高數(shù)曲線積分和曲面積分.ppt

1,9.3.1 對面積的曲面積分,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對面積的曲面積分的計(jì)算,2,9.3.1、對面積的曲面積分,1實(shí)例 曲面型物件的質(zhì)量,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),曲面型物件占有O-xyz空間中的曲面(光滑或分片光滑),且有連續(xù)的面密度為(x,y,z),求曲面型物件的質(zhì)量。,其中是n個小曲面 塊的直徑的最大值。,3,“乘積和式極限”,都存在,積的曲面積分,或第一類曲面積分.,若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面,2、對面積的曲面積分的定義,定義9.3.1,設(shè)曲面是光滑的有限曲面，,函數(shù)f (x,y,z),在上有界。,其中f (x,y,z)叫做被積函數(shù)，叫做積分曲面。,4,3、幾點(diǎn)說明,則對面積的曲面積分存在.,在光滑曲面 上連續(xù),(1)積分的存在性:,(2)曲面型物件的質(zhì)量為,曲面面積為,5,具有對弧長曲線積分同樣的性質(zhì)。,4、對面積的曲面積分的性質(zhì),（1）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì),（2）關(guān)于積分曲面的可加性,則有,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,6,（3）關(guān)于被積函數(shù)的不等式性質(zhì),（4）估值定理,（5）積分中值定理,5、對稱性的應(yīng)用,7,定理9.3.1: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z)在上連續(xù),存在, 且有,二、對面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,計(jì)算方法可概括為“一代、二換、三投影”,8,（1）計(jì)算方法可概括為“一代、二換、三投影”,“二換”將dS換成相應(yīng)的曲面面積元素的表達(dá)式：,如：z=z(x,y)，則,“三投影”認(rèn)清在xoy平面上的投影區(qū)域Dxy,（2）如：x=x(y,z)，此時投影區(qū)域Dyz； 如：y=y(x,z)，此時投影區(qū)域?yàn)镈zx。,“一代” 將z=z(x,y)代入被積函數(shù)f (x,y,z)， 得f x,y,z(x,y)；,說明,9,例1 計(jì)算曲面積分 ，其中是球面 x2+y2+z2=a2被平面 z=h(0ha)截出的頂部（如圖）。,解：的方程為,Dxy x2+y2a2h2,根據(jù)公式，有,10,利用極坐標(biāo)，得,11,例2 計(jì)算曲面積分,是介于z=0及z=H(H0)之間的 柱面x2+y2=R2,解法一：在上有x2+y2=R2，所以,又關(guān)于平面x=0對稱，,所以,12,其中,(RyR，0zH),于是,13,解法二：用垂直于z軸的平面去截 dS =2Rdz,14,解：Dxy ：x2+y2 2ax，,因?yàn)殛P(guān)于xoz面對稱， xy+yz是y的奇函數(shù)，所以,15,16,例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的質(zhì)心.,解: 設(shè) 的方程為,利用對稱性可知質(zhì)心的坐標(biāo),17,曲面型物件占有O-xyz空間中的曲面(光滑或分片光滑),且有連續(xù)的面密度為(x,y,z),注:對面積的曲面積分的應(yīng)用,質(zhì)心,18,轉(zhuǎn)動慣量,19,小結(jié),本節(jié)主要學(xué)習(xí)了對面積的曲面積分的概念,以及對面積的曲面積分的計(jì)算方法