時間序列與灰色系統(tǒng)組合模型.ppt

7.2 時間序列與灰色系統(tǒng)組合模型,7.2.1 灰色系統(tǒng)概述 灰色系統(tǒng)理論是華中科技大學教授鄧聚龍教授于20世紀70年代末至80年代初提出，已廣泛應用于社會、經(jīng)濟、農業(yè)、生態(tài)、生物等各個領域。 灰色系統(tǒng)是指信息部分明確、部分不明確的系統(tǒng)，已知的信息稱為白色，未知的信息稱為黑色。它通過對原始數(shù)據(jù)的重新生成，特別沒有規(guī)律的原始數(shù)據(jù)序列通過累加或累減處理而成為具有較強規(guī)律性的新數(shù)列，再用微分方程來描述這一新的數(shù)列，解此微分方程即得到自變量與因變量的關系。,7.2.2 GM（1,1）模型 建立GM（1,1）模型的實質是對原始序列做一次累加生成的序列呈現(xiàn)一定的規(guī)律，然后建立一階線性微分方程模型，求得擬合曲線對系統(tǒng)進行預測。 （1）GM（1,1）預測模型 設有原始序列 （7-40） 將其累加生成新數(shù)列 ， i=1，2，n （7-41）,其中，,相應的微分方程為,（7-42）,累加矩陣為,（7-43）,常數(shù)向量為,（7-44）,應用最小二乘法求得解的系數(shù)得,（7-45）,并帶入微分方程的解，得到時間函數(shù),（7-46）,再求導還原得,（7-48）,這兩個方程就是GM(1,1)模型的預測方程。此時其實際的預測值可由下式得,（7-49）,（2）GM（1,1）預測模型的檢驗方法 根據(jù)GM（1,1）模型的預測方程可采用3種檢驗方法，殘差的大小檢驗、關聯(lián)度檢驗和后驗方差檢驗。 設t時刻的殘差為,（7-50）,殘差的均值為,（7-51）,殘差的方差為,（7-52）,原始序列的方差值為,（7-53）,后驗差比值 和小誤差概率 為后驗方差檢驗的兩個重要數(shù)據(jù)。顯然，C越小，表示 越大而 越??； 大說明原始數(shù)據(jù)的方差大，即原始數(shù)據(jù)的離散度大； 小說明殘差方差小，殘差的離散程度小。因,此，C小表示盡管原始數(shù)據(jù)的離散程度高，但模型計算所得的值與實際值的差并不太離散。 根據(jù)C和P的大小可以綜合評定預測模型的精度，具體指標見下表,7.2.3 組合預測模型 在時間序列預測實踐中，對于某一時間序列預測問題，可用各種預測模型進行預測。一般來說，采用預測模型不同，預測結果也不同；一種更為科學的做法是，講不同的預測方法進行適當?shù)慕M合，這就是組合預測方法。為了有效地利用各種模型所提供的信息提出了組合預測方法。,組合預測的類型一般分為兩種綜合類型：一種是權重組合；另一種是區(qū)域綜合。 （1）權系數(shù)組合預測模型 組合預測的關鍵是恰當?shù)卮_定各個預測模型的權系數(shù)。權重模型可以用下式表示,（7-54）,為了保證模型的無偏性， 應滿足如下約束條件,（7-55）,其中， 為不同模型組合預測值， 為不同模型的預測值， 為不同模型的權系數(shù)。,（2）區(qū)域綜合組合預測模型 區(qū)域綜合組合模型解求的是多種預測值置信區(qū)間的交集。設J種預測值有置信區(qū)間,（7-59）,則 的置信區(qū)間是這J個區(qū)間的交集,（7-60）,若上式是空集，則依次排除最大與最小的預測值置信區(qū)間，若剩余的模型超過半數(shù)扔由上式進行區(qū)域預測，否則重新建模。,7.2.4 AR(p)模型與灰色系統(tǒng)線性組合預測模型 下面我們對AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的最優(yōu)組合預測模型作出分析。 利用（7-54）式，J個模型組合預測的形式為,j=1,2,，J t=1,2,，N（7-61）,而組合預測模型的預測誤差可以表示為,（7-62）,在極小化準則minQ， 下，可得,如果各個預測模型的預報誤差是不相關的，則E矩陣是可逆矩陣，按最小二乘法求的最優(yōu)權向量為,（7-64）,可以證明最優(yōu)組合預測模型的精度高于任何一個單一預測模型的精度。對于只有兩個預測模型的情況，矩陣E可表示為：,（7-65）,7.3 頻域分析方法,信號頻域分析方法是傅里葉變換及離散傅里葉變換快速算法，它把一個信號分解為各個不同的頻率分量，使信號的時域特征與頻域特征聯(lián)系起來，成為信號分析處理的有力工具。如對一個實測變形時間序列進行分析時，為了求得變形中的主頻率與振幅，可以先用傅里葉變換初步確定時間序列中的主頻率，根據(jù)主頻率利用最小二乘法模擬時間序列求出系數(shù)，在對模擬值與實際觀測的殘差序列重復上述過程，直到殘差序列中不在出現(xiàn)突出的主頻率。,7.3.1 經(jīng)典譜分析與現(xiàn)代譜分析 經(jīng)典的傅里葉分析有兩種方法：一種是直接法，又稱周期圖法，它是直接對數(shù)據(jù)X（N）進行FFT，然后取其幅度平方得到信號的功率譜,（7-66）,這種方法計算方便，是目前常用的方法。另一種是間接法，又稱自相關法，它是先對數(shù)據(jù)求自相關函數(shù) ，然后對自相關函數(shù)作FFT得到功率譜，即 （7-67）,這兩種方法本質是一樣的，都把有限時段的數(shù)據(jù)看做是無限抽樣序列的開窗截取后的結果。但這將出現(xiàn)兩個問題：一是頻率分辨率的極限取決于抽樣數(shù)據(jù)的長度；二是發(fā)生信號頻譜“泄漏”現(xiàn)象，即功率譜主瓣內的能量泄漏到旁瓣內。,7.3.2 短時傅里葉分析和小波分析,經(jīng)典的傅里葉分析和現(xiàn)代譜分析方法都是見建立在平穩(wěn)信號的處理基礎上，給出的結果顯示了信號總體所包括的各種頻率成分。短時傅里葉變換是對信號加上有限的時窗后作傅里葉分析。,（7-69）,對于非平穩(wěn)信號的分析，短時傅里葉變換存在時頻分辨率固定不變和產生干擾項的缺陷，因而應用受到局限。 總之，頻域分析處理技術的發(fā)展，使信號分析處理能力上升到一個更高的層次。,7.4 變形動態(tài)響應分析,7.4.1 動態(tài)響應分析 在分析監(jiān)測橋梁在風荷載作用下的震動，高層建筑在風力、溫度作用下的擺動等這類變形，一般采用連續(xù)的自動記錄裝置，得到一組時間序列數(shù)據(jù)。在進行時間序列數(shù)據(jù)處理時，往往要解釋時序數(shù)據(jù)出現(xiàn)的原因，如在變形分析中探討變形量與變形原因之間的關系，也就是尋求動態(tài)變形原因與變形之間的關系。 因此，為了把分析變形描述成具有系統(tǒng)理論計算的動態(tài)模型系統(tǒng)，除了把原有變形體的變形描述成時間過程外，還把變形原因描述成時間過程；因此一個動態(tài)系統(tǒng)的性能可以表達成,（7-70）,其中， 為變形體的變形， 為激勵。,7.4.2 最小二乘動態(tài)響應分析 動態(tài)響應分析除了時域分析外還可以用頻譜分析。最小二乘響應分析是對輸入信號 中所包含的諧波與分量用頻譜分析法分析，然后用這些頻率采用三角函數(shù)多項式來模擬輸入和輸出信號。 對所選頻率在模擬輸入、輸出信號中是否重要，可以用顯著性檢驗方法。如用選擇的k個頻率模擬的輸入信號為 ，為了檢驗某頻率jw是否重要，可以先除去jw，由k-1個信號對u(t)進行模擬，則可以求得模擬信號 ，若滿足下式,（7-73）,則說明頻率jw對，模擬u(t)是很重要的。, 7.5變形時序分析的應用實例,為了說明時域分析方法，我們選取某一做壩高75m、壩頂長220m的面板堆石壩的安全監(jiān)測觀測數(shù)據(jù)，下表為數(shù)據(jù),7.5.1 利用AR（p）模型與GM（1,1）模型及其組合模型預測分析,（1）AR(p)模型 顯然1號點的垂直位移是非平穩(wěn)的時間序列，它具有趨勢特征，因此要首先消除趨勢項。我們采用擬合函數(shù)法消除趨勢項，擬合函數(shù)采用如下多項式模型,（7-74）,擬合多項式時，對k采用添項法建模，從k=1開始逐步添加，比較每次的殘差平方和 ，作統(tǒng)計檢驗有,（1，N-k-1） （7-75）,當新添 不能使殘差平方和顯著下降時，則說明擬合的多項式較好地表達了與t間的關系，但一般不要采用高次多項式。經(jīng)過計算采用如下多項式,（7-76）,根據(jù)建立AR(p)模型的要求，先對殘差進行平穩(wěn)性檢驗與正態(tài)性檢驗以滿足要求，然后對殘差進行零化處理和標準化處理。在利用處理后的數(shù)據(jù)建立AR(p)模型，經(jīng)過模型辨識，按FPE原則，AR(p)模型的階數(shù)p=2,模型系數(shù)為-0.6726,0.2988，即,（7-77）,其中，這里 為零化處理和標準化處理后的數(shù)據(jù)。,（2）GM（1,1）模型 利用第1期到第30期的垂直位移數(shù)據(jù)，建立GM(1,1)模型，并對第31期到第48期的位移進行預測，預測利用等維新信息模型，增加相同個數(shù)的新息與去掉相同個數(shù)的舊息同時進行。,（3）組合模型 為了建立組合預測模型，我們將AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的預測模型進行組合預測，為了求得組合預測的系數(shù)，利用式（7-64）對AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的預測模型預測的第31期到第42期數(shù)據(jù)計算組合預測系數(shù)，并利用結果組合預測第43期到第48期。,7.5.2 利用傅里葉變換進行頻域分析,為了說明傅里葉變換對時間時間序列處理方法，我們按下式（7-78）模擬的時間序列，模擬偶然誤差為2，采樣間隔為0.001，根據(jù)申農采集定律，可以分辨最高頻率不超過500的信號。得到原始時間序列。,（7-78）,顯然，直接從原始時間序列圖中識別出規(guī)律是困難的。利用傅里葉變換，將時域信號轉換到頻域進行分析，得到下圖的頻譜。,從變換后的頻譜圖可以看到兩個明顯的波峰頻