Chap2-2連續(xù)隨機(jī)變量及分布函數(shù)n.ppt

,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,連續(xù)型隨機(jī)變量,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,連續(xù)型隨機(jī)變量 X 所有可能取值充滿若干個區(qū)間。對這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 指出其取各個值的概率， 給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同?，F(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個零件長度(單位: mm)如下:,2.3.1 頻率直方圖,129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.,這100個數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。,128,155,作密度直方圖的步驟,(1). 先確定作圖區(qū)間 a, b ;,a = 最小數(shù)據(jù)-/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)+/ 2，, 是數(shù)據(jù)的精度。,本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。,(2). 確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 1.87(n1)2/5 + 1， 組距 d = (b a) / m， 子區(qū)間端點 ti = a + i d, i = 0, 1, , m；,(3). 計算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù) ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, , n， 頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；,(4). 以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小矩形，組成了密 度直方圖，簡稱直方圖。,由于概率可以由頻率近似， 因此這個直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。,用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個數(shù), 同時將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多, 分組越來越細(xì)時, 直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況。,2.3. 2 概率密度函數(shù),定義1：若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x), 使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間 (a, b 的概率可表示成,則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X 的概率密 度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。,這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為某隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)的充 要條件。,密度函數(shù)的性質(zhì),f(x)與 x 軸所圍 面積等于1。,(3). 對 f(x)的進(jìn)一步理解：,故, X的概率密度函數(shù)f(x)在 x 這一點的值, 恰好是X 落在區(qū)間 x , x +x上的概率與區(qū)間長度x 之比的極限。 這里, 如果把概率理解為質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。,需要注意的是：概率密度函數(shù) f (x)在點 a 處取值，不是事件 X =a 的概率。但是，該值越大，X 在 a 點附近取值的概率越大。,若不計高階無窮小，有：,表示隨機(jī)變量 X 取值于(x , x + x上的概率近似等于 f (x ) x 。,f (x ) x 在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與 pk=PX=xk 在離散型隨機(jī)變量中所起的作用類似。,(4). 連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為 0.,即：,a為任意給定值。,這是因為：,由此得，, 對連續(xù)型 隨機(jī)變量 X, 有, 由P(X=a)=0， 可推出,而 X=a 并非不可能事件,可見：,由P(A)=0, 不能推出 A=；,并非必然事件。,由 P(B)=1, 不能推出 B=。,(5). 設(shè)A為一個數(shù)集，則,2.3.3 常見的連續(xù)型隨機(jī)變量,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。,正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布。,1. 正態(tài)分布,這條紅色曲線近似我們將要介紹的正態(tài)分布 的概率密度曲線。,I. 正態(tài)分布的定義,定義：若隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為,記作,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。,(Normal),其中和都是常數(shù)，任意，0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布。,II. 正態(tài)分布 的圖形特點,特點“兩頭低，中間高，左右對稱”。,正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于X=對稱的鐘形曲線。,正態(tài)分布 的圖形特點,決定了圖形的中心位置, 決定了圖形峰的陡峭程度。,故 f(x) 以 x =為對稱軸，并在 x=處達(dá)到最大值:,令x1=+c, x2=-c (c0), 分別代入 f (x), 得,f (x1) = f (x2)，,且 f (+c) f ()， f (-c) f ().,這說明：曲線 f(x) 向左右伸展時，越來越貼近 x 軸。即 f (x) 以 x 軸為漸近線。,當(dāng) x 時，f(x) 0。,用求導(dǎo)的方法可以證明：,為f (x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)。,x = ,III. 正態(tài)分布 的分布函數(shù),IV. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,稱 N(0, 1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常分別用 來表示。,它的依據(jù)是下面的定理：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個 一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。,定理1：,書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。,V. 正態(tài)分布表,表中給出的是 x 0時，(x)的取值;,若 XN(0, 1),服從N(0,1),例1：假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位: cm) XN(170,7.692), 求該地區(qū)成年男性的身高超過 175cm 的概率。,解: 根據(jù)假設(shè) XN(170 ,7.692)，知,事件 X 175 的概率為,解: 設(shè)車門高度為 h ，按設(shè)計要求,P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的 h。,例2：公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的。設(shè)某地區(qū)成年男性身高 (單位: cm) XN(170, 7.692),問車門高度應(yīng)如何確定?,因為XN(170,7.692),求滿足 P(X h) 0.99 的最小 h。,故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01。,若隨機(jī)變量 X 的概率密度為：,則稱 X 服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：,X Ua, b,2. 均勻分布 (Uniform),(注: 有時也記作 X U(a, b) )。,若X Ua, b，則對于滿足 acdb 的 c 和 d，總有,背景：公共汽車的到站時間、四舍五入的舍入誤差.,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。放射性物質(zhì)相鄰兩個粒子的時間間隔等,定義：若隨機(jī)變量 X 具有概率密度,3. 指數(shù)分布,則稱 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記成 X E()。,例3：設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時)服從參數(shù)=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使用壽命超過3000小時的概率。,解：,2.3.4 隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義2: 設(shè) X() 是一個隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x) = PXx, - x 為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。,分布函數(shù)的性質(zhì),(1).ab,總有F(a)F(b)(單調(diào)非減性)； (2).F(x)是一個右連續(xù)函數(shù)； (3).xR，總有0F(x)1(有界性)，且,證明：僅證 (1)。,因 aa = Xb - Xa， 而 Xa Xb，所以 PaXb = PXb - PXa = F(b) - F(a) . 又，因 PaXb0， 故 F(a)F(b) .,注意：上述證明中我們得到一個重要公式: PaXb=F(b)-F(a). 它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b上的概率可以通過分布函數(shù)來計算。,設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x) 是一個右連續(xù)的函數(shù)，在 X=xk (k=1, 2, ) 處有跳躍值 pk=PX=xk，如下圖所示。取值排序后,P29，例2.2.1中X 的分布函數(shù)為,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。,由上式，得：在 f (x)的連續(xù)點，有,若X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，f (x)是X 的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是分布函數(shù)，則對任意xR，總有,常見連續(xù)型分布的分布函數(shù),均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布,本講首先介紹連續(xù)型隨機(jī)變量、直方圖、概率密度函數(shù)及性質(zhì)；然后介紹了三種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量：正態(tài)分布，均勻分布和