概率論課后作業(yè)題目選講.ppt

概率論習(xí)題講解,8.1 設(shè)(x,h)服從在A上的均勻分布, 其中A為x軸、y軸及直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域. 求 (1) Ex; (2) E(-3x+2h); (3) E(xh); (4) s2(x),s(x).,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,8.1 設(shè)(x,h)服從在A上的均勻分布, 其中A為x軸、y軸及直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域. 求 (1) Ex; (2) E(-3x+2h); (3) E(xh); (4) s2(x),s(x). 解: (x,h)的分布密 度為,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,由對(duì)稱性得,因此,7.12 設(shè)某單位有200臺(tái)電話機(jī), 每臺(tái)電話機(jī)大約有5%的時(shí)間要使用外線通話. 若每臺(tái)電話機(jī)是否使用外線是獨(dú)立的, 問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線, 才能以90%以上的概率保證每臺(tái)電話機(jī)需要使用外線時(shí)可供使用.,7.12 設(shè)某單位有200臺(tái)電話機(jī), 每臺(tái)電話機(jī)大約有5%的時(shí)間要使用外線通話. 若每臺(tái)電話機(jī)是否使用外線是獨(dú)立的, 問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線, 才能以90%以上的概率保證每臺(tái)電話機(jī)需要使用外線時(shí)可供使用. 解: 設(shè)x為每時(shí)刻用外線通話的電話機(jī)數(shù), 則xB(200,0.05), Ex=10, s2(x)=9.5, 近似有xN(10,9.5), 假設(shè)有n根外線可滿足題意的要求, 即Pxn=0.9, 但,即,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表得,解得,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格給出:,那么a,b取什么值時(shí), x,h才相互獨(dú)立?,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格給出:,那么a,b取什么值時(shí), x,h才相互獨(dú)立? 解: 將表格重繪成如下形式:,因?yàn)閤與h相互獨(dú)立, 就導(dǎo)致上面兩行成比例, 上面三列也成比例. 因?yàn)?1/3)是(1/6)的二倍, 所以a和b就必須是1/9和1/18的二倍, 因此,5.17 設(shè)電子管的壽命具有密度函數(shù),(單位:小時(shí)),問在150小時(shí)內(nèi) (1) 三只管子中沒有一只損壞的概率是多少? (2) 三只管子全損壞的概率是多少?,5.17 設(shè)電子管的壽命具有密度函數(shù),(單位:小時(shí)),問在150小時(shí)內(nèi) (1) 三只管子中沒有一只損壞的概率是多少? (2) 三只管子全損壞的概率是多少? 解: 假設(shè)一只管子壽命小于150小時(shí)的概率為p, 則,設(shè)x是三只管子中壽命小于150的數(shù)目, 則xB(3,1/3), 因此有,沒有一只壞的概率為,三只都?jí)牡母怕蕿?4.8 設(shè)一個(gè)口袋中有六個(gè)球. 令A(yù)1、A2、A3依次表示這個(gè)球?yàn)樗募t、二白，三紅、三白，兩紅、四白這三種情形. 設(shè)驗(yàn)前概率為,從這口袋中任取一個(gè)球, 得到了白球. 求相應(yīng)的驗(yàn)后概率.,4.8 設(shè)一個(gè)口袋中有六個(gè)球. 令A(yù)1、A2、A3依次表示這個(gè)球?yàn)樗募t、二白，三紅、三白，兩紅、四白這三種情形. 設(shè)驗(yàn)前概率為,從這口袋中任取一個(gè)球, 得到了白球. 求相應(yīng)的驗(yàn)后概率. 解: 設(shè)取得白球?yàn)槭录﨎, 則依題意有,根據(jù)全概率公式有,相應(yīng)的后驗(yàn)概率為,同理算得,3.7 在線段AD上任取兩點(diǎn)B,C, 在B,C處折斷而得三個(gè)線段. 求“這三個(gè)線段能構(gòu)成三角形“的概率,3.7 在線段AD上任取兩點(diǎn)B,C, 在B,C處折斷而得三個(gè)線段. 求“這三個(gè)線段能構(gòu)成三角形“的概率. 解: 設(shè)A點(diǎn)為原點(diǎn), 線段的長(zhǎng)度為a, 任取的兩點(diǎn)B,C距A點(diǎn)的距離為x,h, 因此x,h在一個(gè)方形區(qū)域G里服從均勻分布, 如下圖所示,先考慮hx的情況可 由對(duì)稱性獲得, 三條線段能構(gòu)成 三角形, 要求每 一條線段的長(zhǎng)度 小于另兩條線段 的長(zhǎng)度, 而三條線段的長(zhǎng)度分別為h, a-x, x-h, 因此得到三個(gè)不等式 h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h. 整理這三個(gè)不等式, 得,h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h.,滿足不等式的區(qū)域如下圖所示:,由對(duì)稱性, 再加進(jìn)hx的情況, 則可構(gòu)成三角形的區(qū)域如下圖所示:,由圖中可看出所求概率為1/4,8.5 證明: 當(dāng)k=Ex時(shí), E(x-k)2的值最小, 最小值為s2(x).,8.5 證明: 當(dāng)k=Ex時(shí), E(x-k)2的值最小, 最小值為s2(x). 證: 將E(x-k)2視為k的函數(shù), 即令f(k)=E(x-k)2. 則f(k)=E(x2-2kx+k2)=E(x2)-2kE(x)+k2, 將f(k)對(duì)k求導(dǎo)數(shù)并令其為0, 得,解得k=E(x), 再將f(k)對(duì)k求二階導(dǎo)得,可知E(x)在f(k)處取最小值, 證畢.,8.12 設(shè)x,h相互獨(dú)立, 分布密度分別為,求E(x,h).,8.12 設(shè)x,h相互獨(dú)立, 分布密度分別為,求E(x,h). 解: 因x,h相互獨(dú)立, E(x,h)=E(x)E(h), 而,因此,6.10 設(shè)隨機(jī)變量(x,h)的分布密度函數(shù)為,(1) 求參數(shù)c; (2) 證明x與h相互獨(dú)立.,3.8 某城市有50%住戶訂日?qǐng)?bào), 有65%住戶訂晚報(bào), 有85%住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種, 求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比.,3.8 某城市有50%住戶訂日?qǐng)?bào), 有65%住戶訂晚報(bào), 有85%住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種, 求同