入下列程序片段：,執(zhí)行之，可得到根軌跡。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,27,小 結,條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 臨界穩(wěn)定增益的確定； 瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數的確定 阻尼角和等阻尼線； 超調量、調整時間與閉環(huán)極點的關系； 根據性能指標確定二階及高階系統(tǒng)的開環(huán)放大系數； 開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響。 用Matlab繪制根軌跡的方法,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,28,例4-13已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 （1）畫出系統(tǒng)的根軌跡； （2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍； （3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。,解：（1）畫根軌跡：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,29,求出射角：利用輻角條件計算出射角，得 。 該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點 -1處；另兩條從原點以 的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。,會合分離點：由方程 得 解得 在根軌跡上，因此是會合點。 不在根軌跡上，舍去。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,30,求與虛軸交點 系統(tǒng)特征方程為 勞斯表為 當 時，由輔助方程 ，可求出根軌跡與虛軸的交點為 。 （2）由勞斯表可知當 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 （3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬型系統(tǒng)，型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,31,例4-14已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,32,當 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入特征方程整理后得： 令實部和虛部分別為零，有 解得 由圖可知當 時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,33,對于分離點2.93，由幅值條件可知,由根軌跡圖可知，當0k0.858時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負實數極點，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。 當0.858k29.14時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數極點，其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。 當29.14k時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負實數極點，瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。,對于會合點17.07，有,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,34,由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為 。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,35,例4-16:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。 （1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數； （2）試用適當的方法使系統(tǒng)在任意K值時均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,36,解： 由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：,單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：,提示： 加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開環(huán)零點。在系統(tǒng)中加入零點后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,37,從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。 a6時，根軌跡有一部分在s右半平面。,clear all; num1=0 0 1 3; den1=1 6 0 0; num2=0 0 1 5; den2=1 6 0 0; num3=0 0 1 7; den3=1 6 0 0; h1=tf(num1,den1); h2=tf(num2,den2); h3=tf(num3,den3); rlocus(h1,h2,h3),4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,38,例 已知控制系統(tǒng)前向通道和反饋通道傳遞函數分別為：,(1) 繪制當,從,變化時系統(tǒng)的根軌跡，確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的,值范圍；,(2) 若已知系統(tǒng)閉環(huán)極點,，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數。,，,39,例 已知控制系統(tǒng)如圖所示 (1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡，并確定 時的閉環(huán)極點； （2）畫出 時單位階躍響應的草圖；并估算閉環(huán)系統(tǒng)的超調量%和調整時間 。,40,解：,1.,繪制根軌跡步驟： （1）開環(huán)零點：,開環(huán)極點：,（2）實軸上的根軌跡為,（3）漸近線：,，,（4）分離點：,，,，,，,，,41,解得：,為分離點，,為會合點,分離角為,，會合角也為,，根軌跡如圖所示:,42,當,時，特征方程為,即,整理