高中數(shù)學(xué)-綜合法和分析法素材新人教B版.docx

2.2.1 綜合法和分析法在前面我們已經(jīng)知道合情推理和演繹推理都是根據(jù)某些已知判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程.其中演繹推理在大前提小前提都正確的情況下所得的結(jié)論一定正確，而合情推理（歸納、類比等）所猜測得到的結(jié)論不一定正確，必須通過邏輯（演繹）推理的方式加以證明.下面就研究兩類基本的證明方法直接證明與間接證明.一、綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證法，也是證明數(shù)學(xué)問題時(shí)最常用的思維方式.1.綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法.又叫順推證法或由因?qū)Ч?其推理方式可用框圖表示為：其中表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結(jié)論，表示中間結(jié)論綜合法常用的表達(dá)格式為：，；又，；，；又，2分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，對其進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法.又叫逆推證法或執(zhí)果索因法.其推理方式可用框圖表示為：其中表示要證明的結(jié)論，分別表示使成立的充分條件，表示最后尋求到的一個(gè)明顯成立的條件分析法常用的表達(dá)格式為：要證，只需證，只需證，只需證，由于顯然成立，所以成立綜合法、分析法都是直接利用已知條件或定義、公理、定理等與所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論或?qū)で蟪鍪顾闪⒌某浞謼l件，故均屬于直接證法.二、反證法是間接證明的一種基本方法.對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.這種證明方法叫做反證法.簡易邏輯部分中四種命題間的關(guān)系領(lǐng)悟得好的同學(xué)不難悟出反證法的原理不外乎“互為逆否命題的兩個(gè)命題真假一致”，即：“”“”用反證法證題的格式一般為：假設(shè)不成立，若，則，這與已知（定義、公理、定理等）相矛盾，假設(shè)不成立，成立1綜合法的每一步都是三段論（或其簡略形式），大前提一定要正確，否則證明易出錯(cuò).2.使用分析法時(shí)一定要注意對所要證明的結(jié)論是以“分析”的語氣對待的，因而證明格式上應(yīng)體現(xiàn)出“分析”探討性（“要證，只需證”），而非直接肯定結(jié)論.例1求證錯(cuò)證：，顯然原不等式成立錯(cuò)因：對分析法的原理不理解，以至于將所要證明的結(jié)論當(dāng)成已知條件來用了.正：只需將“”改為“要證”，“” 改為“只需證”.3.綜合法和分析法往往不是單一地使用的，而是結(jié)合兼用的，特別是較為復(fù)雜的證明（教科書例3）.一般是先用綜合法由已知條件P推出一個(gè)中間結(jié)論M，再用分析法探求，發(fā)現(xiàn)M正是使所要證結(jié)論Q成立的充分條件.證明過程用框圖1表示；或者先用分析法尋求出使所要證明的結(jié)論Q成立的充分條件M，再用綜合法由已知條件P推出M.證明過程用框圖2表示. 或例2 教科書中對例3的證法是先綜合后分析，證明過程如框圖的形式；我們還可以改用框圖2的形式，先分析后綜合來證.證明：要證，只需證，即證即證，即證另一方面，因?yàn)?，所以將已知中的代入上式，即得與相同，于是問題得證4.綜合法與分析法當(dāng)所用的證據(jù)相同時(shí)形式上是互逆的，因此往往可以互相改寫，但須注意二者表達(dá)格式的迥異.5.反證法也經(jīng)常與綜合法或分析法結(jié)合使用.例3 證明不可能成等差數(shù)列證明（一）：假設(shè)成等差數(shù)列，即，下面（用分析法）證明要證，只需證，即證，即證，即證，而該式顯然成立，故，這與