2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第十五單元第二節(jié)直接證明與間接證明.ppt

第二節(jié) 直接證明與間接證明,基礎(chǔ)梳理,1. 直接證明 (1)定義:直接從原命題的條件 推得命題成立的證明方法. (2)一般形式: (3)綜合法 定義:從 出發(fā),以已知的 、 、 為依據(jù),逐, 本題結(jié)論.,逐步,本題條件,已知定義,已知公理,已知定理,已知條件,定義,公理,定理,步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止.這種證明方法稱為綜合法. 推證過程 . (4)分析法 定義:從問題的 出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步 ,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法稱為分析法. 推證過程 ,已知條件,結(jié)論,結(jié)論,已知條件,2. 間接證明 (1)常用的間接證明方法有 、 、 等. (2)反證法的基本步驟,結(jié)論,上溯,反證法,同一法,枚舉法, 假設(shè)命題的 不成立,即假定原結(jié)論的反面為真; 從反設(shè)和 出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果; 由矛盾結(jié)果,斷定 不真,從而肯定原結(jié)論成立.,典例分析,題型一 綜合法的應(yīng)用 【例1】已知ab0，求證： .,證明 ab0,b ,即2b ,進而- -2b, a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b, ,分析 從已知條件和已知不等式入手，推出所要證明的結(jié)論.,反設(shè),結(jié)論,歸謬,已知條件,存真,反設(shè),學(xué)后反思 綜合法從正確地選擇已知真實的命題出發(fā)，依次推出一系列的真命題,最后達(dá)到我們所要證明的結(jié)論.在用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點，也就是能想到從哪里起步，我們一般地處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進，從而由已知逐漸引出結(jié)論.,證明：a+b=1, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時“=”成立.,舉一反三,1. 設(shè)a0,b0,a+b=1,求證： .,題型二 分析法的應(yīng)用 【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長i=a+b+c,s=ab+bc+ca. 試證：i24s.,分析 將i平方得出a、b、c兩兩乘積及a2,b2,c2和的式子,比較已知條件和結(jié)論，宜采用分析法.,證明 i2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2s, 故要證i24s, 只需證a2+b2+c2+2s4s, 即a2+b2+c22s（這對于保證結(jié)論成立是充分必要的）. 欲證上式，只需證a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即證（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0, 只需證三括號中的式子均為負(fù)值即可,即證a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb, 即ab+c,ba+c,ca+b, 它們顯然成立，因為三角形任一邊小于其他兩邊之和. 故i24s.,學(xué)后反思 (1) 應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點，可探求解題途徑. (2) 應(yīng)用分析法證明問題時要注意：嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.,2. 若sin +cos =1,求證：sin6+cos6=1.,舉一反三,證明： 由sin +cos =1 sin2+cos2+2sin cos =1 sin cos =0. 欲證sin6+cos6=1, 只需證(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1, 即證sin4+cos4-sin2cos2=1, 即證(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即證sin2cos2=0. 由式知,上式成立，故原式成立.,題型三 反證法的應(yīng)用 【例3】(14分)若a,b,c均為實數(shù)，且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ , c=z2-2x+ . 求證：a,b,c中至少有一個大于0.,分析 命題伴有“至少”“不都”“都不”“沒有”“至多”等指示性語句，在用直接方法很難證明時，可以采用反證法.,證明 假設(shè)a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,2 則a+b+c0, .4 而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+ -3. .6 -30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,8 a+b+c0, 10 這與a+b+c0矛盾. 12 因此a,b,c中至少有一個大于0. 14,學(xué)后反思 反證法證題的實質(zhì)是證明它的逆否命題成立.反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律,排中律的一般形式是：或者是a，或者非a,即在同一討論過程中，a和非a有一個且僅有一個是正確的，不可能有第三種情況出現(xiàn).,舉一反三 3. 已知a,b,c是一組勾股數(shù)，且 . 求證：a,b,c不可能都是奇數(shù).,證明： 假設(shè)a,b,c都是奇數(shù),且a,b,c是一組勾股數(shù), 又a,b,c都是奇數(shù), , , 也都是奇數(shù), 是偶數(shù)， , 與已知 相矛盾, a,b,c不可能都是奇數(shù).,易錯警示,【例】設(shè)函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)任意實數(shù)都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求證:對定義域內(nèi)任意x都有f(x)0.,錯解分析 反證法的關(guān)鍵是從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證得出和已知、定義、定理、公理等相矛盾.錯解中從這點上出現(xiàn)了錯誤.,錯解 假設(shè)f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y), 與假設(shè)f(x)0矛盾.結(jié)論成立.,正解 又f(x)0, f(x)0. 對定義域內(nèi)任意x都有f(x)0.,考點演練,10. 函數(shù)y= (a0,a1)的圖象恒過定點a,若點a在直線mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析: a(-2,-1),a在直線mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1. mn0,m0,n0, 當(dāng)且僅當(dāng) ,即當(dāng)m= ,n= 時等號成立, 故 的最小值為8.,11.已知a,b,c是不等正數(shù)，且abc=1. 求證：,證明： a,b,c是不等正數(shù)，且abc=1, ,證明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos a, 則 . 又由正弦定理,得 ,12. 在abc中，角a，b，c所對的邊為a,b,c, 求證： .,第十三單元 統(tǒng)計、 概率,知識體系,第六節(jié) 幾何概型,基礎(chǔ)梳理,1. 幾何概型的概念 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣;而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這里的區(qū)域可以是 、 、 等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.,2. 幾何概型的特點 （1）無限性：即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是 . （2）等可能性：即每個基本事件發(fā)生的可能性是 .,線段,平面圖形,立體圖,形,無限的,均等的,因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”.即隨機事件a的概率可以用“事件a包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長度）”與“試驗的基本事件所占的總面積（體積、長度）”之比來表示.,3. 幾何概型的計算公式 一般地，在幾何區(qū)域d中隨機取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件a，則事件a發(fā)生的概率p(a)= .,4. 幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系 （1）共同點： . （2）不同點：基本事件的個數(shù)一個是無限的，一個是有限的. 基本事件可以抽象為點，對于幾何概型，這些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域卻是有限的，根據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān).,基本事件都是等可能的,典例分析,題型一 與長度有關(guān)的幾何概型 【例1】（2009鹽城模擬）某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過7分鐘的概率.,分析 因為乘客在兩車間隔的10分鐘內(nèi)任何時刻都可能到，所以該事件包含的基本事件是無限多個，并且每個事件發(fā)生的可能性都是一樣的，故是幾何概型問題.,解 每個乘客可在相鄰兩班車之間的任何一個時刻到達(dá)車站，因此每個乘客到達(dá)車站的時刻t可以看成是均勻落在長為10分鐘的時間區(qū)間(0,10上的一個隨機點，等待時間不超過7分鐘則是指點落在區(qū)間3,10上.,如圖所示.設(shè)第一輛車于時刻t1到達(dá)，而第二輛車于時刻t2到達(dá)，線段t1t2的長度為10，設(shè)t是線段t1t2上的點，且tt2的長度等于7.記“等車時間不超過7分鐘”為事件a，事件a發(fā)生即點t落在線段tt2上，則d的長度=t1t2=10,a的長度=tt2=7, 所以p（a）= . 故等車時間不超過7分鐘的概率是 .,學(xué)后反思 我們將每一個事件理解為從某個特定的區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣;而一個事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定的區(qū)域內(nèi)的點.這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.,舉一反三 1. 兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.,解析： 記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件a,則 p(a)= .,題型二 與面積（體積）有關(guān)的幾何概型 【例2】在5升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶白粉病種子，從中隨機取出10毫升，則取出的種子中含有白粉病的種子的概率是多少？,分析 因為帶病種子的位置是隨機的，所以取到這種帶病種子只與取得種子的體積有關(guān).,解 病種子在這5升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫升種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升種子可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率.“取出10毫升種子中含有病種子”這一事件記為a， 所以取出的種子中含有麥銹病種子的概率是0.002.,學(xué)后反思 解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該試驗為幾何概型，然后求出事件a和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率計算公式求出.,2. 如圖，射箭比賽的箭靶上涂有5個彩色的分環(huán)， 從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心 為金色.金色靶心叫做“黃心”.奧運會的比賽靶面 直徑是122 cm,靶心直徑是12.2 cm,運動員在70 m外射箭.假設(shè)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？,舉一反三,解析： 記“射中黃心”為事件b，由于中靶點隨機地落在面積為 1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點落在面積為 12.22cm2的黃心時，事件b發(fā)生. 于是事件b發(fā)生的概率為,題型三 會面問題中的概率 【例3】(14分)兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20:00至21:00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率.,分析 兩人不論誰先到最多只等40分鐘，即 小時,設(shè)兩人到的時間分別為x、y,則當(dāng)且僅當(dāng)|x-y| 時，兩人才能見面，所以此問題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型.,解 設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y| .3 如圖，兩人到達(dá)約見地點的所有時刻 （x,y）的可能結(jié)果可用圖中的單位正 方形內(nèi)（包括邊界）的點來表示；6,兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）的點來表示.9 因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，12 即p=s陰影部分s單位正方形=12-13212=89.14,學(xué)后反思 對于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機事件a對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率.根據(jù)實際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;在此基礎(chǔ)上將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系的一點，便可構(gòu)造出度量區(qū)域. 解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問題.,3. 甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時段中隨機地到達(dá)，試求這兩艘輪船至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率.,舉一反三,解析： 如圖，設(shè)甲到達(dá)時間為x，乙到達(dá)時間 為y,則0x24,0y24.設(shè)“至少有一艘輪船 在?？坎次粫r必須等待”為事件a,則0y-x6 或0x-y6.所以p（a）= .,【例】向面積為s的矩形abcd內(nèi)任投一點p，試求pbc的面積小于 的概率.,易錯警示,錯解 如圖甲所示，設(shè)pbc的邊bc上的高為pf，線段pf所在的直線交ad于e,則當(dāng)p點到底邊bc的距離小于 ef，即0pf ef時,有0 bcpf bcef,即0spbc .,設(shè)“pbc的面積小于 ”為事件a，則a表示的范圍是(0, ),即a= ,而=s，所以由幾何概型求概率的公式得 .所以pbc的面積小于 的概率是 .,易錯分析 如圖乙所示，p為矩形abcd內(nèi)任意點，pbc的邊bc上的高pf為矩形abcd內(nèi)任意線段，但應(yīng)滿足pbc的面積小于 .當(dāng)pbc的面積等于 時，即 bcpf= bcef,所以pf= ef.過點p作gh平行于bc交ab于g、交cd于h,點p的軌跡是線段gh.滿足條件“pbc的面積小于 ”的點p應(yīng)落在矩形區(qū)域gbch內(nèi)，而不是三角形區(qū)域pbc內(nèi).錯解的原因是不能正確構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形.,正解 如圖乙所示，設(shè)pbc的邊bc上的高為pf，線段pf所在的直線交ad于e，當(dāng)pbc的面積等于 時，即 bcpf= bcef,有pf= ef.過點p作gh平行于bc交ab于g,交cd于h.所以滿足 spbc= 的點p的軌跡是線段gh.,所以滿足條件“pbc的面積小于 ”的點p應(yīng)落在矩形區(qū)域gbch內(nèi) ，設(shè)“pbc的面積小于 ”為事件a，則a表示的范圍是（0, ）即a= ,而=s. 所以由幾何概型求概率的公式得 ,所以pbc的面積小于 的概率是 .,考點演練,10.(2009濟寧模擬)甲、乙兩人約定上午7:00至8：00之間到某站乘公共汽車，在這段時間內(nèi)有3班公共汽車，它們開車時刻分別為7:20,7：40,8：00.如果他們約定，見車就乘，求甲、乙同乘一車的概率.,解析： 如圖，設(shè)甲到達(dá)汽車站的時刻 為x,乙到達(dá)汽車站的時刻為y,則7x8, 7y8，即甲乙兩人到達(dá)汽車站的時刻 （x,y）所對應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系 中畫出（如圖所示）是大正方形.將三班車 到站的時刻在圖形中畫出，則甲乙兩人要 想乘同一班車，必須滿足7x ,7y ; x , y ; x8, y8. 即（x,y）必須落在圖形中的三個帶陰影的小正方形內(nèi)，所以 由幾何概型的計算公式得，所求概率 .,11. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程 .若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根