高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：7.2空間圖形的基本關(guān)系與公理.ppt

第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理,三年9考 高考指數(shù): 1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義； 2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理； 3能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題,1點、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點，也是高考的熱點 2.從考查形式看，以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力和空間想象能力. 3從考查題型看，多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，一般難度不大，屬低中檔題.,1.空間圖形的基本位置關(guān)系 (1)空間點與直線的位置關(guān)系有兩種：_和_ _. (2)空間點與平面的位置關(guān)系有兩種：_和_ _.,點在直線上,點在直,線外,點在平面內(nèi),點在平,面外,(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種： 平行直線：在_內(nèi)，而且沒有_的兩條直線. 相交直線：_的兩條直線. 異面直線：_的兩條直線. (4)空間直線與平面的位置關(guān)系有三種： 直線在平面內(nèi)：直線和平面有_公共點. 直線和平面相交：直線和平面_公共點. 直線和平面平行：直線和平面_公共點.,同一個平面,公共點,只有一個公共點,不同在任何一個平面內(nèi),無數(shù)個,只有一個,沒有,(5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種： 平行平面：兩個平面_公共點. 相交平面：兩個平面不重合，并且_公共點.,沒有,有,【即時應(yīng)用】 (1)思考：若a ,b ,則a,b就一定是異面直線嗎？ 提示：不一定，可能存在平面,使a ，b . (2)思考：垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是怎樣 的？ 提示：可能平行，可能相交，也可能異面.,(3)兩個不重合的平面可把空間分成_部分 【解析】當(dāng)兩平面平行時可分為3部分；當(dāng)兩平面相交時分為4部分 答案：3或4,2.空間圖形的公理及等角定理,文字語言,圖形語言,符號語言,公理1,如果一條直線上的 _在一個平面內(nèi), 那么這條直線上 _都在這個 平面內(nèi)（即直線 _）,公理2,經(jīng)過不在同一條直線 上的三點，_ 一個平面（即可以確 定一個平面）,若A、B、C三點不共 線,則_一 個平面使A, B,C,兩點,所有的點,在平面內(nèi),有且只有,有且只有,l ,如果兩個不重合的 平面_, 那么它們_ 一條通過這個點的 公共直線,有一個公共點,有且只有,若A,A, 則_,=l且Al,平行于同一條直線 的兩條直線_,平行,若ab，bc, 則_,ac,空間中，如果兩個 角的兩條邊分別對 應(yīng)平行，那么這兩 個角相等或互補(bǔ),若AOAO, BC_,則 AOB=AOB， AOC和AOB 互補(bǔ),BO,【即時應(yīng)用】 (1)思考：公理1、2、3的作用分別是什么？ 你能說出公理2的幾個推論嗎？ 提示：公理1的作用：()判斷直線在平面內(nèi)；()由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi) 公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件,公理3的作用：()判定兩平面相交；()作兩平面的交線；()證明點共線 公理2的三個推論為： ()經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面； ()經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面； ()經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面,(2)判斷下列說法是否正確.(請在括號中填寫“”或“”) 經(jīng)過三點確定一個平面 ( ) 梯形可以確定一個平面 ( ) 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ( ) 如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 ( ),【解析】經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩條平行線可以確定一個平面，正確； 兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面， 正確；命題中沒有說清三個點是否共線， 不正確. 答案： ,(3)判斷下列說法的正誤.(請在括號中填寫“”或“”) 如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a，就說平面,相交，并記作=a ( ) 兩個不重合的平面,有一個公共點A，就說,相交于過A點的任意一條直線 ( ) 兩個不重合的平面,有一個公共點A，就說,相交于A點，并記作=A ( ) 兩個不重合的平面ABC與DBC相交于線段BC ( ),【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知對；對于，其錯誤在于“任意”二字上；對于，錯誤在于=A上；對于，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC. 答案： ,(4)平面,相交，在,內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定_個平面 【解析】如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個 答案：1或4,3.異面直線所成的角 (1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線 l1,l2，這兩條相交直線所成的_就是異面直線a,b 所成的角. 如果兩條異面直線所成的角是_，則稱這兩條直線互相垂 直. (2)范圍： .,銳角(或直角),直角,(0, ,【即時應(yīng)用】 (1)思考：不相交的兩條直線是異面直線嗎？不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？ 提示：不一定因為兩條直線沒有公共點，這兩直線可能平行也可能異面；因為不同在任何一個平面內(nèi)的直線為異面直線，故該結(jié)論不一定正確,(2)和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是_. 【解析】畫出圖形分析. 圖中，AB、CD與異面直線a、b都相交，此時AB、CD異面； 圖中，AB、AC與異面直線a、b都相交，此時AB、CD相交. 答案：異面或相交,平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 【方法點睛】考查平面基本性質(zhì)的常見題型及解法 (1)判斷所給元素(點或直線)是否能確定唯一平面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，此時需要利用公理2及其推論,(2)證明點或線共面問題，一般有兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合 (3)證明點共線問題，一般有兩種途徑：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上,(4)證明線共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點,【例1】(1)(2012太原模擬)給出以下四個命題 不共面的四點中，其中任意三點不共線； 若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面； 若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； 依次首尾相接的四條線段必共面. 正確命題的個數(shù)是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角 梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC= AD，BEAF且BE= AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點. 證明：四邊形BCHG是平行四邊形； C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？,【解題指南】(1)根據(jù)確定平面的公理及推論進(jìn)行判斷. (2)證明BC、GH平行且相等即可；證明EFCH，由此構(gòu)成平面，再證點D在該平面上 【規(guī)范解答】(1)選B.假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以正確.從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.,(2)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD， 所以GHAD且GH= AD, 又BCAD且BC= AD， 故GHBC且GH=BC， 所以四邊形BCHG是平行四邊形 C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下： 由BEAF且BE= AF，G是FA的中點知，,BEGF且BE=GF， 所以四邊形EFGB是平行四邊形， 所以EFBG. 由知BGCH，所以EFCH， 故EC，F(xiàn)H共面. 又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.,【互動探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB， DC交于一點”？ 【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊 形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形 ECHF，且EC= DF 四邊形ECDF為梯形 FE，DC交于一點，設(shè)FEDC=M,MFE，F(xiàn)E 平面BAFE， M平面BAFE 同理M平面BADC 又平面BAFE平面BADC=BA， MBAFE,AB,DC交于一點,【反思感悟】點共線和線共點問題，都可轉(zhuǎn)化為點在直線上的問題來處理，實質(zhì)上是利用公理3，證明點在兩平面的交線上，解題時要注意這種轉(zhuǎn)化思想的運用,【變式備選】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CD上的點，設(shè)EG與FH交于點P求證：P、A、C三點共線,【證明】EGFH=P，PEG，EG 平面ABC， P平面ABC同理P平面ADC. P為平面ABC與平面ADC的公共點 又平面ABC平面ADC=AC. PAC.P、A、C三點共線,空間中兩直線的位置關(guān)系 【方法點睛】判定直線位置關(guān)系的方法 空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決 【提醒】在空間中兩直線的三種位置關(guān)系中，驗證異面直線及其所成角是考查的熱點.,【例2】如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下 列命題中，錯誤的為( ) (A)ACBD (B)AC截面PQMN (C)AC=BD (D)異面直線PM與BD所成的角為45,【解題指南】結(jié)合圖形，根據(jù)有關(guān)的知識逐一進(jìn)行判斷注意 本題選擇的是錯誤選項！ 【規(guī)范解答】選C.因為四邊形PQMN為正方形，所以PQMN，又 PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ平面ADC. 又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC. 同理可證QMBD.由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A 正確；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正確；異面直線PM與 BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯誤.,【反思感悟】解決此類問題常出現(xiàn)的錯誤是不善于挖掘題中的條件，不能將問題適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化；另外，圖形復(fù)雜、空間想象力不夠、分析問題不到位等，也是常出現(xiàn)錯誤的原因,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（ ） (A)若AC與BD共面，則AD與BC共面 (B)若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線 (C)若AB=AC，DB=DC，則ADBC (D)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC,【解析】選D.對于A，易知點A，B， C，D共面，故AD與BC共面，所以A 正確；對于B，假設(shè)AD與BC不異面， 則可得AC與BD共面，與題意矛盾， 故B正確；對于C，如圖，E為BC中點，易證得直線BC平面ADE，從而ADBC，故C正確； 對于D，當(dāng)四點構(gòu)成空間四面體時，只能推出ADBC，但二者不一定相等，故D錯誤.,2.（2012寶雞模擬）若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則下列命題中假命題的序號是_. 過點P有且僅有一條直線與l，m都平行；過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直；過點P有且僅有一條直線與l,m都相交；過點P有且僅有一條直線與l,m都異面.,【解析】是假命題，因為過點P不存在一條直線與l,m都平行；是真命題，因為過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；是假命題，因為過點P也可能沒有一條直線與l,m都相交；是假命題，因為過點P可以作出無數(shù)條直線與l,m都異面. 答案：,異面直線所成的角 【方法點睛】 1.求異面直線所成的角的方法 一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移 2.求異面直線所成角的步驟 (1)作：通過作平行線，得到相交直線； (2)證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角； (3)算：通過解三角形，求出該角,【例3】(1)如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點求證：直線ME與BN是兩條異面直線,(2)(2012西安模擬)已知三棱錐ABCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角. 【解題指南】(1)采用反證法證明；(2)取AC中點P，連接PM，PN，利用三角形中位線性質(zhì)可得PMAB，PNCD，從而得MPN的大小，然后解三角形可得所求角.,【規(guī)范解答】(1)假設(shè)直線ME與BN共面， 則AB 平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN 由已知，兩正方形不共面，故AB 平面DCEF 又ABCD，所以AB平面DCEF 線EN為平面MBEN與平面DCEF的交線， 所以ABEN又ABCDEF， 所以ENEF，這與ENEF=E矛盾，故假設(shè)不成立 所以ME與BN不共面，它們是異面直線.,(2)如圖，取AC的中點P.連接PM、PN， 則PMAB，且PM= AB. PNCD，且PN= CD， 所以MPN為AB與CD所成的角(或所 成角的補(bǔ)角). 則MPN=60或MPN=120, 若MPN=60, 因為PMAB，所以PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補(bǔ)角).,A,B,C,D,M,N,P,又因為AB=CD，所以PM=PN，則PMN是等邊三角形， 所以PMN=60, 即AB與MN所成的角為60. 若MPN=120,則易知PMN是等腰三角形. 所以PMN=30,即AB與MN所成的角為30. 故直線AB和MN所成的角為60或30.,【互動探究】把本例第(2)題中的“直線AB與CD成60角”改為“ABCD”，結(jié)果如何？ 【解析】由題意得MPN=90. MPN是等腰直角三角形.PMN=45， 故直線AB和MN所成的角為45.,【反思感悟】1.證明兩直線為異面直線時可利用結(jié)論“過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線為異面直線”；也可用反證法，即證明這兩直線共面時不成立 2.在求異面直線所成的角時常犯的錯誤是忽視角的范圍.,【變式備選】在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC= 且 ADBC，對角線 求AC和BD所成的角 【解析】如圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連 接EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線定理知,EFAC，且EF= GEBD，且 GE和EF所成的銳角 (或直角)就是AC和BD所成的角. 同理， GHAD，HFBC， 又ADBC，GHF=90， GF2=GH2+HF2=1， 在EFG中，EG2+EF2=1=GF2， GEF=90， 即AC和BD所成的角為90.,【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2011上海高考改編) 已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正 四棱柱，高AA1=2，求 (1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值； (2)四面體AB1D1C的體積.,【解題指南】(1)利用平行平移法得到異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形的問題；(2)利用割補(bǔ)法求體積即可 【規(guī)范解答】(1)連接BD，AB1，B1D1，AD1.1分,BDB1D1,異面直線BD與AB1所成角為AB1D1(或其補(bǔ)角)， 記AB1D1=,3分 由已知條件得AB1=AD1= 在AB1D1中，由余弦定理得 cos= 6分 異面直線BD與AB1所成角的余弦值為 7分,(2)連接AC，CB1，CD1，則所求四面體的體積 12分,【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2011四川高考)l1,l2,l3是空間三條不同的直線，則下列 命題正確的是( ) (A)l1l2,l2l3l1l3 (B)l1l2,l2l3l1l3 (C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面 (D)l1，l2,l3共點l1，l2,l3共面,【解析】選B.對于A：空間中垂直于同一條直線的兩條直線不 一定平行，如圖 l1,l3可以相交或異面,故命題錯誤.對于B:由異面直線所成的角 可知，l2l3,則l1與l3所成的角與l1與l2所成的角相等，故,l1l3,故命題正確.對于C:空間中三條互相平行的直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不