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第5章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu),5.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 5.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu) 5.3 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu),5.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法,數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分。數(shù)字濾波實際上是一種運算過程,其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列,因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設(shè)備。數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實現(xiàn):1)根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學模型或信號流圖,用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設(shè)備,構(gòu)成專用的信號處理機;2)直接利用通用計算機,將所需要的運算編成程序讓計算機來執(zhí)行, 即用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。,數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng),所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述。如果一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為,(5-1),則描述系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的N階常系數(shù)差分方程為,(5-2),對于同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z), 對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種,每一種算法對應(yīng)于一種不同的運算結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu))。,對應(yīng)于每一種不同的運算結(jié)構(gòu),都可用三種基本的運算單元來實現(xiàn):1)乘法器;2)加法器;3)單位延時。,例:,基本運算單元常用兩種表示方法表示:1)方框圖法;2)信號流圖法。,圖 5-1 基本運算的方框圖表示及信號流圖表示,方框圖表示法 信號流圖表示法,二階數(shù)字濾波器:,信號流圖是一種有向圖,它用箭頭的有向線段來代表一條支路,箭頭的方向代表信號流動的方向,有向線段上標注出支路的傳輸值。,源節(jié)點或輸入節(jié)點,阱節(jié)點或輸出節(jié)點,加法器,分支節(jié)點,輸入支路的信號值等于這一支路起點處節(jié)點信號值乘以支路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標傳輸系數(shù)值,則認為其傳輸系數(shù)為1,而延遲支路則用延遲算子z-1表示,它表示單位延時。,5.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu),單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的; 系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面( )上有極點; 結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋, 即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的.,無限長單位沖激響應(yīng)濾波器有如下幾個特點:,IIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類:,直接型,直接型,級聯(lián)型,并聯(lián)型,一、直接型結(jié)構(gòu),N階的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和常系數(shù)差分方程為,系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成:第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結(jié)構(gòu),每階延時抽頭后加權(quán)相加,構(gòu)成一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。 第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。由這兩部分相加構(gòu)成輸出y(n) ,其結(jié)構(gòu)圖如圖5-4。,圖5-4 實現(xiàn)N階差分方程的直接I型結(jié)構(gòu),實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點,實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點,共(M+N)個延時單元,一個線性移不變系統(tǒng),若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序,系統(tǒng)函數(shù)是不變的,即總的輸入輸出關(guān)系不改變。,二、直接型(典范型、正準型)結(jié)構(gòu),實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點,實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點,圖5-5 直接I型的變型,圖 5-6 直接型結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)圖5-5中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈,可以合并這兩條延時鏈,得到直接型結(jié)構(gòu).,只需N個延時單元,1) 直接型比直接型結(jié)構(gòu)延時單元少,用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器,比直接型經(jīng)濟;若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。 2)對于高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、 極點困難,對系數(shù)量化效應(yīng)敏感度高等缺點。,直接型與直接 型的比較,三、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)() ,1級聯(lián)型結(jié)構(gòu),極點,零點,實極點,實零點,復共軛零點,復共軛極點,M=M1+2M2,N=N1+2N2,(把共軛因子組合成 實系數(shù)的二階因子 ),(將實系數(shù)的兩個一階 因子組合成二階因子),二階基本節(jié)(用典范型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)),級聯(lián)的節(jié)數(shù):當MN時,共有 節(jié)。 表示取整.,如果有奇數(shù)個實零點,則有一個系數(shù) 等于零; 如果有奇數(shù)個實極點,則有一個系數(shù) 等于零。,H1(z),H2(z),圖5-7 級聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階基本節(jié)和二階基本節(jié)結(jié)構(gòu),圖5-8 級聯(lián)結(jié)構(gòu)(M=N),圖5-9 六階IIR濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu),2級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點 調(diào)整系數(shù) 就能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點,對其他零極點并無影響;同樣,調(diào)整系數(shù) 也只單獨調(diào)整了第k對極點,而不影響其它零極點。因此,與直接型結(jié)構(gòu)相比,級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準確地實現(xiàn)濾波器零、極點,因而便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。,1并聯(lián)型結(jié)構(gòu),(4-6),四、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)() ,把系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式,就可以得到IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu):,實數(shù),共軛復數(shù),N=N1+2N2,當MN時,,當M=N時,,一階系統(tǒng),二階系統(tǒng),二階系統(tǒng),延時加 權(quán)單元,以MN時為例進行研究,將共軛復根部分,成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式,此時H(z)可表示為,(將一階實極點組合成 實系數(shù)二階多項式),當N為奇數(shù)時,包含有一個一階環(huán)節(jié),即有一節(jié)的 。,圖5-10 并聯(lián)結(jié)構(gòu)(M=N),圖5-11 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階、二階基本節(jié)結(jié)構(gòu),圖5-12 三階IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu),并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以用調(diào)整 的辦法單獨調(diào)整一對極點的位置,但對于零點的調(diào)整卻不如級聯(lián)型方便,它不能單獨調(diào)整零點的位置,而且當濾波器的階數(shù)較高時,部分分式展開比較麻煩。在運算誤差方面,由于各基本網(wǎng)絡(luò)間的誤差互不影響,沒有誤差積累,因此比直接型和級聯(lián)型誤差稍小一點。當要求有準確的傳輸零點時,采用級聯(lián)型最合適。,2并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點,轉(zhuǎn)置定理:如果將線性移不變網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn),且將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換,則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不發(fā)生改變。,五轉(zhuǎn)置定理,圖5-14 將圖5-13畫成輸入在 左,輸出在右的習慣形式,圖5-13 典范型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置,有限長單位沖激響應(yīng)濾波器有如下幾個特點:,1)單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個n值處不為零; 2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z| 0處收斂,在|z| 0處只有零點,即有限z平面( )只有零點,而全部極點都在z = 0處(因果系統(tǒng)); 3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu),沒有輸出到輸入的反饋,但有些結(jié)構(gòu)中(例如頻率采樣結(jié)構(gòu))也包含有反饋的遞歸部分。,5.3 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu),FIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類:,橫截型結(jié)構(gòu),級聯(lián)型結(jié)構(gòu),頻率采樣型結(jié)構(gòu),快速卷積型結(jié)構(gòu),線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu),設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一個N點序列,則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:,它在z=0處有(N-1)階極點,有(N-1)個零點位于有限z平面的任何位置。,(5-10),(5-11),一橫截型(卷積型、直接型)結(jié)構(gòu)(),線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式,輸入x(n)的延時鏈的橫向結(jié)構(gòu),圖5-15 FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu),圖5-16 圖5-15的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu),二. 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)(),圖5-17 FIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)(N為奇數(shù)),當需要控制系統(tǒng)傳輸零點時,將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式:,對 取整,1)這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點,因而在需要控制傳輸零點時,可以采用它。,比卷積型的系數(shù)h(n)要多,因而所需的乘法次數(shù)也比 卷積型的要多。,級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點:,2)這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù),由頻域采樣定理可知,對有限長序列h(n)的z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣,N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應(yīng)的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進行周期延拓后的主值序列,當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n),不會發(fā)生信號失真,此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到, 內(nèi)插公式如下:,三. 頻率采樣型結(jié)構(gòu),H(z)可以重寫為,(5-14),H(z)級聯(lián)的第一部分Hc(z):是一個FIR子系統(tǒng),是由N階延時單元組成的梳狀濾波器,如圖5-18所示。,i=0, 1, 2, , N-1,即Hc(z)在單位圓上有N個等間隔的零點,它的頻率 響應(yīng)為,令,圖 5-18 梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度,H(z)級聯(lián)的第二部分:,它是由N個一階網(wǎng)絡(luò) 組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu),每個一階網(wǎng)絡(luò)都是一個具有單極點的IIR子系統(tǒng)。,令,即每一個一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上都有一個極點,因此,H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網(wǎng)絡(luò)。,H(z)級聯(lián)的第一部分零點:,說明:第二部分這些諧振器的N個極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消,從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu),如圖5-19所示。,H(z)級聯(lián)的第二部分極點:,圖 5-19 FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu),頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點,(1)頻率采樣型結(jié)構(gòu)的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在=2k/N 處的響應(yīng)值,因此可以直接控制濾波器的響應(yīng); (2)只要濾波器的階數(shù)N相同,對于任何頻響形狀,其梳狀濾波器部分的
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