高中數(shù)學第二章拋物線課后提升作業(yè)（十七）2.3.2.2拋物線方程及性質的應用檢測（含解析）.docx

課后提升作業(yè) 十七拋物線方程及性質的應用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2016大理高二檢測)過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有()A.1條B.2條C.3條D.0條【解析】選C.易知過點(0,1),斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點.當斜率存在時,設直線方程為y=kx+1,再與y2=4x聯(lián)立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,當k=0時,方程是一次方程,有一個解,滿足一個交點;當k0時,由=0可得k值有一個,即有一個公共點,所以滿足題意的直線有3條.2.拋物線y2=3x關于直線y=x對稱的拋物線方程為()A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解題指南】利用點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x)進行求解.【解析】選B.因為點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x),所以y2=3x關于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y.3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.B.C.D.3【解析】選A.設拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為,當m=時,取得最小值為.【一題多解】選A.設與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程為4x+3y-=0.因此拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=.4.(2016成都高二檢測)拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當FPM為等邊三角形時,其面積為()A.2B.4C.6D.4【解析】選D.根據題意知,FPM為等邊三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM拋物線的準線.設P,則M(-1,m),等邊三角形邊長為1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,得m=2,所以等邊三角形的邊長為4,其面積為4.5.(2015全國卷)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設橢圓E的方程為+=1(ab0),右焦點為(c,0),依題意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為+=1,因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2,將x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知拋物線y2=2px(p0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】選B.設A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因為y1+y2=4,所以=k=1,所以p=2.所以所求拋物線的準線方程為x=-1.7.(2016蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=x2的焦點的直線被拋物線所截得的弦長為()A.8B.6C.4D.10【解析】選A.設弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),易知直線方程為y=x+1,直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦長l=8.8.(2016商丘高二檢測)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為()A.B.C.1D.2【解析】選D.由題意知,拋物線的準線l:y=-1,過A作AA1l于A1,過B作BB1l于B1,設弦AB的中點為M,過M作MM1l于M1,則|MM1|=.|AB|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故M到x軸的距離d2.【拓展延伸】“兩看兩想”的應用與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑.【補償訓練】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A.B.3C.D.【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點為F,準線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值,可以轉化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,不難得出相應的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值等于=.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016臨沂高二檢測)直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k=_.【解析】當k=0時,直線與拋物線有唯一交點,當k0時,聯(lián)立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由題意=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.拋物線y2=x上的點到直線x-2y+3=0的距離最短的點的坐標是_.【解析】設與直線x-2y+3=0平行的直線方程為x-2y+m=0,與拋物線方程y2=x聯(lián)立成方程組消去x得y2-2y+m=0,令=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,則所求點的坐標是(1,1).答案:(1,1)三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2016寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,O為坐標原點.(1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程.(2)設|FA|=2|BF|,求直線l的方程.【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因為y2=4x,所以F(1,0),又因為直線l的斜率為1,所以直線l的方程為y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根與系數(shù)的關系得易得AB的中點,即圓心的坐標為(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圓的半徑r=4,所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因為|FA|=2|BF|,所以=2,而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),所以易知直線l的斜率存在,設直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根與系數(shù)的關系得因為x1-1=2(1-x2),所以或所以k=2,所以直線l的方程為y=2(x-1).【補償訓練】已知頂點在原點,焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+所得的弦長|P1P2|=4,求此拋物線的方程.【解析】設拋物線方程為y2=-2px(p0),把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得消元得x2+(3+2p)x+=0,判別式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.12.過拋物線y2=2px(p0)上一定點P(x0,y0)(y00)分別作斜率為-k和k的直線l1, l2,設l1, l2與拋物線y2=2px交于A,B兩點,證明直線AB的斜率為定值.【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-y+-2px0=0,由根與系數(shù)的關系得y0+y1=,所以y1=-y0.同理y0+y2=-,所以y2=-y0.由,得y1+y2=-2y0,所以kAB=-,即直線AB的斜率為定值.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線方程為y2=-2px,其準線方程為x=,直線l:y=k(x+1)與拋物線交于A,B兩個不同的點,O為坐標原點.(1)求證:OAOB.(2)當OAB的面積等于時,求k的值.【解析】(1)因為拋物線y2=-2px的準線方程為x=,所以=,得p=,即拋物線的方程為y2=-x,聯(lián)立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.設A(x1,y1),B(x2,y2)