D2-4二維隨機變量及其概率分布.ppt

,第二章,第四節(jié),二維隨機變量及其概率分布,一、二維隨機變量的概念,二、二維離散型隨機變量,三、二維連續(xù)型隨機變量,本節(jié)中只討論二維隨機變量的概念及性質(zhì)，至于更高維隨機變量的研究方法及結(jié)果與二維隨機變量完全類似，可直接由二維隨機變量推廣而來。,在實際問題中，有許多隨機試驗僅用一個隨機變量來描述是不夠的，需要用多個隨機變量來描述。,一、二維隨機變量的概念,定義2.4.1 設(shè)隨機試驗 的樣本空間為 ，而 是定義在 上的兩個隨機變量，則二維向量 稱為二維隨機向量或二維隨機變量。,定義2.4.2 設(shè) 是二維隨機變量，對任意實數(shù) ，稱二元函數(shù),為 的聯(lián)合分布函數(shù)。,聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義表示隨機點 落在以點 為頂點的左下方無窮矩形域內(nèi)的概率.,由聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義很容易得出隨機點,落在一個矩形區(qū)域 內(nèi)的概率。,定理2.4.1 二維隨機變量 的聯(lián)合分布函數(shù) 的性質(zhì):,（1） 關(guān)于 均是非減函數(shù)；,(2),（3） 關(guān)于 均是右連續(xù)函數(shù)；,（4）對任意 ， 均有,注意到，二維隨機變量 的分量 與 分別是一維隨機變量，通過 的聯(lián)合分布函數(shù) 可以求出 與 各自的分布函數(shù) 與 。,同理:,稱 與 分別為二維隨機變量 關(guān)于 ,關(guān)于 的邊緣分布函數(shù).,二、二維離散型隨機變量,稱 是二維離散型隨機變量。,若二維隨機變量 的全部可能取值只有有,限多對或可列無窮多對 ，則,稱 為二,維離散型隨機變量 的聯(lián)合分布律。,顯然聯(lián)合分布律有如下性質(zhì),(1),(2),的聯(lián)合分布律通常用以下表格給出：,的聯(lián)合分布函數(shù) 可由上面的聯(lián)合分布律求出：,其中 是對一切滿足 ， 的 求和.,由 的聯(lián)合分布律還可求出 與 各自的分布律.,記:,分別稱為 關(guān)于 ，關(guān)于 的邊緣分布律。,在聯(lián)合分布律的表格中，將每行與每列相加即可得到邊緣分布律。,例1：一整數(shù) 等可能地在1,2,3, ,10十個值中取一,個值，設(shè) 是能整除 的正整數(shù)的個數(shù)，,是能整除 的素數(shù)的個數(shù)，試求 與 的,聯(lián)合分布律。,解：,經(jīng)逐個驗算可得10個整數(shù)的 與 的值如下,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,1 2 2 3 2 4 2 4 3 4,0 1 1 1 1 2 1 1 1 2,于是有：,1 2 3 4,例2：設(shè) 的聯(lián)合分布律如下表，試求,關(guān)于 及 的邊緣分布律。,0 1 4,三、二維連續(xù)型隨機變量,對任意實數(shù) 都有,定義2.4.1 設(shè) 為二維隨機變量 的聯(lián),合分布函數(shù)，若存在一個非負二元函數(shù) ，使,聯(lián)合概率密度函數(shù)。,則稱 為二維連續(xù)型隨機變量，并稱 為,聯(lián)合概率密度函數(shù) 具有以下性質(zhì)：,(3)若 在點 連續(xù),則,；,性質(zhì)(4)說明在幾何上， 落在某平面區(qū)域,中的概率，在數(shù)值上就是 在區(qū)域 內(nèi)的二重,積分。,的聯(lián)合概率密度函數(shù) 與 、 各自,的概率密度函數(shù) 、 之間的關(guān)系，,由,及,得:,同理可得：,稱 為 關(guān)于 的邊緣概率密度函數(shù)；,稱 為 關(guān)于 的邊緣概率密度函數(shù)。,例3：設(shè) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,3、求 的聯(lián)合分布函數(shù).,解:,1.,2.,當 或 時,，,當 時,；,3