Chapter4-數(shù)字特征.ppt

2019/7/15,1,第四章,隨機(jī)變量的數(shù)字特征：,數(shù)學(xué)期望（均值），方差，相關(guān)系數(shù)，矩,離散型 連續(xù)型 隨機(jī)變量函數(shù),2,4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,Example: 一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入?yún)^(qū)域E2得2分，射入E1得1分，脫靶，即射入?yún)^(qū)域E0得0分。 如果該射手一共射擊了N次，其中得0分的有N0次，得1分的有N1次，得2分的有N2次，N0+N1+N2N 總得分： 平均分：,E1,E2,E0,N00 + N11 + N22,( N00 + N11 + N22 ) / N,2019/7/15,3,定義：,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為 P(X=xi)=pi，i=1,2, 若 ，則稱 為X的數(shù)學(xué)期望（EX ） 即,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2019/7/15,4,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例 1 甲、乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為X1，X2，它們的分布律分別為,X1 0 1 2,pk 0 0.2 0.8,X2 0 1 2,pk 0.6 0.3 0.1,試評定他們的成績的好壞,數(shù)學(xué)期望可通俗理解為平均值.故此處所求可理解為平均分,2019/7/15,5,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例 2 按規(guī)定，某車站每天8:009:00， 9:0010:00都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為,到站時(shí)間,8:10 9:10,8:30 9:30,8:50 9:50,本題關(guān)鍵在于確定隨機(jī)變量X,并求出其分布列,概 率 1/6 3/6 2/6,一旅客8:00到車站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 一旅客8:20到車站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望,重點(diǎn)掌握二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望和方差的求法：例4.2,2019/7/15,6,例3 據(jù)統(tǒng)計(jì),一位40歲的健康者,在5年內(nèi)活著或自殺的概率為 ,5年內(nèi)非自殺死亡的概率為 .保險(xiǎn)公司開辦5年人壽保險(xiǎn),參加者需交保險(xiǎn)費(fèi) 元,若5年內(nèi)非自殺死亡,公司賠償 元 .應(yīng)如何定 , 才能使公司獲益?,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2019/7/15,7,例4 在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中,普查某種疾病,為此需化驗(yàn) 個(gè)人的血,可以用兩種方法: (1)將每個(gè)人的血都分別化驗(yàn),這就需要 次; (2)按 個(gè)人一組分組,把從 個(gè)人抽來的血混在一起檢驗(yàn),若呈陰性,則只需一次;若呈陽性,則再對每個(gè)人的血進(jìn)行化驗(yàn),這樣需要 次. 假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽性的概率為 ,且化驗(yàn)結(jié)果互相獨(dú)立,試說明在 很小時(shí),選取適當(dāng)?shù)?,按第二種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù),并說明 取什么值時(shí)最適合.,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2019/7/15,8,定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分,收斂，則稱積分值 為X的數(shù)學(xué)期望（EX） 即,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例4.5，4.6,2019/7/15,9,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，即 Y = g (X) 若已知X的分布，如何確定Y的期望？ 若X是離散型隨機(jī)變量 （例 4.14） 若X是連續(xù)型隨機(jī)變量（例 4.10, 4.11）,EY可直接根據(jù)fX(x)及Y與X的函數(shù)關(guān)系求出，而無需求出fy(y),可推廣至二維隨機(jī)變量，例4.12,2019/7/15,10,數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì),1. 設(shè)C為常數(shù)，則 EC = C 2. 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 ECX = CEX 3. 設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 4. 設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 E(XY) = E(X) E(Y),直觀，易記憶，應(yīng)用方便。從下頁的推導(dǎo)即可看到其用途,2019/7/15,11,定義：,設(shè)X為一隨機(jī)變量，若E(X-EX)2存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記為DX或Var(X)，即,方差的算術(shù)平方根 稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差,若X是離散型隨機(jī)變量,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,4.2 隨機(jī)變量的方差,DX是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度,推導(dǎo)過程?多用此式計(jì)算方差，見例4.16。,2019/7/15,12,方差的重要性質(zhì),1. 設(shè)C為常數(shù)，則 DC = 0 2. 任意隨機(jī)變量X有DX 0，且DX 0的充要條件是 P(X=C) = 1 ( C = EX為常數(shù) ) 3. 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 DCX = C2DX 4. 設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X+Y) = D(X) + D(Y),2019/7/15,13,例4.22,設(shè)有隨機(jī)變量X，EX=，DX=2，稱Y=(X- )/ 為X的標(biāo)準(zhǔn)化，證明EY=0，DY=1.,例4.23,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，EXi=,DXi=2 (i=1,2,n).令 求,從側(cè)面驗(yàn)證了P58通過線性變換將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正確性,注意不是充分性證明,注意本題結(jié)論的物理意義,2019/7/15,14,小 結(jié),在二維隨機(jī)變量（X, Y）中 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 EX, EY 隨機(jī)變量的方差 DX, DY,反映了X和Y各自取值的集中位置,反映了X和Y各自的取值對集中位置的偏離程度,與4.4相比較,2019/7/15,15,幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差,0 - 1分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 幾何分布 均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布,XB(n,p) EX = np DX=npq,XP() EX = DX = ,XB(1,p) EX = p DX=pq,X幾何分布 EX = 1/p DX= q/p2,XUa,b EX = (a+b)/2 DX= (b-a)2/12,XE() EX = DX=1/ 2,XN(,2) EX = DX= 2,2019/7/15,16,4.3 隨機(jī)變量的矩,設(shè)X是隨機(jī)變量， 若E(Xk)，k1,2存在，則稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩； 若EX-E(X)k，k1,2存在，則稱它為X的k階中心矩。 X的數(shù)學(xué)期望EX是X的一階原點(diǎn)矩，方差DX是X的二階中心矩,2019/7/15,17,4.4 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),隨機(jī)變量X和Y之間的關(guān)系（獨(dú)立與否） 相關(guān)系數(shù) ：表征XY之間線性關(guān)系緊密程度的量 協(xié)方差 Cov(X,Y),推導(dǎo)?,2019/7/15,18,1. 若以下的協(xié)方差均存在，則,（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X) （2）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) （3）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為任意常數(shù),2. 若X，Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0,3. 設(shè)k0,k1,kn為任意常數(shù)， X1,X2, ,Xn為隨機(jī)變量，則,協(xié)方差的重要性質(zhì),0,2019/7/15,19,定理 4.8 設(shè)為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)，則,P ( Y = aX+b ) = 1，其中a,b為常數(shù), = 0 X,Y不相關(guān) X,Y完全相關(guān),相關(guān)系數(shù)的重要性質(zhì), = 1 X,Y正相關(guān) = -1 X,Y負(fù)相關(guān),亦即XY之間以概率1存在著線性關(guān)系。越大，線性相關(guān)程度越好。,相關(guān)與否只是就線性關(guān)系來說，(見p125)