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第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,一、切比雪夫不等式 二、大數(shù)定律 三、中心極限定理,主要內(nèi)容,一、切比雪夫不等式,證明,取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.,切比雪夫不等式,所以,例1 已知人的血液中 ，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，標(biāo)準(zhǔn)差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意， E(X)=7300,D(X)=7002 ，所求為,P(5200 X 9400),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 不小于8/9 .,例2 (2001, 數(shù)學(xué)一)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2,則,根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì),解:,切比雪夫不等式為,故,不需考慮X服從什么分布，只要知道X的數(shù)學(xué)期望和方差就可以,給出的估計(jì)相對(duì)比較粗糙 僅當(dāng)偏差區(qū)間是以E(X) 為中心的區(qū)間時(shí)才能用,二、大數(shù)定律,問題的提出,在第一章提出，人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，雖然個(gè)別事件在某次實(shí)驗(yàn)中可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率在某個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，這就是所謂“頻率穩(wěn)定性”，對(duì)于這一點(diǎn)，我們將在本節(jié)給予理論上的說明。,依概率收斂的序列有如下性質(zhì)：,由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì),證明,由切比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 則,三、中心極限定理,在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成的.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差， 就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣 阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響 的.每個(gè)隨機(jī)因素對(duì)炮彈著點(diǎn)（隨機(jī)變 量和）所起的作用都是很小,那么綜合影響后炮彈彈著點(diǎn)服從怎樣分布 ？,問題的提出,定理一(李雅普諾夫定理),則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量,定理一表明:,定理二（獨(dú)立同分布的中心極限定理）,定理二表明:,定理三(德莫佛拉普拉斯中心極限定理),證明:,已知,根據(jù)定理二得,正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布, 當(dāng)n充分大時(shí), 可以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.,定理三表明:,例3,解:,由定理二, 隨機(jī)變量 Z 近似服從正態(tài)分布N(0,1) ,其中,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪沖擊, 問其中有29 50030 500次縱搖角大于 3 的概率是多少？,例4,解:,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在90 000次波浪沖擊中,縱搖角大于 3 的次數(shù)為 X,則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量,所求概率為,分布律為,直接計(jì)算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理,對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言, 來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量. 設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、 2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為0.05，0.8，0.15. 若學(xué)校共有400名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立, 且服從同一分布. (1) 求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) X 超過450的概