哈工大研究生課程-高等結構動力學-第三章2.ppt

第三章 多自由度系統(tǒng)的振動,在工程實際中，有很多問題需要簡化為多個自由度系統(tǒng)模型.,3.1 引言,本章研究內容 多自由度系統(tǒng)建模； 2.兩自用度系統(tǒng)的自由振動； 3.兩自用度系統(tǒng)的受迫振動； 4.”拍“的現(xiàn)象； 5.多自由度系統(tǒng)的振動（解偶分析法）,3.2 多自由度系統(tǒng)振動微分方程建立的方法,1.達朗貝爾原理：在應用上比較簡單，但是它對一些比較復雜約束較多的結構也有不便之處.,2.拉格朗日方程（Lagrange） 設系統(tǒng)具有 n 個自由度，以 n 個廣義坐標 表示系統(tǒng)的位形，系統(tǒng)的勢能為 V ，系統(tǒng)的動能為 T,Lagrange函數(shù)為：,拉格朗日方程為：,系統(tǒng)的勢能只是坐標的函數(shù)，有,: 為對應有勢力以外的其它非有勢力的廣義力（不含阻尼力）.,對于線性系統(tǒng)我們研究系統(tǒng)在平衡位置附近的微幅振動，取靜平衡位置作為坐標的原點，q0=0, 作Taylor級數(shù)展開：,為勢能在平衡位置處的大小，(0)0表示(0) 在平衡位置處的值。,如果勢能從平衡位置算起，則有,則有,寫成矩陣形式：,動能：,代入拉格朗日方程：,寫成矩陣形式：,例,解：選用廣義坐標,和,對于線性系統(tǒng)運動，運動是微幅的,代入動能和勢能：,作用于系統(tǒng)的廣義力沿x方向為 F(t) ，沿 方向為,代入Lagrange方程：,即柔度矩陣與剛度矩陣互逆,3.剛度法與柔度法建立振動微分方程,為柔度影響系數(shù)，表示在系統(tǒng)的j點作用單位力時，在系統(tǒng)的i點產生的位移。,由互等定理可知,柔度：指單位外力所引起的系統(tǒng)位移,通過柔度矩陣建立的振動微分方程為：,解：,3.3兩自由度系統(tǒng)的振動,兩個自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)中最簡單的情況，如果確定一個振動系統(tǒng)的獨立參數(shù)只有兩個，稱這一系統(tǒng)為兩個自由度系統(tǒng)。 如,2.1 無阻尼自由振動,選兩物塊靜平衡位置為廣義坐標 和 的起始位置,整理以后得：,寫成矩陣形式：,設其解為：,1.各個質點按同一頻率振動； 2.振動的形式保持不變。,二階齊次常微分方程 組,代入上式：,設,則有,稱為特征方程或頻率方程,即,得 . 從小到大依次為系統(tǒng)的第一階固有頻率和第二階固有頻率，第一階的稱為基頻。,振型的求解：將 代入到頻率方程中是求不出 、 但可求得振幅比。,寫成矩陣形式：,其通解為,簡寫,稱為系統(tǒng)的第一階和第二階主振型，主振型也稱為主模態(tài)。,例一 .已知：兩層框架結構樓房， k1、k2 分別為層間側向位移剛度，求振型和頻率。,解：建立兩自由度系統(tǒng)的振動微分方程,代入數(shù)值：,頻率方程：,得,求振型1：,振型2：,一階振型 二階振型,例二.求圖示體系的頻率、振型,解,令,第一振型,第二振型,對稱體系的