高中數(shù)學(xué)數(shù)列數(shù)列求和.ppt

第四節(jié) 數(shù)列求和,2倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的 3錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法,4裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和 5分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減,6并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解 例如，Sn10029929829722212 (10099)(9897)(21)5 050.,1裂項(xiàng)相消法的前提是什么？ 【提示】 數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，且在求和過(guò)程中能夠前后相互抵消 2若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和可用什么方法求解？ 【提示】 數(shù)列|an|仍然是等比數(shù)列，可用公式法求解,【答案】 C,2一個(gè)球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是( ) A100200(129) B100100(129) C200(129) D100(129),【答案】 A,3(2013合肥質(zhì)檢)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10( ) A15 B12 C12 D15 【解析】 an(1)n(3n2)， a1a2a10(14)(710)(2528)3515. 【答案】 A,【答案】 A,5設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an4n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)bn3n1，則數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn_,已知函數(shù)f(x)2x3x1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，an的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求使an0的n的最大值； (2)求Sn. 【思路點(diǎn)撥】 (1)由條件，求出an，利用數(shù)列的性質(zhì)求an0的n的最大值；(2)將an轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊數(shù)列求和,【嘗試解答】 (1)點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)2x3x1的圖象上， an2n3n1， an0，2n3n10，即2n3n1， 又nN*， n3，即n的最大值為3.,1數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和 2常見(jiàn)類(lèi)型及方法 (1)anknb，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解； (3)anbncn，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和,公差不為0的等差數(shù)列an中，a12，且a1，a3，a7成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，且nancn1，求證：Sn1. 【思路點(diǎn)撥】 (1)由a1，a3，a7成等比數(shù)列，求得公差d，進(jìn)而確定an的通項(xiàng)公式 (2)根據(jù)cn的通項(xiàng)公式特征，利用裂項(xiàng)相消法求得Sn，從而證得Sn1.,【嘗試解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a322d，a726d. a1，a3，a7成等比數(shù)列， (22d)22(26d)， 又d0，可求d1. ana1(n1)dn1， 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1.,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； (2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn. 【思路點(diǎn)撥】 由an1Sn1Sn得Sn與Sn1的遞推關(guān)系，求得Sn和an，由an的特征，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.,1本例(2)求Tn時(shí)，易盲目利用錯(cuò)位相減法直接求和，忽視討論n1的情形 2(1)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，若bn的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論 (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”即公比q的同次冪項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路 (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成 (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等來(lái)求和,1.裂項(xiàng)相消法，分裂通項(xiàng)是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差 2在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)，未消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn),數(shù)列求和是高考的熱點(diǎn)，主要涉及等差、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和與并項(xiàng)法求和，題目呈現(xiàn)方式多樣，在選擇題、填空題中以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，在解答題中以考查錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求和為主，求解的關(guān)鍵是抓住通項(xiàng)公式的特征，正確變形，分清項(xiàng)數(shù)求和,易錯(cuò)辨析之八 通項(xiàng)遺漏導(dǎo)致錯(cuò)位相減求和錯(cuò)誤 (2012浙江高考改編)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n2n3，nN*，數(shù)列bn滿(mǎn)足an4log2bn3，nN*. (1)求an，bn； (2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn. 【錯(cuò)解】 (1)由Sn2n2n3，得 n2時(shí)，Sn12(n1)2(n1)3， an2n22(n1)214n1， 由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.,(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*， 所以Tn3721122(4n1)2n1， 2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n， 所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5. 故Tn(4n5)2n5，nN*.,錯(cuò)因分析：(1)求an，忽視n1的情形，錯(cuò)求an，導(dǎo)致后續(xù)問(wèn)題不能正確求解 (2)錯(cuò)位相減求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，盲目認(rèn)為除首、末項(xiàng)外成等比數(shù)列,防范措施：(1)由Sn求an，當(dāng)n1時(shí)，a1S1檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足anSnSn1(n2)，若不滿(mǎn)足，應(yīng)分段表示an，從而求Tn時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論 (2)由于anbn的通項(xiàng)分段表示，求Tn時(shí)，不僅注意對(duì)n進(jìn)行討論，而且在寫(xiě)出“Tn”與“qTn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”即公比q的同次冪項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,1(2012課標(biāo)全國(guó)卷)數(shù)列an滿(mǎn)足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為( ) A3 690 B3