歷年量子力學(xué)考題解答 2000

2000年量子力學(xué)考研試題 一. 質(zhì)量為的粒子作一維自由運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于的狀態(tài)上，求其動(dòng)量與動(dòng)能的取值幾率分布及平均值。解：作一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量與動(dòng)能算符分別為顯然，兩者相互對(duì)易，有共同完整本征函數(shù)且滿足將向展開(kāi)，即展開(kāi)系數(shù)只有當(dāng)時(shí)，。利用歸一化條件可知，歸一化常數(shù)為于是有 動(dòng)量的取值幾率為平均值為動(dòng)能的的取值幾率與動(dòng)量相同，而平均值為二. 質(zhì)量為的粒子處于如下一維勢(shì)阱中 若已知該粒子在此勢(shì)阱中存在一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度。解：對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，由處，可知。由處，可知，即，取。于是，波函數(shù)簡(jiǎn)化為在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件得到于是有此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于故 ，最后，得到勢(shì)阱的寬度 三. （見(jiàn)習(xí)題選講7.4）體系的三維空間是由三個(gè)相互正交的態(tài)矢和構(gòu)成的，以其為基矢地兩個(gè)算符和的矩陣形式如下 其中，為實(shí)常數(shù)。證明算符和是厄米特算符，并且兩者相互對(duì)易，進(jìn)而求出它們的共同本征函數(shù)。 解：由厄米特算符的定義知，厄米特算符滿足或者 題中所給出的哈密頓算符和力學(xué)量算符皆為實(shí)對(duì)稱矩陣，故它們都是厄米特算符。因?yàn)槎?所以，有 設(shè)滿足的本征方程為 由于是對(duì)角矩陣，所以，它的本征值就是其對(duì)角元，即 其中，能量具有二度簡(jiǎn)并。由于簡(jiǎn)并的存在，僅由算符不能惟一確定的波函數(shù)。為了能留下較深刻的印象，讓我們來(lái)仔細(xì)地做這件事。當(dāng)時(shí)，波函數(shù)滿足 顯然， 于是，相應(yīng)的波函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，波函數(shù)滿足 得到 相應(yīng)的波函數(shù)為 同理可知，的波函數(shù)為 利用歸一化條件可知 利用正交條件可知 由于頭兩個(gè)正交條件給不出任何信息，所以，五個(gè)變量滿足四個(gè)方程，不能惟一的定出這五個(gè)常數(shù)。當(dāng)時(shí)，由（15）式可知，于是，波函數(shù)為 進(jìn)而得到 上式說(shuō)明也是算符的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為。由此看來(lái)，是算符與的共同本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值分別為和。當(dāng)時(shí)，波函數(shù)無(wú)法惟一確定，它們的矩陣形式是一樣的，為簡(jiǎn)潔計(jì)，統(tǒng)一記為 用算符作用上式，得到本征值滿足的本征方程 在簡(jiǎn)并子空間中，久期方程為 得到的另外兩個(gè)本征值，分別記為 當(dāng)時(shí)，將其代入本征方程，有 得到 由歸一化條件知 進(jìn)而，得到 將其代入表達(dá)式，有 當(dāng)時(shí)，重復(fù)上面的求解過(guò)程，可以得到 綜上所述，算符與的本征值都是二度簡(jiǎn)并的，本征函數(shù)皆不能惟一確定，但因?yàn)樗鼈兿嗷?duì)易，所以有共同完備本征函數(shù)系，它們的共同本征函數(shù)是惟一確定的，用公式表示如下： 四. （見(jiàn)習(xí)題選講8.3）固有磁矩為的電子，時(shí)處于的狀態(tài)，同時(shí)進(jìn)入均勻磁場(chǎng)中。求時(shí)測(cè)量得的幾率是多少。解：第一步，解定態(tài)薛定諤方程。這是一個(gè)討論自旋狀態(tài)隨時(shí)間演變的問(wèn)題，故可以不顧及空間自由度。磁矩與外磁場(chǎng)相互作用引起一附加能量，與自旋相關(guān)的哈密頓算符為 其中，分別為電子的電荷與質(zhì)量。若令 則哈密頓算符可簡(jiǎn)化為 在表象中，哈密頓算符是對(duì)角矩陣，它的解可以直接寫(xiě)出： 第二步，寫(xiě)出任意時(shí)刻的波函數(shù)。依題意，知 式中，是在表象中的一個(gè)本征矢，為了將其在表象中表示出來(lái)，必須求解滿足的本征方程，即 解之得 在表象中，初態(tài)為 于是，時(shí)刻的波函數(shù)為 第三步，求在態(tài)上測(cè)量得的幾率。將向的本征態(tài)展開(kāi) 其中， 在態(tài)上測(cè)量得的幾率為 五. 一個(gè)電荷為、質(zhì)量為和教頻率為的線諧振子，受到恒定弱電場(chǎng)的作用，即，求其能量近似到二級(jí)修正，波函數(shù)到一級(jí)修正。解：體系的哈密頓算符為 的解為 ；由于的解無(wú)簡(jiǎn)并，可以利用無(wú)簡(jiǎn)并