歷年量子力學(xué)考題解答 1995

1995年量子力學(xué)考研試題 一. 線諧振子在時(shí)處于 態(tài)上，其中為線諧振子第個(gè)本征值對(duì)應(yīng)當(dāng)本征函數(shù)。（1） 求在態(tài)上能量的可測(cè)值、取值幾率與平均值；（2） 寫出時(shí)刻的波函數(shù)及相應(yīng)的能量取值幾率與平均值。解：線諧振子能量的本征值為 利用歸一化條件 可知?dú)w一化常數(shù)為 （1）在態(tài)上，能量的可能取值及相應(yīng)的取值幾率為 ， ， ， 能量平均值為 （2）由于哈密頓算符不顯含時(shí)間，故有 因?yàn)楣茴D量是守恒量，所以，能量的取值幾率和平均值皆與時(shí)一樣。二. （類似1999年第四題）對(duì)一維定態(tài)問(wèn)題，若哈密頓量為 且設(shè)其均勻斷續(xù)譜，即，證明（1）（2）若與無(wú)關(guān)，則證明：（1）. 利用算符微分的定義可知 而從另一個(gè)角度出發(fā)，又可以得到 比較上述兩式得到， 從計(jì)算動(dòng)量算符平方的平均值出發(fā)，有 整理之，有 （2）利用費(fèi)曼-海爾曼定理， 得到 于是，有 三. （類似1996年第四題）兩個(gè)自旋為的粒子，它們之間的相互作用為是，其中，是常數(shù)。設(shè)時(shí)，粒子1的自旋沿軸的正方向，粒子2的自旋沿軸的正方向，求時(shí)測(cè)量粒子1的自旋沿軸正方向的幾率。解： 體系的哈密頓算符為 選擇耦合表象，由于，故四個(gè)基底為 ；在此基底之下，哈密頓算符是對(duì)角矩陣，即 可以直接寫出它的解為 ， ， ， ， 已知時(shí)，體系處于 而 故有 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為 粒子2處于軸正方向的幾率為 四. 質(zhì)量為、電荷為的粒子，在方向互相垂直的均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，取電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)分別為和，其哈密頓算符為 找出包括在內(nèi)的力學(xué)量完全集，并進(jìn)而求出能量的本征值和本征矢。 解：將哈密頓算符改寫成 進(jìn)而，得到 此哈密頓算符滿足的本征方程為 若令 則 而 于是有 或者寫成 令 則 再令 則設(shè)，于是得到 顯然，這是一個(gè)線諧振子的本征方程，體系的能量本征值為 其中，第二項(xiàng)為粒子沿和方向作自由運(yùn)動(dòng)的能量。五. 類氫離子中，電子與原子核的庫(kù)侖相互作用為 （為核電荷）當(dāng)核電荷變?yōu)闀r(shí)，相互作用能增加，試用微擾論計(jì)算它對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。 解：已知類氫離子的能量本征解為 式中，為玻爾半