數(shù)值分析第六章插值法.ppt

, 6.1 引言 問題的提出 函數(shù)解析式未知,通過實(shí)驗(yàn)觀測得到的一組數(shù)據(jù), 即在某個(gè)區(qū)間a, b上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi) 或者給出函數(shù)表,y=f(x),y=p(x),第六章 插值法,插值法的基本原理 設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間a, b上, 是 a, b上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù) ,滿足 則稱 為f(x)的一個(gè)插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點(diǎn) xi為插值節(jié)點(diǎn), 稱(6.1)式為插值條件, 而誤差函數(shù) R(x)= 稱為插值余項(xiàng), 區(qū)間a, b稱為插值 區(qū)間, 插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插, 否則稱外插,(6.1),插值函數(shù) 在n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn) (i=0,1,n ) 處與 相等,在其它點(diǎn)x就用 的值作為f(x) 的近似值。這一過程稱為插值，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。換 句話說, 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用 的值作為f(x)的近似值,不僅希 望 能較好地逼近f(x),而且還希望它計(jì)算簡單 。由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式。,滿足,則稱P(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示,定理6.1 n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的,證明: 設(shè)n次多項(xiàng)式,是函數(shù) 在區(qū)間a, b上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) (i=0,1,2,n )上的插值多項(xiàng)式,則求插值多項(xiàng)式P(x) 的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù) (i=0,1,2,n )。,由插值條件: (i=0,1,2,n),可得,這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù) 的n+1階線性方 程組,其系數(shù)矩陣行列式為,稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xixj （當(dāng)ij），故V0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆 （Gramer）法則，方程組的解 存在惟一，從而P(x)被惟一確定。,惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項(xiàng)式,只要滿足插值條件(6.1)其結(jié)果都是相互恒等的。,6.3 拉格朗日（Lagrange）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,n ) 的便于使用的插值多項(xiàng)式P(x),先考察幾種簡單情形, 然后再推廣到一般形式。（ 線性插值與拋物插值） （1）線性插值 線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù) f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)的值， ,現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替f(x)。選 擇參數(shù)a和b, 使 。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù) 。,線性插值的幾何意義:用 通過點(diǎn) 和 的直線近似地代替曲線 y=f(x)由解析幾何知道, 這條直線用點(diǎn)斜式表示為,為了便于推廣，記,這是一次函 數(shù),且有性質(zhì),與 稱為線性插值基函數(shù)。且有,于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合,例6.1 已知 , , 求,解: 這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值,拉格朗日插值多項(xiàng)式 兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三 個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1 個(gè)時(shí),也就是通過n+1個(gè)不同的已知點(diǎn) ,來構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式P(x)。與推導(dǎo)線性插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式 的插值問題,使其在各節(jié)點(diǎn) 上滿足,即,由條件 ( )知, 都是n次 的零點(diǎn),故可設(shè),其中 為待定常數(shù)。由條件 ,可求得,于是,代入上式,得,稱 為關(guān)于基點(diǎn) 的n次插值基函數(shù)(i=0,1,n),以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式 為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件 的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。 事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù) 都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合,是次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式 , 稱形如（6.8）式的插 值多項(xiàng)式為n次拉格朗日