河南省開封市2019屆高三數學上學期10月定位考試試題理（含解析）.docx

河南省開封市2019屆高三10月定位考試數學（理）試題第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M0，1，2，Nxx11，則A. MN B. NM C. MNM D. MNM【答案】C【解析】【分析】先化簡集合N,再判斷每一個選項得解.【詳解】由題得Nxx11=x|0x2，所以MNM.故答案為：C【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2.若z，則zA. B. 1 C. D. 5【答案】B【解析】【分析】先化簡復數z,再求|z|.【詳解】由題得z=.故答案為：B【點睛】(1)本題主要考查復數的除法運算和復數的模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 復數的模.3.若命題p：R，xlnx0，則為A. R，x0lnx00 B. R，x0lnx00C. R，xlnx0 D. R，xlnx0【答案】A【解析】【分析】直接利用全稱命題的否定解答.【詳解】根據全稱命題的否定得為：R，x0lnx00 .故答案為：A【點睛】(1)本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 全稱命題：，全稱命題的否定（）：.特稱命題 ,特稱命題的否定 ,所以全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.4.等比數列的前項和為，若，則公比（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將轉化為關于的方程，解方程可得的值【詳解】，又，故選A【點睛】本題考查等比數列的基本運算，等比數列中共有五個量，其中是基本量，這五個量可“知三求二”，求解的實質是解方程或解方程組5.某商場經營的某種包裝的大米質量（單位：kg）服從正態(tài)分布N（10，2），根據檢測結果可知P（99101）096，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質量在99kg以下的職工數大約為A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【答案】B【解析】【分析】根據考試的成績服從正態(tài)分布N（10，2）得到考試的成績關于=10對稱，根據P（9.910.1）=0.96，得到P（9.9）=0.023，根據頻率乘以樣本容量得到分發(fā)到的大米質量在9.9kg以下的職工數【詳解】考試的成績服從正態(tài)分布N（10，2）考試的成績關于=10對稱，P（9.910.1）=0.96，P（9.9）=0.02，公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質量在9.9kg以下的職工數大約為0.021000=20故答案為：B【點睛】本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題的關鍵是考試的成績關于=10對稱，利用對稱寫出要用的一段分數的頻數，題目得解6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為3，則輸入的x為A. 1 B. 0C. 1或1 D. 1或0【答案】D【解析】【分析】先寫出分段函數的表達式，再求x的值.【詳解】由題得，當x0時，當x0時，綜合得x=-1或0.故答案為：D【點睛】本題主要考查程序框圖和分段函數求值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.7.已知x，y滿足約束條件，則zx3y的最小值為A. 0 B. 2C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面區(qū)域，平移直線x+3y=0確定最優(yōu)解，再求解最小值即可【詳解】作出x，y滿足約束條件所表示的平面區(qū)域如圖，作出直線x+3y=0，對該直線進行平移，可以發(fā)現經過點A（2，0）時Z取得最小值：2；故答案為：B【點睛】(1)本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2) 解答線性規(guī)劃時，要加強理解，不是縱截距最小，就最小，要看函數的解析式，如：,直線的縱截距為,所以縱截距最小時，最大.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先根據三視圖得到幾何體原圖，再求幾何體的體積.【詳解】由三視圖得知幾何體原圖為下圖所示的三棱錐A-BCD,所以幾何體的體積為.故答案為：C【點睛】(1)本題主要考查三視圖找原圖，考查幾何體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)通過三視圖找?guī)缀误w原圖常用的方法有直接法、模型法.9.已知為圓周率，e為自然對數的底數，則A. B. 3 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】利用指數函數與對數函數的單調性、不等式的性質即可得出【詳解】對于A：函數y=xe是（0，+）上的增函數，A錯；對于B：3e23e23e3e3，而函數y=xe3是（0，+）上的減函數，B錯；對于C：，而函數y=logex是（0，+）上的增函數，C錯，對于D：，D正確；故答案為：D【點睛】本題考查了指數函數與對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題10.已知空間四邊形ABCD，BAC，ABAC2，BDCD6，且平面ABC平面BCD，則空間四邊形ABCD的外接球的表面積為A. 60 B. 36 C. 24 D. 12【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC外接圓的半徑r，設外接球的半徑為R,球心到底面的距離為h,得到關于R和h的方程組，解方程組即得R和外接球的表面積.【詳解】由余弦定理得由正弦定理得，所以三角形ABC的外接圓半徑為.設外接球的球心為O,半徑為R,球心到底面的距離為h,設三角形ABC的外接圓圓心為E,BC的中點為F,過點O作OGDF,連接DO,BE,OE.在直角OBE中， （1）,在直角DOG中， （2）,.所以外接球的表面積為故答案為：A【點睛】(1)本題主要考查幾何體的外接球的表面積的計算，考查空間位置關系，考查正弦定理和余弦定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求幾何體外接球的半徑常用模型法、方程法.11.將函數ysin2xcos2x的圖象向左平移m（m0）個單位以后得到的圖象與函數yksinxcosx（k0）的圖象關于（，0）對稱，則km的最小正值是A. 2 B. 2 C. 2 D. 2【答案】C【解析】【分析】由題意可得y=cos（2x2m）的圖象和y=sin2x（k0）的圖象關于點對稱，設點P（x0，y0）為y=cos（2x2m）上任意一點，則該點關于對稱點為在y=sin2x（k0）的圖象上，故有，求得k=2，且cos（2x0）=cos（2x02m），由此求得k+m的最小正值【詳解】將函數y=sin2xcos2x=cos2x的函數圖象向右平移m個單位以后得到y=cos2（xm）=cos（2x2m）的圖象，根據所得圖象與y=ksinxcosx=sin2x（k0）的圖象關于對稱，設點P（x0，y0）為y=cos（2x2m）上任意一點，則該點關于對稱點為在y=sin2x（k0）的圖象上，故有，所以k=2，sin（2x0）=cos（2x02m），即cos（2x0）=cos（2x02m），2m=+2k，kZ，即 2m=2k，kZ，故m的最小正值為，則k+m的最小正值為2+故答案為：C【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的圖象，兩個函數的圖象關于某個點對稱的性質，屬于中檔題12.已知函數f（x）（k）lnx，k4，），曲線yf（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線yf（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1x2的取值范圍為A. （，） B. （，） C. ，） D. ，）【答案】B【解析】【分析】利用過M、N點處的切線互相平行，建立方程，結合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范圍【詳解】由題得f（x）=1=，（x0，k0）由題意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2），即1=1，化簡得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2，4（x1+x2）（k+），即x1+x2對k4，+）恒成立，令g（k）=k+，則g（k）=1=0對k4，+）恒成立，g（k）g（4）=5，x1+x2，故x1+x2的取值范圍為（，+）.故答案為：B【點睛】本題運用導數可以解決曲線的切線問題，函數的單調性、極值與最值，正確求導是我們解題的關鍵，屬于中檔題.第卷 二、填空題：本大題共4小題每小題5分，共20分。13.已知向量a（2，6），b（3，m），且ab，則ab_【答案】【解析】【分析】先根據已知求出m的值，再求.【詳解】由題得23-6m=0,所以m=1,所以=（5，-5），所以.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的運算和向量的模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.14.若sincos，則sin2的值為_【答案】【解析】【分析】直接把已知方程兩邊同時平方即得解.【詳解】由題得1+故答案為：【點睛】本題主要考查二倍角的正弦，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15.從5名學生中選出4名分別參加數學、物理、化學、生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，乙只能參加數學競賽，則不同的參賽方案種數為_【答案】36【解析】【分析】分三種情況討論，分別求出每一種情況下的方法數，即得解.【詳解】(1)當甲上乙不上時，共有種方法；（2）當甲不上乙上時，共有種方法；（3）當甲乙都上時，共有種方法.綜上所述，不同的參賽方案種數為18+6+12=36種.故答案為：36【點睛】（1）本題主要考查計數原理和排列組合的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列組合一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.16.我國南北朝時期的數學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等已知焦點在x軸上的雙曲線C的離心率e，焦點到其漸近線的距離為2直線y0與y2在第一象限內與雙曲線C及其漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為_【答案】 【解析】【分析】由題意得雙曲線方程為=1，y=2在第一象限內與漸近線的交點N的坐標和與雙曲線第一象限交點B的坐標，記y=2與y軸交于點M，由|MB|2|MN|2=，根據祖晅原理，能求出它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積【詳解】由題得，所以a=1,b=2.雙曲線方程為=1，y=2在第一象限內與漸近線y=2x的交點N的坐標為（，2），y=2與雙曲線=1在第一象限交點B的坐標為（，2），記y=2與y軸交于點M（0，2），A（1，0），|MB|2|MN|2=，根據祖晅原理，它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為=2故答案為：2【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意祖暅原理的合理運用三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.設等差數列的前n項和為，且a4a5S416 （）求數列的通項公式； （）設數列，求的前n項和【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（）根據已知解方程組得到，即得數列的通項公式.( ）利用裂項相消法求的前n項和【詳解】（）為等差數列，解得，.（）. 【點睛】（1）本題主要考查等差數列通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等.用裂項相消法求和.18.如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為菱形，PAD為正三角形，且E為AD的中點，BE平面PAD （）求證：平面PBC平面PEB； （）求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析 ； （2）.【解析】【分析】()先證明BC平面PEB，再證明平面PBC平面PEB. （）建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值【詳解】（）BE平面PAD，又AD平面PAD，ADBE，又PAD為正三角形，E為AD的中點，ADPE，又PEBEE，AD平面PEB，ABCD為菱形，BC平面PEB，又BC平面PBC，平面PBC平面PEB. （）如圖所示，建立空間直角坐標系E-xyz，設菱形ABCD的邊長為2，則AE=ED=1，PE=EB=，C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），. 設平面PDC的一個法向量為，由，得，取y1，得，又平面PEB的一個法向量為. ，平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為. 【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查空間二面角的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象分析轉化推理能力.19.甲、乙兩家外賣公司，其“騎手”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單抽成1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無抽成，超出45單的部分每單抽成6元假設同一公司的“騎手”一日送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名“騎手”并記錄其100天的送餐單數，得到如下條形圖：（）求乙公司的“騎手”一日工資y（單位：元）與送餐單數n（nN）的函數關系；（）若將頻率視為概率，回答以下問題：（i）記乙公司的“騎手”日工資為X（單位：元），求X的分布列和數學期望；（）小明擬到這兩家公司中的一家應聘“騎手”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請你利用所學的統計學知識為他做出選擇，并說明理由【答案】（1） ； （2）（i）112元 （ii）推薦小明去甲公司應聘.【解析】【分析】（）根據題意可知日工資. （）（i）先求出送單數為42,44,46,48,50時的頻率，再寫出分布列和期望. （ii）先求出甲公司的“騎手”日平均送餐單數和甲公司的“騎手”日平均工資，再計算乙公司的“騎手”日平均工資，即得解.【詳解】（）根據題意可知，乙公司每天的底薪100元，前45單無抽成，超出45單部分每單抽成6元，故日工資。（）（i）根據條形圖，當送單數為42，44時，X100，頻率為.當送單數為46時，X106，頻率為.當送單數為48時，X118，頻率為.當送單數為50時，X130，頻率為.故乙公司的“騎手”一日工資X的分布列如表所示：X100106118130P0.20.30.40.1數學期望E(X)=1000.2+1060.3+1180.4+1300.1=112（元）. （ii）根據條形圖，甲公司的“騎手”日平均送餐單數為：420.2+440.4+460.2+480.1+500.1=45（單），所以甲公司的“騎手”日平均工資為：70+451=115（元）由（i）可知，乙公司的“騎手”日平均工資為112元，故推薦小明去甲公司應聘.【點睛】本題主要考查函數解析式的求法，考查隨機變量分布列和期望，考查平均數的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20.已知直線l1：yx，l2：yx，動點P，Q分別在l1，l2上移動，PQ2，N是線段PQ的中點，記點N的軌跡為曲線C（）求曲線C的方程；（）過點M（0，1）分別作直線MA，MB交曲線C于A，B兩點，設這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1k22，證明：直線AB過定點【答案】（1） ； （2）（-1，-1）.【解析】【分析】（）根據條件設P，Q，由得，設N（x，y）是線段PQ的中點，所以 消去m，n可得曲線C的方程. （）先求出直線AB的方程，再找到定點.【詳解】（）根據條件設P，Q，即，N（x，y）是線段PQ的中點， 消去m，n可得曲線C的方程為. （）由（）知，點M（0，1）為橢圓的上頂點，當直線AB的斜率不存在時，設A，則B，由得，得； 當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為、A， B，得， ，即，由m1，即，故直線AB過定點（-1，-1）.經檢驗，此時直線與橢圓有兩個交點，滿足題意.綜上所述，直線AB過定點（-1，-1）.【點睛】（1）本題主要考查動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系和直線的定點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求動點的軌跡方程常用直接法、定義法和代入法.21.已知函數f（x）ln（x1）ax2x（）討論f（x）在0，）上的單調性；（）若函數g（x）f（x）x有兩個極值點x1，x2，且x1x2，求證:g（x2）ln2【答案】（1）當a0時，f（x）在上單調遞減；當時，f（x）在上單調遞增；當時，f（x）在上單調遞減，f（x）在上單調遞增； （2）見解析.【解析】【分析】（）先對函數求導得，再對a分類討論得到f（x）在0，）上的單調性. （）先求導，設，得到g（x）在取得極大值，在取得極小值.求出，設，所以.【詳解】（）解：，設，當a0時，h（x）0，f（x）在上單調遞減；當2a-10，即時，h（x）0，f（x）在上單調遞增；當2a-10，即時，時，h（x）0，f（x）單調遞減；時，h（x）0，f（x）單調遞增.綜上所述，當a0時，f（x）在上單調遞減；當時，f（x）在上單調遞增；當時，f（x）在上單調遞減，f（x）在上單調遞增. （）證明：，設，若 a0，g（x）在上單調遞增，不合題意； 若a0，在上只有一個根，不合題意； 若a0，使有兩不同實根，且，只需，即a2.， g（x）在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，g（x）在取得極大值，在取得極小值.，設，m（t）在上是增函數，.【點睛】（1）本題主要考查利用導數求函數的單調性、極值和最值，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌