清華大學計算固體力學第三次課件連續(xù)介質力學.ppt

非線性有限元 第3章 連續(xù)介質力學,計算固體力學,第2講 連續(xù)介質力學,引言 變形和運動 應變度量 應力度量 守恒方程 Lagrangian守恒方程 極分解和框架不變性,1 引言,連續(xù)介質力學是非線性有限元分析的基石。,從描述變形和運動開始。在剛體的運動中著重于轉動的描述。轉動在非線性連續(xù)介質力學中扮演了中心的角色，許多更加困難和復雜的非線性連續(xù)介質力學問題都是源于轉動。,1 引言,非線性連續(xù)介質力學中的應力和應變，有多種方式定義。在非線性有限元程序中應用最頻繁的是： 應變度量：Green應變張量和變形率。 應力度量：Cauchy應力、名義應力和第二PiolaKirchhoff應力，簡稱為PK2應力。,還有許多其它的度量，過多的應力和應變度量是理解非線性連續(xù)介質力學的障礙之一。一旦理解了這一領域，就會意識到這么多的度量沒有增加基礎的東西，也許只是學術過量的一種顯示。 我們只用一種應力和應變度量的方式進行講授，也涉及到其它的方式，以便能夠理解文獻和軟件。,1 引言,守恒方程，通常也稱為平衡方程，包括質量、動量和能量守恒方程。平衡方程是在動量方程中當加速度為零時的特殊情況。守恒方程既從空間域也從材料域中推導出來。 推導并解釋極分解原理，檢驗Cauchy應力張量的客觀率，也稱作框架不變率。解釋了率型本構方程要求客觀率的原因，然后表述了幾種非線性有限元中常用的客觀率。,2 變形和運動,它們的屬性和響應可以用空間變量的平滑函數來表征，至多具有有限個不連續(xù)點。它忽略了非均勻性，諸如分子、顆?；蛘呔w結構。晶體結構的特性有時也通過本構方程出現(xiàn)在連續(xù)介質模型中，但是假定其響應和屬性是平滑的，只具有有限個不連續(xù)點。,連續(xù)介質力學的目的就是提供有關流體、固體和組織結構的宏觀行為的模型。,Kinematic description: 應變是如何度量的？ Kinetic description: 應力是如何度量的？ Mesh description: 網格移動如何聯(lián)系連續(xù)體的運動？,2 變形和運動,在初始域和當前域 域之間的映射,初始構形,當前構形,材料點的位置矢量,ei 直角坐標系的單位基矢量，xi 位置矢量的分量。,2 變形和運動,運動描述,空間坐標,當參考構形與初始構形一致時，在 t0 時刻任意點處的位置矢量 x 與其材料坐標一致,一致映射,為常數值的線被蝕刻在材料中，恰似Lagrangian網格；它們隨著物體變形，當在變形構形中觀察時，這些線就不再是Cartesian型。這種觀察方式下的材料坐標被稱為流動坐標。但是，當我們在參考構形中觀察材料坐標時，它們不隨時間改變。建立的方程，是在參考構形上觀察材料坐標，因此以固定的Cartesian坐標系推導方程。另一方面無論怎樣觀察，空間坐標系都不隨時間變化。,材料坐標,2 變形和運動,運動描述,在流體力學中，根據參考構形來描述運動通常是不可能的，并且沒有必要。在固體力學中，應力一般依賴于變形和它的歷史，所以必須指定一個未變形構形，普遍采用Lagrangian描述，獨立變量是材料坐標X 和時間t。,位移,速度,加速度,速度是材料點的位置矢量的變化率材料時間導數,2 變形和運動,運動描述,獨立變量是空間坐標x 和時間t，稱為空間或Eulerian描述,通過鏈規(guī)則得到材料時間導數,空間時間導數,對流項、遷移項,矢量場的左梯度,空間變量 x 和時間 t 的任何函數的材料時間導數可以通過鏈規(guī)則得到,和張量函數,其材料時間導數給出為,對于標量函數,2 變形和運動,運動描述,左梯度矩陣,變形梯度是運動函數的Jacobian矩陣,2 變形和運動,第一個指標代表運動，第二個指標代表偏導數,材料坐標左梯度的轉置,直角坐標系下二維的變形梯度給出為,F 的行列式用J 表示，稱作Jacobian行列式或變形梯度行列式,2 變形和運動,變形梯度,將當前構形和參考構形上的積分聯(lián)系起來,二維域,Jacobian行列式的材料時間導數給出為,左散度,2 變形和運動,運動條件,除了在有限數量的零度量集合上，假設描述運動和物體變形的映射,滿足以下條件：,連續(xù)可微，一對一（F可逆），J 0,這些條件保證函數足夠平滑以至于滿足協(xié)調性，即在變形物體中不存在縫隙和重疊。運動及其導數可以是非連續(xù)或者在零尺度集合上具有非連續(xù)的導數（如裂紋），所以它是分段連續(xù)可微的。增加不包括零尺度集合的附加條件以解釋裂紋形成的可能性。在形成裂紋的表面上，上述條件不滿足。零尺度集合在一維情況中是點，在二維中是線，三維中是平面，因為一個點具有零長度，一條線具有零面積，一個表面具有零體積。,2 變形和運動,運動條件,變形梯度通常在材料的界面上是非連續(xù)的。在某些現(xiàn)象中，例如擴展裂紋，運動本身也是非連續(xù)的。要求在運動及其導數中非連續(xù)的數量是有限的。實際上發(fā)現(xiàn)，有些非線性解答可能擁有無限數量的非連續(xù)。然而，這些解答非常罕見，不能被有限元有效地處理，所以將不關注這些解答。,第二個條件，即運動為一對一的，要求對于在參考構形上的每一點，在當前構形上有唯一的點與之對應，反之亦然。這是F規(guī)則的必要充分條件，即F是可逆的。當變形梯度F是正常的，則 ，因為當且僅 當時F的逆才存在。因此，第二個條件和第三個條件是有聯(lián)系的。更強的條件是J 必須為正而不僅是非零，在第3.5.4節(jié)可以看到這遵循了質量守恒。這個條件在零尺度集合上也可以違背。例如，在一個裂紋的表面上，每一個點都成為了兩個點。,運動條件,一個Lagrangian網格的剛體轉動，顯示在參考(初始、未變形)構形和當前(變形)構形中觀察到的材料坐標。,轉動是正交變換的一個例子，R是正交矩陣。一個矩形單元的Lagrangian網格的剛體轉動，如圖所示?？梢钥闯?，在剛體轉動中單元的邊發(fā)生轉動，但是邊與邊之間的夾角保持不變。單元的邊是X 或Y 坐標為常數的直線，所以在變形構形中觀察時，當物體轉動時材料坐標也轉動。,一個剛體的運動包括平動和繞原點的轉動，剛體轉動和坐標轉換的關系為,2 變形和運動,二維問題,角速度,空間坐標,角速度張量或角速度矩陣,偏對稱張量也稱作反對稱張量,二維問題,動力學教材中的剛體運動方程,例3.1,3節(jié)點三角形有限元，設節(jié)點的運動為,求解變形梯度和Jacobian行列式為時間的函數， 當Jacobian行列式保持常數時求出a和b的值。,2 變形和運動,(1),三角形3節(jié)點線性位移單元的構形,解：,在初始構形中，t = 0,面積坐標,2 變形和運動,(2),將未變形構形中的節(jié)點坐標代入上式,在初始構形中，t = 0,得到三角形坐標與材料坐標之間的關系,即,得到運動的表達式,變形梯度為,2 變形和運動,將 (1) 和 (3) 代入 (2),(3),在單元中的位移是材料坐標的線性函數，變形梯度僅為時間函數，若給定時間，F(xiàn) 為常數。Jacobian行列式給出為,變形梯度為,當,J的行列式為常數，,這種運動是沒有變形的轉動；,當,一個剪切變形和一個轉動，其中單元的面積保持常數。這種類型的變形稱為等體積變形；不可壓縮材料的變形就是等體積變形。,2 變形和運動,J行列式也保持常數，這種情況對應于,例3.3,一個單位正方形4節(jié)點單元，其中3個節(jié)點固定。求導致Jacobian行列式等于零時節(jié)點3位置的軌跡。,除節(jié)點3之外所有節(jié)點均固定，矩形單元的位移場由雙線性場給出,2 變形和運動,沿著由節(jié)點1和2以及節(jié)點1和4所定義的邊界上位移場為零，運動為,變形梯度,則Jacobian行列式為,檢驗什么時候Jacobian行列式為零，只需考慮單元未變形構形中材料點 的Jacobian行列式，即單位正方形,顯然,且,J是最小,當,對應的點的軌跡由節(jié)點位移的線性函數給定,節(jié)點3越過未變形單元的對角線,2 變形和運動,例3.4,小變形情況下一個擴展裂紋周圍的位移場給出為,初始未開裂的構形和裂紋沿軸擴展的兩個隨后構形,2 變形和運動,這個位移場對應于沿著X軸的開口裂紋，且裂尖速度為c。求出沿著直線 上的位移間斷。并問這個位移場是否滿足運動連續(xù)性要求？,解：,2 變形和運動,運動為 ， 。,位移場的間斷是在公式中關于 和 的差值：,所以位移的跳躍或間斷為,其它任何地方的位移場都是連續(xù)的。 這個運動滿足第14頁所給出函數連續(xù)性準則，因為不連續(xù)僅僅發(fā)生在一條線上，在二維中這是一個零尺度的集合。從圖中可以看出，在這個運動中裂紋尖端后面的線被分成兩條線。在設計運動時也可能該線并不分離，只是在切線位移場上發(fā)生間斷?，F(xiàn)在這兩種運動都常常應用在非線性有限元分析中。,3 應變度量,Green應變E 變形率張量D,許多應變和應變率度量出現(xiàn)在連續(xù)介質力學的文獻中；然而，在有限元方法中應用最普遍的是上面兩種度量。在描述本構方程時，如果需要，有時使用其它度量更加有利。 對于任何剛體運動(含剛體轉動)，應變度量必須為零。如果在剛體轉動中應變度量不為零，預示著有非零應變，結果導致非零應力。下面看一個例子3.6。,一個單元繞著原點轉動了角。計算線性應變,例3.6,取它們對材料坐標求導,如果較大，伸長應變不為零。,對于任何剛體運動(含剛體轉動)，應變度量必須為零。這就是為什么在非線性理論中放棄一般的線性應變位移方程的關鍵因素。,3 應變度量,3 應變度量,下面將看到在剛體轉動中E和D為零。應變度量也應該滿足其它的準則，比如，當變形增大時它也相應的增大，等等。然而，能夠表示剛體運動是至關重要的，并且指明什么時候使用幾何非線性理論。,到底多么大的轉動需要進行非線性分析？,說明在轉動中線性應變的誤差是二階的，線性分析的適用性在于容許誤差的量級，最終取決于感興趣的誤差大小。,因此，線性應變張量不能用于大變形問題。,線性分析的適用性則在于能夠容許誤差的量級，最終取決于感興趣的應變的大小。如果感興趣的應變量級是10-2，那么1的誤差是能夠接受的（幾乎總是這樣）。如果感興趣的應變更小，可接受的轉動更小，對于10-4量級的應變，為滿足1的誤差，轉動必須是10-3 弧度量級的。 這些指導數據假設平衡解答是穩(wěn)定的，即不可能發(fā)生屈曲。然而，屈曲是可能的，即使是在很小的應變下，所以當可能發(fā)生屈曲時，應該使用能適合應付大變形的度量。,3 應變度量,3 應變度量,Green應變張量定義,材料矢量dX長度平方的變化。Green應變度量了當前(變形)構形和參考(未變形)構形中一個微小段長度的平方的差。利用變形梯度公式,將公式左邊重新寫成為矩陣形式,整理上面公式為,提出相同的項得到,對于任何dX都成立,3 應變度量,Green應變張量E,以位移的形式使用指標寫法,代入上式，表示為位移梯度的形式,3 應變度量,在任何剛體運動中，Green應變張量為零，滿足了應變度量的一個重要要求。,考慮剛體運動,由變形梯度F 定義，繞原點純轉動時，給出為FR （證明見例3.2),式中轉動張量滿足正交性，R是正交矩陣,Green應變張量E,第二個運動度量D，稱為速度應變, 是變形的率度量, 定義速度梯度,3 應變度量,變形率張量D,速度梯度張量可以分解為對稱部分和反對稱部分為,令,變形率(對稱),轉動(反對稱),二階張量或方陣的標準分解：以上面的方式，任何一個二階張量都可以表示為它的對稱部分和反對稱部分的和,所以,沒有變形，轉動張量和角速度張量相等：W。 由速度梯度定義，在剛體運動中變形率D0，所以LW ，積分,其中xT和vT是積分常數，對比剛體動力學公式：,得到,在剛體轉動中，轉動和角速度張量是相同的。當剛體除了轉動之外還有變形時，轉動張量一般區(qū)別于角速度張量。,3 應變度量,變形率張量D,變形率是微小材料線段長度的平方的變化率度量,證明在剛體運動中變形率D0,3 應變度量,變形率張量D,3 應變度量,變形率的Green應變率形式,將變形率與Green應變張量的率聯(lián)系起來，首先得到速度場的材料梯度，并通過鏈規(guī)則表示為空間梯度的形式,取變形梯度 的材料時間導數,應用鏈規(guī)則展開恒等式,得到,代入上面公式，有,3 應變度量,變形率的Green應變率形式,將變形率與Green應變張量的率聯(lián)系起來,將變形率D前面點積FT，后面點積F，得到,這兩種度量是看待相同過程的兩種方式：Green應變率是在參考構形中表達的，變形率是在當前構形中表達的。 兩種形式的性質的區(qū)別是，在例3.7中將會看到Green應變率對時間積分是與路徑無關的，而變形率對時間積分是與路徑有關的。,逆變換得到,前推運算,后拉運算,例3.5 拉伸和轉動聯(lián)合作用下的應變度量,考慮運動,其中a和b是正常數。計算作為時間函數的變形梯度F，Green應變 和變形率張量，并驗證在t0與t1時的值。定義,計算變形梯度F,以上變形包括同時沿著X和Y軸材料線的拉伸和單元轉動。在任何時刻在單元中的變形梯度是常數，應變度量也是常數。得到Green應變張量，由公式給出F，這樣得到：,得到Green應變張量,當t0時，有xX和E0，,計算變形率，先獲得速度，取運動的材料時間導數,在t0時，xX，yY，c1，s0，AB1，速度梯度在t0時為,例3.5 拉伸和轉動聯(lián)合作用下的應變度量,為了確定變形率的時間歷史，計算變形梯度的時間導數和逆,等式右邊的第一項是變形率，因為它是速度梯度的對稱部分， 而第二項是轉動，它是反對稱部分。變形率在t1時給出為,因此，當在中間步驟中，剪切速度應變是非零的， 在t1時刻的構形中只有伸長的速度應變是非零的。 當t1時刻的Green應變率通過對變形率后拉運算給出,例3.5 拉伸和轉動聯(lián)合作用下的應變度量,一個單元經歷了圖示的變形階段。在這些階段之間的運動是時間的線性函數。計算每一階段的變形率張量D，對于回到未變形構形的整個變形循環(huán)，獲得變形率的時間積分。,例3.7 計算變形率的時間積分,假定變形的每個階段都發(fā)生在一個單位時間間隔內。時間標定與結果無關，從構形1到構形2的運動為：,確定變形梯度,得到速度梯度和變形率為,例3.7 計算變形率的時間積分,這樣，變形率就是一個純剪切，即兩個拉伸分量都為零。由公式(3.3.5)得到Green應變?yōu)椋?比較上面兩式，E22非零，而D220，當a為小量時，E22也小。,從構形2到構形3剪切與y向拉伸的聯(lián)合運動：,例3.7 計算變形率的時間積分,從構形3到構形4純剪切運動：,從構形4到構形5y向拉伸（壓縮）運動：,在構形5中的Green應變?yōu)榱?，因為在t=4時的變形梯度是單位張量，F(xiàn)I。變形率對時間的積分給出為,例3.7 計算變形率的時間積分,變形率在回到初始構形結束的整個循環(huán)上的積分不為零。這個問題的最后構形對應于未變形構形，所以應變的度量應該為零，變形率的積分不為零，變形率的積分是路徑相關的。 對于第5章描述的次彈性材料，這是一個重要的詮釋。它同時也暗示變形率的積分不是整個應變的一個很好的度量。必須注意到D在一個循環(huán)上的積分結果是表征變形的二階常數，所以只要這些常數非常小，誤差是可以忽略不計的。Green應變率在任何閉合循環(huán)上的積分等于零，因為它是Green應變E的時間導數。換句話說，Green應變率的積分是路徑無關的。,4 應力度量,1 Cauchy應力， 2 名義應力張量，P 3 PK2應力張量，S,法向矢量通常在左邊,以Cauchy應力的形式表示面力，稱為Cauchy定理，或者Cauchy假定。它包括當前表面的法線和面力（每單位面積上的力），稱為物理應力或真實應力。例如，Cauchy應力的跡，,這是流體力學中普遍使用的真實壓力p。應力度量P和S的跡沒有給出真實壓力，因為它們參考未變形的面積。使用約定，在拉伸中Cauchy應力的法向分量為正，由公式，在壓縮時壓力是正的。 在角動量守恒中將看到，Cauchy應力張量是對稱的，即T。,4 應力度量,1 Cauchy應力， 2 名義應力張量，P 3 PK2應力張量，S,4 應力度量,名義應力P表示是在參考表面上的面積和法線，即未變形表面， 它的定義類似于Cauchy應力的定義。名義應力是非對稱的。 名義應力的轉置稱作為PK1(第一Piola-Kirchhoff)應力。,PK2應力為對稱的，它和Green應變率在功率上是共軛的。 PK2應力被廣泛應用于路徑無關材料，如橡膠 (勢能）。,在Nanson關系中，當前法線與參考法線通過下式聯(lián)系起來,為了說明如何得到不同應力度量之間的轉換關系，將以Cauchy應力的形式建立名義應力的表達式。,通過Nanson關系,4 應力度量,由于上式對于任意的n0都成立，所以有,對于任意的n0都成立，有,作矩陣變換,從公式可以看到， PPT (FFT)， 即名義應力張量是非對稱的。,Cauchy應力，PK2應力，名義應力的關系,后拉,前推,參考構形,S和之間的關系，只依賴于變形梯度F和J行列式Jdet(F) 只要變形已知，應力狀態(tài)總能夠表示為 、P或者S的形式。 可以看出，如果Cauchy應力對稱，那么S也是對稱：SST 。,在物體中的每個點都構造了一個坐標系。這個坐標系隨著材料或單元一起轉動。通過將這些張量表達在一個隨材料而轉動的坐標系中，很容易處理結構單元和各向異性材料。,旋轉應力和變形率,4 應力度量,在旋轉方法中，用基矢量,變形率也表示為其旋轉分量的形式，,它可以從總體分量中得到，也可以直接從速度場中得到。,4 應力度量,旋轉應力和變形率,變形率也可以表示為旋轉分量,事實上，速度v的正確梯度是,旋轉方法經常迷惑一些有經驗的力學工作者，他們把它解釋為一種 用基矢量,的曲線坐標系統(tǒng)，是x的函數，從而會給出一個矢量,錯誤地認為速度v的梯度是,每個點可能有不同的旋轉系統(tǒng),旋轉Cauchy應力和旋轉變形率定義為,4 應力度量,旋轉應力和變形率,旋轉Cauchy應力張量與Cauchy應力是同一個張量， 但是它被表示為隨材料而轉動的坐標系的分量形式。 嚴格的講，一個張量不依賴于表示它的分量的坐標系。,“戴帽子”的那個坐標系是隨著材料（或單元）運動的， 有限元中一般定義三套坐標系統(tǒng)：總體，單元，節(jié)點,例3.8 平面問題,設給定初始狀態(tài)的Cauchy應力和運動形式為,應力嵌入在材料中，當物體轉動時，初始應力也跟著轉動，,計算初始構形以及t/2時構形的PK2應力，名義應力和旋轉應力。,在初始狀態(tài)，F(xiàn)I，有,在t/2時的變形構形中，變形梯度給出為,4 應力度量,例：平面問題,因為應力是嵌入在材料中，在轉動t/2構形中的應力狀態(tài)為,由于這個問題中的映射為純剛體轉動，RF，所以當t/2時,在純轉動中，PK2應力是不變的；PK2應力行為好像是被嵌入在材料中。 材料坐標隨著材料轉動，而PK2應力的分量始終與材料坐標的取向保持關聯(lián)。,5 守恒方程,如果,知識準備,是C1連續(xù)的，且對于,的任何子域有,那么在上，對于任何,有,1. 質量守恒 2. 線動量守恒，常稱為動量守恒 3. 能量守恒 4. 角動量守恒,5 守恒方程,1 質量守恒,質量守恒要求任意材料域的質量為常數，沒有穿過材料域的邊界，不考慮質量到能量的轉化。根據能量守恒原理，m()的材料時間導數為零，即,材料域的質量為,對上式應用Reynold轉換定理得到,由于上式對于任意的子域都成立，可以得到,質量守恒方程，稱其為連續(xù)性方程，是一階偏微分方程。,5 守恒方程,Reynold轉換定理,一個積分的材料時間導數是在材料域上積分的變化率。材料域隨著材料而運動，在邊界上的材料點始終保持在邊界上，且不發(fā)生質量流動跨過邊界。材料域類似于Lagrangian網格；對于材料時間導數的各種積分形式稱為Reynold轉換定理。,將右邊的兩個積分轉換到參考域上,t是同一材料點在t時刻所占據的空間域。,積分域經過這種變換，f 成為材料坐標的函數。,積分域現(xiàn)在是時間獨立，將極限運算拉入積分內進行，取極限得到,5 守恒方程,1 質量守恒,獨立的空間變量是材料坐標，被積函數中對時間的偏導數是材料時間導數,將上式右邊的積分轉換到當前域上，并把獨立變量改為Eulerian描述，給出,Reynold轉換定理一種形式,5 守恒方程,1 質量守恒,Reynold轉換定理另一種形式,對上式右邊的第二項應用Gauss定理,質量守恒方程,質量守恒方程的幾種特殊形式,5 守恒方程,(1) 當材料不可壓縮時，密度的材料時間導數為零, 即速度場的散度為零,(2) 對于Lagrangian描述，將質量守恒方程對時間積分，得到密度的代數方程,將上式左邊的積分轉換到參考域,代數方程常常應用于Lagrangian網格中以保證質量守恒(固體力學), 在Eulerian網格中質量守恒的代數形式不能應用，通過偏微分方程，即連續(xù)性方程保證質量守恒(流體力學)。,5 守恒方程,2 線動量守恒,從線動量守恒原理得出的方程是非線性有限元程序中的一個關鍵方程。 線動量守恒等價于Newton第二運動定律，它將作用在物體上的力與它的 加速度聯(lián)系起來。這個原理通常稱為動量守恒原理，或動量平衡原理。,稱為動量方程；也稱為線動量平衡方程。左邊的項代表動量的變化，稱為慣性或運動項。根據應力場的散度，右邊的第一項是每單位體積的凈合內力。這種形式的動量方程均適用于Lagrangian格式和Eulerian格式。,平衡方程,平衡過程是靜態(tài)的, 荷載緩慢施加到物體上，不包括加速度。,動量和平衡方程都是張量方程, 代表了NSD個標量方程。,5 守恒方程,3 角動量守恒,用位置矢量x叉乘相應的線動量原理中每一項，得到角動量守恒的積分形式,式中,角動量守恒方程要求Cauchy應力為對稱張量。所以，在二維問題中Cauchy應力張量代表著3個不同的相關變量，在三維問題中為6個。當使用Cauchy應力時，角動量守恒不會產生任何附加的方程。,4 能量守恒,5 守恒方程,考慮熱力學過程，僅有的能量源為機械功和熱量。能量守恒原理，即能量平衡原理，說明整個能量的變化率等于體力和面力做的功加上由熱流量和其它熱源傳送到物體中的熱能。 每單位體積的內能用wint表示，其中wint是每單位質量的內能。 每單位面積的熱流用矢量q表示，其量綱是功率除以面積， 每單位體積的熱源用s表示。 能量守恒則要求在物體中總能量的變化率，包括內能和動能，等于所施加的力和在物體中由熱傳導和任何熱源產生的能量的功率。,5 守恒方程,4 能量守恒,在域內由體積力,和在表面上由面力做的功率為,在物體中總能量的變化率為,由熱源s和熱流q提供的功率為,其中熱流一項的符號是負的，因為正的熱流是向物體外面流出的,能量守恒,5 守恒方程,4 能量守恒,即物體內總能量的變化率（包括內能和動能）等于外力的功率和由熱流及熱能源提供的功率。這是已知的熱力學第一定律。 內能的支配依賴于材料。在彈性材料中，它以內部彈性能的形式存儲起來，并在卸載后完全恢復；在彈塑性材料中，部分內能轉化為熱，部分由于材料內部結構的變化而耗散了。,應用Reynold定理將求導數移入積分內，然后將面積分轉換為域積分,5 守恒方程,4 能量守恒,將Cauchy定律和Gauss定理應用于面力邊界積分，得到,代入能量守恒公式，對熱流積分應用Gauss定理，并整理各項得到,動量方程,為0,5 守恒方程,4 能量守恒,由域的任意性,得到能量守恒的偏微分方程,當沒有熱流和熱源時，即為一個純機械過程，能量方程成為,這不再是一個偏微分方程，它以應力和應變率度量的形式，定義了給予物體單位體積的能量變化率；稱為內能變化率或內部功率。由變形率和Cauchy應力的縮并給出內部功率。變形率和Cauchy應力在功率上是耦合的。 功率上的耦合有助于弱形式的建立：在功率上耦合的應力和應變率的度量可以用于構造虛功原理或虛功率原理，即動量方程的弱形式。在功率上耦合的變量也可以說在功或者能量上是耦合的，但是常常使用功率耦合的說法，因為它更加準確。,5 守恒方程,6 Lagrangian守恒方程,以應力和應變的Lagrangian度量形式，在參考構形中直接建立守恒方程是有益的。在連續(xù)介質力學的文獻中，這些公式稱為Lagrangian描述，而在有限元的文獻中，這些公式稱為完全的Lagrangian格式。 對于完全的Lagrangian格式，總是使用Lagrangian網格。在Lagrangian框架中的守恒方程與剛剛建立的守恒方程基本上是一致的；它們只是以不同的變量表示。實際上將看到，可以通過框3.2中的轉換關系和鏈規(guī)則得到它們。,6 Lagrangian守恒方程,在完全的Lagrangian格式中，獨立變量是材料坐標X和時間t。主要的相關變量是初始密度0(X，t)，位移u(X，t)以及應力和應變的Lagrangian度量。 使用名義應力P(X，t)作為應力的度量。這導致動量方程與Eulerian描述的動量方程(3.5.33)驚人的相似，所以非常容易記憶。變形將通過變形梯度F(X，t)描述。 對于構造本構方程，使用成對的P和F不是特別有用的，因為F在剛體運動中不為零，而P是不對稱的。因此，本構方程通常表示為PK2應力S和Green應變E的形式。然而，通過框3.2中的轉換關系，S和E之間的關系可以很容易的轉換為P和E之間的關系。,6 Lagrangian守恒方程,7 極分解和框架不變性,目的是探討剛體轉動的作用： 表述極分解定理，該定理能夠從任何運動中得到剛體轉動。 考慮剛體轉動對于本構方程的影響。證明對于Cauchy應力，需要對時間導數進行修改建立率本構方程。這就是框架不變性或者應力的客觀率。 表述三種框架不變率：Jaumann率。Truesdell率和GreenNaghdi率。 展示了由于次彈性本構方程和這些不同變化率的錯誤應用，在結果中的驚人誤差。,極分解定理,7 極分解和框架不變性,在大變形問題中，闡明轉動作用的基本原理就是極分解定理。這個定理表述為，任何變形梯度張量F可以乘法分解為一個正交矩陣R和一個對稱張量U的乘積，稱U為右伸長張量 (先伸長再轉動)。,物體的任何運動包括一個變形，由對稱映射U表示，和一個剛體轉動R；所有的正交變換都是轉動。在這個方程中沒有出現(xiàn)剛體平動，因為dx和dX分別是在當前和參考構形中的微分線段，而且微分線段的映射不受平動的影響。 如果將方程積分得到x(X,t)的形式，那么剛體平動將作為一個積分常數出現(xiàn)。在剛體平動中，F(xiàn)I，和dxdX。,其中,有,7 極分解和框架不變性,極分解定理證明,得到,右邊總是一個正矩陣，所以矩陣U的所有特征值總是正值，故U的逆矩陣存在,矩陣U與工程應變聯(lián)系得非常緊密。它的主值是在矩陣U的主方向上線段的伸長。其吸引人之處在于建立本構方程。張量UI 稱為Biot應變張量。,一個運動也可以分解為一個左伸長張量和一個轉動的形式,稱V為左伸長張量（先轉動再伸長）。,7 極分解和框架不變性,通過極分解定理分別求在t1.0 和 t0.5 時的剛體轉動和伸長張量,考慮三角形單元的運動，其中節(jié)點坐標xI (t)和yI (t)分別為,例3.10,在面積坐標的形式下，運動描述為,7 極分解和框架不變性,將面積坐標表示為材料坐標 ，t=1時刻,變形梯度,伸長張量U,例3.10,7 極分解和框架不變性,轉動矩陣R,這個轉動是一個逆時針90的旋轉,這個變形包含節(jié)點1和3之間線段的伸長，放大系數為2（U11），和節(jié)點3和2之間線段的縮短，放大系數為0.5（見U22），導致沿x方向發(fā)生平移3a和90的旋轉,在式(E3.10.1)中取t1所表示的運動,例3.10,7 極分解和框架不變性,客觀率,考慮率本構方程的最簡單例子，應力率與變形率為線性關系的次彈性定律,Cauchy應力張量為什么需要客觀率？,本構方程有效嗎？,7 極分解和框架不變性,客觀率,回答是否定的， 考慮圖中的桿，在初始構形中所受的應力為x0?，F(xiàn)在假設桿以恒定長度轉動，所以不存在變形，即D0。 回顧在剛體運動中初始應力（或預應力）嵌入在固體中的狀態(tài)，即在剛體轉動中沒有發(fā)生變形，觀察者所看到的隨著物體運動的應力（在單元坐標系中）也不應該變化。 在固定坐標系下，Cauchy應力的分量在轉動中將發(fā)生變化，所以應力的材料導數必須是非零的。但是，對于純剛體轉動，在整個運動過程中公式的右邊將為零，因為已經證明了在剛體運動中變形率為零。因此，在公式中一定是漏掉了什么東西：D0，但是D/Dt不應該為零！,公式的不足在于它不能解釋材料的轉動。通過應力張量的客觀率可以解釋材料的轉動；稱為框架不變率。 考慮三種客觀率： Jaumann率， Truesdell率， GreenNaghdi率。 框架不變性的核心是應力的(變化)材料導數不受剛體位移的影響。 所有這些都應用于當前的有限元軟件中，如ABAQUS。還有許多其它的客觀率將在后面討論。,7 極分解和框架不變性,客觀率,黃先生書描述固體本構大變形給出3種定義： 1 SO(Simo-Ortiz)定義來自于GreenNaghdi率本構模型，只不過將后者從參考構型前推到卸載構形(令溫度和結構不變，應力全部卸除后的殘余變形，也稱為中間構形)和當前構型； MOS(Moran-Ortiz-Shih)本構理論來自于Jaumann率，將變形張量分解為對稱(平動)和反對稱部分(轉動)。在中間構形建立本構關系，把中間構形中的Green應變率定義為彈性變形率D，dE/dtD既反映了當前構形、也反映了中間構形的變化。 RH(Rice-Hill)與SO的差別是不分別定義Green應變的彈性和塑性部分，而是分解Green應變率為彈性和塑性部分。 Cauchy應力與Jaumann率構成ABAQUS的核心部分。,7 極分解和框架不變性,客觀率,Cauchy應力的Jaumann率,7 極分解和框架不變性,一個適當的次彈性本構方程給出為,Cauc